Calcolo Esempi

$y (3 + 2 x y^{2}) d x + 3 (x^{2} y^{2} + x - 1) d y = 0$

Passaggio 1

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = y (3 + 2 x y^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y (3 + 2 x y^{2})]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ è $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ dove $f (y) = y$ e $g (y) = 3 + 2 x y^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [3 + 2 x y^{2}] + (3 + 2 x y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 + 2 x y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [2 x y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [2 x y^{2}]) + (3 + 2 x y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 1.3.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $3$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (0 + \frac{d}{d y} [2 x y^{2}]) + (3 + 2 x y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 1.3.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d y} [2 x y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [2 x y^{2}] + (3 + 2 x y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 1.3.4

Poiché $2 x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2 x y^{2}$ rispetto a $y$ è $2 x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (2 x \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (3 + 2 x y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 1.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (2 x (2 y)) + (3 + 2 x y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 1.3.6

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (4 x y) + (3 + 2 x y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 1.4

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x (y^{1} y) + (3 + 2 x y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 1.5

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x (y^{1} y^{1}) + (3 + 2 x y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 1.6

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y^{1 + 1} + (3 + 2 x y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 1.7

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y^{2} + (3 + 2 x y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 1.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y^{2} + (3 + 2 x y^{2}) \cdot 1$

Passaggio 1.9

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.9.1

Moltiplica $3 + 2 x y^{2}$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y^{2} + 3 + 2 x y^{2}$

Passaggio 1.9.2

Somma $4 x y^{2}$ e $2 x y^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x y^{2} + 3$

Passaggio 1.9.3

Riordina i termini.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 y^{2} x + 3$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 (x^{2} y^{2} + x - 1)]$

Passaggio 2.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2} + x - 1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2} + x - 1]$

Passaggio 2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} y^{2} + x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 (\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 2.4

Poiché $y^{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $x^{2} y^{2}$ rispetto a $x$ è $y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 (y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 (y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 2.6

Sposta $2$ alla sinistra di $y^{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 (2 \cdot y^{2} x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 2.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 (2 y^{2} x + 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 2.8

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 (2 y^{2} x + 1 + 0)$

Passaggio 2.9

Somma $2 y^{2} x + 1$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 (2 y^{2} x + 1)$

Passaggio 2.10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 (2 y^{2} x) + 3 \cdot 1$

Passaggio 2.10.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.2.1

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 (y^{2} x) + 3 \cdot 1$

Passaggio 2.10.2.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} x + 3$

Passaggio 3

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $6 y^{2} x + 3$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $6 y^{2} x + 3$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$6 y^{2} x + 3 = 6 y^{2} x + 3$

Passaggio 3.2

Dato che è stato dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$6 y^{2} x + 3 = 6 y^{2} x + 3$ è un'identità.

Passaggio 4

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y (3 + 2 x y^{2}) d x$

Passaggio 5

Integra $M (x, y) = y (3 + 2 x y^{2})$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poiché $y$ è costante rispetto a $x$ , sposta $y$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = y \int 3 + 2 x y^{2} d x$

Passaggio 5.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$f (x, y) = y (\int 3 d x + \int 2 x y^{2} d x)$

Passaggio 5.3

Applica la regola costante.

$f (x, y) = y (3 x + C + \int 2 x y^{2} d x)$

Passaggio 5.4

Poiché $2 y^{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2 y^{2}$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = y (3 x + C + 2 y^{2} \int x d x)$

Passaggio 5.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = y (3 x + C + 2 y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C))$

Passaggio 5.6

Semplifica.

$f (x, y) = y (3 x + y^{2} x^{2}) + C$

Passaggio 6

Poiché l'integrale di $g (y)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = y (3 x + y^{2} x^{2}) + g (y)$

Passaggio 7

Imposta $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Passaggio 8

Trova $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Differenzia $f$ rispetto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [y (3 x + y^{2} x^{2}) + g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Passaggio 8.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y (3 x + y^{2} x^{2}) + g (y)$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y (3 x + y^{2} x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y (3 x + y^{2} x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Passaggio 8.3

Calcola $\frac{d}{d y} [y (3 x + y^{2} x^{2})]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ è $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ dove $f (y) = y$ e $g (y) = 3 x + y^{2} x^{2}$ .

$y \frac{d}{d y} [3 x + y^{2} x^{2}] + (3 x + y^{2} x^{2}) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Passaggio 8.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x + y^{2} x^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [y^{2} x^{2}]$ .

$y (\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [y^{2} x^{2}]) + (3 x + y^{2} x^{2}) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Passaggio 8.3.3

Poiché $3 x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $y$ è $0$ .

$y (0 + \frac{d}{d y} [y^{2} x^{2}]) + (3 x + y^{2} x^{2}) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Passaggio 8.3.4

Poiché $x^{2}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $y^{2} x^{2}$ rispetto a $y$ è $x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$y (0 + x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (3 x + y^{2} x^{2}) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Passaggio 8.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$y (0 + x^{2} (2 y)) + (3 x + y^{2} x^{2}) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Passaggio 8.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$y (0 + x^{2} (2 y)) + (3 x + y^{2} x^{2}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Passaggio 8.3.7

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$y (0 + 2 \cdot x^{2} y) + (3 x + y^{2} x^{2}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Passaggio 8.3.8

Somma $0$ e $2 x^{2} y$ .

$y (2 x^{2} y) + (3 x + y^{2} x^{2}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Passaggio 8.3.9

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$2 x^{2} (y^{1} y) + (3 x + y^{2} x^{2}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Passaggio 8.3.10

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$2 x^{2} (y^{1} y^{1}) + (3 x + y^{2} x^{2}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Passaggio 8.3.11

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 x^{2} y^{1 + 1} + (3 x + y^{2} x^{2}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Passaggio 8.3.12

Somma $1$ e $1$ .

$2 x^{2} y^{2} + (3 x + y^{2} x^{2}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Passaggio 8.3.13

Moltiplica $3 x + y^{2} x^{2}$ per $1$ .

$2 x^{2} y^{2} + 3 x + y^{2} x^{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Passaggio 8.3.14

Somma $2 x^{2} y^{2}$ e $y^{2} x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.14.1

Riordina $y^{2}$ e $x^{2}$ .

$2 x^{2} y^{2} + x^{2} y^{2} + 3 x + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Passaggio 8.3.14.2

Somma $2 x^{2} y^{2}$ e $x^{2} y^{2}$ .

$3 x^{2} y^{2} + 3 x + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Passaggio 8.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (y)$ è $\frac{d g}{d y}$ .

$3 x^{2} y^{2} + 3 x + \frac{d g}{d y} = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Passaggio 8.5

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{2} y^{2} + 3 x = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Passaggio 9

Risolvi per $\frac{d g}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Risolvi per $\frac{d g}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Semplifica $3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1.1

Riscrivi.

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{2} y^{2} + 3 x = 0 + 0 + 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Passaggio 9.1.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{2} y^{2} + 3 x = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Passaggio 9.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{2} y^{2} + 3 x = 3 (x^{2} y^{2}) + 3 x + 3 \cdot - 1$

Passaggio 9.1.1.4

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{2} y^{2} + 3 x = 3 x^{2} y^{2} + 3 x - 3$

Passaggio 9.1.2

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d g}{d y}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.2.1

Sottrai $3 x^{2} y^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d y} + 3 x = 3 x^{2} y^{2} + 3 x - 3 - 3 x^{2} y^{2}$

Passaggio 9.1.2.2

Sottrai $3 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d y} = 3 x^{2} y^{2} + 3 x - 3 - 3 x^{2} y^{2} - 3 x$

Passaggio 9.1.2.3

Combina i termini opposti in $3 x^{2} y^{2} + 3 x - 3 - 3 x^{2} y^{2} - 3 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.2.3.1

Sottrai $3 x^{2} y^{2}$ da $3 x^{2} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 x - 3 + 0 - 3 x$

Passaggio 9.1.2.3.2

Somma $3 x - 3$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 x - 3 - 3 x$

Passaggio 9.1.2.3.3

Sottrai $3 x$ da $3 x$ .

$\frac{d g}{d y} = 0 - 3$

Passaggio 9.1.2.3.4

Sottrai $3$ da $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - 3$

Passaggio 10

Trova l'antiderivata di $- 3$ per trovare $g (y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d y} = - 3$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 3 d y$

Passaggio 10.2

Calcola $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - 3 d y$

Passaggio 10.3

Applica la regola costante.

$g (y) = - 3 y + C$

Passaggio 11

Sostituisci a $g (y)$ in $f (x, y) = y (3 x + y^{2} x^{2}) + g (y)$ .

$f (x, y) = y (3 x + y^{2} x^{2}) - 3 y + C$

Passaggio 12

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (x, y) = y (3 x) + y (y^{2} x^{2}) - 3 y + C$

Passaggio 12.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f (x, y) = 3 y x + y (y^{2} x^{2}) - 3 y + C$

Passaggio 12.3

Moltiplica $y$ per $y^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.1

Sposta $y^{2}$ .

$f (x, y) = 3 y x + y^{2} y x^{2} - 3 y + C$

Passaggio 12.3.2

Moltiplica $y^{2}$ per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.2.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$f (x, y) = 3 y x + y^{2} y^{1} x^{2} - 3 y + C$

Passaggio 12.3.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (x, y) = 3 y x + y^{2 + 1} x^{2} - 3 y + C$

Passaggio 12.3.3

Somma $2$ e $1$ .

$f (x, y) = 3 y x + y^{3} x^{2} - 3 y + C$