Calcolo Esempi

$x \frac{d y}{d x} - 2 y = 2 x^{4}$ , $y (2) = 8$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale come $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d y}{d x} - 2 y = 2 x^{4}$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{2 x^{4}}{x}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{2 x^{4}}{x}$

Passaggio 1.2.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{2 x^{4}}{x}$

Passaggio 1.3

Elimina il fattore comune di $x^{4}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Scomponi $x$ da $2 x^{4}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x (2 x^{3})}{x}$

Passaggio 1.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x (2 x^{3})}{x^{1}}$

Passaggio 1.3.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x (2 x^{3})}{x \cdot 1}$

Passaggio 1.3.2.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x (2 x^{3})}{x \cdot 1}$

Passaggio 1.3.2.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{2 x^{3}}{1}$

Passaggio 1.3.2.5

Dividi $2 x^{3}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = 2 x^{3}$

Passaggio 1.4

Scomponi $y$ da $\frac{- 2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 2}{x} = 2 x^{3}$

Passaggio 1.5

Riordina $y$ e $\frac{- 2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2}{x} y = 2 x^{3}$

Passaggio 2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = \frac{- 2}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int \frac{- 2}{x} d x}$

Passaggio 2.2

Integra $\frac{- 2}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Suddividi la frazione in frazioni multiple.

$e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

Passaggio 2.2.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

Passaggio 2.2.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

Passaggio 2.2.4

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 2.2.5

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

Passaggio 2.2.6

Semplifica.

$e^{- 2 \ln (| x |) + C}$

Passaggio 2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{- 2 \ln (x)}$

Passaggio 2.4

Usa la regola della potenza logaritmica.

$e^{\ln (x^{- 2})}$

Passaggio 2.5

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$x^{- 2}$

Passaggio 2.6

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $\frac{1}{x^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine per $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{2}} (\frac{- 2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} (2 x^{3})$

Passaggio 3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

$\frac{1}{x^{2}}$ e $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} (\frac{- 2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} (2 x^{3})$

Passaggio 3.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} (2 x^{3})$

Passaggio 3.2.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} (\frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} (2 x^{3})$

Passaggio 3.2.4

$\frac{2}{x}$ e $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x} = \frac{1}{x^{2}} (2 x^{3})$

Passaggio 3.2.5

Moltiplica $- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.1

Moltiplica $\frac{2 y}{x}$ per $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x \cdot x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} (2 x^{3})$

Passaggio 3.2.5.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.2.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.2.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1} x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} (2 x^{3})$

Passaggio 3.2.5.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1 + 2}} = \frac{1}{x^{2}} (2 x^{3})$

Passaggio 3.2.5.2.2

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} (2 x^{3})$

Passaggio 3.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = 2 \frac{1}{x^{2}} x^{3}$

Passaggio 3.4

$2$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{2}{x^{2}} x^{3}$

Passaggio 3.5

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{3}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{2}{x^{2}} (x^{2} x)$

Passaggio 3.5.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{2}{x^{2}} (x^{2} x)$

Passaggio 3.5.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = 2 x$

Passaggio 4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] = 2 x$

Passaggio 5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] d x = \int 2 x d x$

Passaggio 6

Integra il lato sinistro.

$\frac{1}{x^{2}} y = \int 2 x d x$

Passaggio 7

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{x^{2}} y = 2 \int x d x$

Passaggio 7.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Passaggio 7.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Riscrivi $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ come $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Passaggio 7.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.1

$2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Passaggio 7.3.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{x^{2}} y = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Passaggio 7.3.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{x^{2}} y = 1 x^{2} + C$

Passaggio 7.3.2.3

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = x^{2} + C$

Passaggio 8

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

$\frac{1}{x^{2}}$ e $y$ .

$\frac{y}{x^{2}} = x^{2} + C$

Passaggio 8.2

Moltiplica ogni lato per $x^{2}$ .

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (x^{2} + C) x^{2}$

Passaggio 8.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (x^{2} + C) x^{2}$

Passaggio 8.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y = (x^{2} + C) x^{2}$

Passaggio 8.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1

Semplifica $(x^{2} + C) x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = x^{2} x^{2} + C x^{2}$

Passaggio 8.3.2.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1.2.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = x^{2 + 2} + C x^{2}$

Passaggio 8.3.2.1.2.2

Somma $2$ e $2$ .

$y = x^{4} + C x^{2}$

Passaggio 9

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $C$ sostituendo $x$ con $2$ e $y$ con $8$ in $y = x^{4} + C x^{2}$ .

$8 = 2^{4} + C \cdot 2^{2}$

Passaggio 10

Risolvi per $C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Riscrivi l'equazione come $2^{4} + C \cdot 2^{2} = 8$ .

$2^{4} + C \cdot 2^{2} = 8$

Passaggio 10.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$16 + C \cdot 2^{2} = 8$

Passaggio 10.2.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$16 + C \cdot 4 = 8$

Passaggio 10.2.3

Sposta $4$ alla sinistra di $C$ .

$16 + 4 C = 8$

Passaggio 10.3

Sposta tutti i termini non contenenti $C$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Sottrai $16$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 C = 8 - 16$

Passaggio 10.3.2

Sottrai $16$ da $8$ .

$4 C = - 8$

Passaggio 10.4

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 C = - 8$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 C = - 8$ .

$\frac{4 C}{4} = \frac{- 8}{4}$

Passaggio 10.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 C}{4} = \frac{- 8}{4}$

Passaggio 10.4.2.1.2

Dividi $C$ per $1$ .

$C = \frac{- 8}{4}$

Passaggio 10.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.3.1

Dividi $- 8$ per $4$ .

$C = - 2$

Passaggio 11

Sostituisci $- 2$ a $C$ in $y = x^{4} + C x^{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci $- 2$ a $C$ .

$y = x^{4} - 2 x^{2}$