Calcolo Esempi

$d x + (x - y + 6) d y = 0$

Passaggio 1

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 1.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = x - y + 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x - y + 6]$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - y + 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 2.4

Poiché $- y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- y$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0 + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 2.5

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0 + 0$

Passaggio 2.6

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0$

Passaggio 2.6.2

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Passaggio 3

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $0$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $1$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$0 = 1$

Passaggio 3.2

Poiché il lato sinistro non è uguale al lato destro, l'equazione non è un'identità.

$0 = 1$ non è un'identità.

Passaggio 4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $1$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{1 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Passaggio 4.2

Sostituisci $0$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{1 + 0}{M}$

Passaggio 4.3

Sostituisci $1$ a $M$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $1$ a $M$ .

$\frac{1 + 0}{1}$

Passaggio 4.3.2

Dividi $1 + 0$ per $1$ .

$1 + 0$

Passaggio 4.3.3

Sostituisci $1$ a $M$ .

$1$

Passaggio 4.4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int d y}$

Passaggio 5

Valuta l'integrale $e^{\int d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Applica la regola costante.

$μ (x, y) = e^{y + C}$

Passaggio 5.2

Semplifica.

$μ (x, y) = e^{y} + C$

Passaggio 6

Moltiplica $1$ per $e^{y}$ .

$d x + (x - y + 6) d y = 0$

Passaggio 7

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int e^{y} d x$

Passaggio 8

Integra $M (x, y) = e^{y}$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Applica la regola costante.

$f (x, y) = e^{y} x + C$

Passaggio 9

Poiché l'integrale di $g (y)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = e^{y} x + g (y)$

Passaggio 10

Imposta $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x e^{y} - y e^{y} + 6 e^{y}$

Passaggio 11

Trova $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Differenzia $f$ rispetto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [e^{y} x + g (y)] = x e^{y} - y e^{y} + 6 e^{y}$

Passaggio 11.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{y} x + g (y)$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [e^{y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [e^{y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{y} - y e^{y} + 6 e^{y}$

Passaggio 11.3

Calcola $\frac{d}{d y} [e^{y} x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Poiché $x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $e^{y} x$ rispetto a $y$ è $x \frac{d}{d y} [e^{y}]$ .

$x \frac{d}{d y} [e^{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{y} - y e^{y} + 6 e^{y}$

Passaggio 11.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ è $a^{y} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$x e^{y} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{y} - y e^{y} + 6 e^{y}$

Passaggio 11.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (y)$ è $\frac{d g}{d y}$ .

$x e^{y} + \frac{d g}{d y} = x e^{y} - y e^{y} + 6 e^{y}$

Passaggio 11.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.5.1

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d y} + e^{y} x = x e^{y} - y e^{y} + 6 e^{y}$

Passaggio 11.5.2

Riordina i fattori in $\frac{d g}{d y} + e^{y} x$ .

$\frac{d g}{d y} + x e^{y} = x e^{y} - y e^{y} + 6 e^{y}$

Passaggio 12

Risolvi per $\frac{d g}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d g}{d y}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

Sottrai $x e^{y}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d y} = x e^{y} - y e^{y} + 6 e^{y} - x e^{y}$

Passaggio 12.1.2

Combina i termini opposti in $x e^{y} - y e^{y} + 6 e^{y} - x e^{y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.2.1

Sottrai $x e^{y}$ da $x e^{y}$ .

$\frac{d g}{d y} = - y e^{y} + 6 e^{y} + 0$

Passaggio 12.1.2.2

Somma $- y e^{y} + 6 e^{y}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - y e^{y} + 6 e^{y}$

Passaggio 13

Trova l'antiderivata di $- y e^{y} + 6 e^{y}$ per trovare $g (y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d y} = - y e^{y} + 6 e^{y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - y e^{y} + 6 e^{y} d y$

Passaggio 13.2

Calcola $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - y e^{y} + 6 e^{y} d y$

Passaggio 13.3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$g (y) = \int - y e^{y} d y + \int 6 e^{y} d y$

Passaggio 13.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$g (y) = - \int y e^{y} d y + \int 6 e^{y} d y$

Passaggio 13.5

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = y$ e $d v = e^{y}$ .

$g (y) = - (y e^{y} - \int e^{y} d y) + \int 6 e^{y} d y$

Passaggio 13.6

L'integrale di $e^{y}$ rispetto a $y$ è $e^{y}$ .

$g (y) = - (y e^{y} - (e^{y} + C)) + \int 6 e^{y} d y$

Passaggio 13.7

Poiché $6$ è costante rispetto a $y$ , sposta $6$ fuori dall'integrale.

$g (y) = - (y e^{y} - (e^{y} + C)) + 6 \int e^{y} d y$

Passaggio 13.8

L'integrale di $e^{y}$ rispetto a $y$ è $e^{y}$ .

$g (y) = - (y e^{y} - (e^{y} + C)) + 6 (e^{y} + C)$

Passaggio 13.9

Semplifica.

$g (y) = - y e^{y} + e^{y} + 6 e^{y} + C$

Passaggio 13.10

Somma $e^{y}$ e $6 e^{y}$ .

$g (y) = - y e^{y} + 7 e^{y} + C$

Passaggio 14

Sostituisci a $g (y)$ in $f (x, y) = e^{y} x + g (y)$ .

$f (x, y) = e^{y} x - y e^{y} + 7 e^{y} + C$

Passaggio 15

Riordina i fattori in $f (x, y) = e^{y} x - y e^{y} + 7 e^{y} + C$ .

$f (x, y) = x e^{y} - y e^{y} + 7 e^{y} + C$