Calcolo Esempi

$(1 + x^{3}) d y = 3 x^{2} (y d) x$

Passaggio 1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{(1 + x^{3}) y}$ .

$\frac{1}{(1 + x^{3}) y} (1 + x^{3}) d y = \frac{1}{(1 + x^{3}) y} (3 x^{2} y) d x$

Passaggio 2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Elimina il fattore comune di $1 + x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Scomponi $1 + x^{3}$ da $(1 + x^{3}) y$ .

$\frac{1}{(1 + x^{3}) (y)} (1 + x^{3}) d y = \frac{1}{(1 + x^{3}) y} (3 x^{2} y) d x$

Passaggio 2.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{(1 + x^{3}) y} (1 + x^{3}) d y = \frac{1}{(1 + x^{3}) y} (3 x^{2} y) d x$

Passaggio 2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(1 + x^{3}) y} (3 x^{2} y) d x$

Passaggio 2.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{1}{y} d y = 3 \frac{1}{(1 + x^{3}) y} (x^{2} y) d x$

Passaggio 2.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Riscrivi $1$ come $1^{3}$ .

$\frac{1}{y} d y = 3 \frac{1}{(1^{3} + x^{3}) y} (x^{2} y) d x$

Passaggio 2.3.2

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza usando la formula della somma di cubi, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ dove $a = 1$ e $b = x$ .

$\frac{1}{y} d y = 3 \frac{1}{(1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2}) y} (x^{2} y) d x$

Passaggio 2.3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{y} d y = 3 \frac{1}{(1 + x) (1 - 1 x + x^{2}) y} (x^{2} y) d x$

Passaggio 2.3.3.2

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$\frac{1}{y} d y = 3 \frac{1}{(1 + x) (1 - x + x^{2}) y} (x^{2} y) d x$

Passaggio 2.4

$3$ e $\frac{1}{(1 + x) (1 - x + x^{2}) y}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{3}{(1 + x) (1 - x + x^{2}) y} (x^{2} y) d x$

Passaggio 2.5

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Scomponi $y$ da $(1 + x) (1 - x + x^{2}) y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{3}{y ((1 + x) (1 - x + x^{2}))} (x^{2} y) d x$

Passaggio 2.5.2

Scomponi $y$ da $x^{2} y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{3}{y ((1 + x) (1 - x + x^{2}))} (y x^{2}) d x$

Passaggio 2.5.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y} d y = \frac{3}{y ((1 + x) (1 - x + x^{2}))} (y x^{2}) d x$

Passaggio 2.5.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y} d y = \frac{3}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} x^{2} d x$

Passaggio 2.6

$\frac{3}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$ e $x^{2}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{3 x^{2}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} d x$

Passaggio 3

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{3 x^{2}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} d x$

Passaggio 3.2

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{3 x^{2}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} d x$

Passaggio 3.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 \int \frac{x^{2}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} d x$

Passaggio 3.3.2

Sia $u = (1 + x) (1 - x + x^{2})$ . Allora $d u = 3 x^{2} d x$ , quindi $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Sia $u = (1 + x) (1 - x + x^{2})$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Differenzia $(1 + x) (1 - x + x^{2})$ .

$\frac{d}{d x} [(1 + x) (1 - x + x^{2})]$

Passaggio 3.3.2.1.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = 1 + x$ e $g (x) = 1 - x + x^{2}$ .

$(1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x + x^{2}] + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Passaggio 3.3.2.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - x + x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(1 + x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Passaggio 3.3.2.1.3.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(1 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Passaggio 3.3.2.1.3.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$(1 + x) (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Passaggio 3.3.2.1.3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(1 + x) (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Passaggio 3.3.2.1.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(1 + x) (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Passaggio 3.3.2.1.3.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$(1 + x) (- 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Passaggio 3.3.2.1.3.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Passaggio 3.3.2.1.3.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.3.2.1.3.9

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.3.2.1.3.10

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [x]$ .

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.3.2.1.3.11

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) \cdot 1$

Passaggio 3.3.2.1.3.12

Moltiplica $1 - x + x^{2}$ per $1$ .

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + 1 - x + x^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$(1 + x) \cdot - 1 + (1 + x) (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$1 \cdot - 1 + x \cdot - 1 + (1 + x) (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$1 \cdot - 1 + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.4.4

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.4.4.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1 + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.4.4.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$- 1 - 1 \cdot x + 1 (2 x) + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.4.4.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$- 1 - x + 1 (2 x) + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.4.4.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$- 1 - x + 2 x + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.4.4.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- 1 - x + 2 x + 2 (x^{1} x) + 1 - x + x^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.4.4.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- 1 - x + 2 x + 2 (x^{1} x^{1}) + 1 - x + x^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.4.4.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 1 - x + 2 x + 2 x^{1 + 1} + 1 - x + x^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.4.4.8

Somma $1$ e $1$ .

$- 1 - x + 2 x + 2 x^{2} + 1 - x + x^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.4.4.9

Somma $- x$ e $2 x$ .

$- 1 + x + 2 x^{2} + 1 - x + x^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.4.4.10

Somma $- 1$ e $1$ .

$x + 2 x^{2} + 0 - x + x^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.4.4.11

Somma $x + 2 x^{2}$ e $0$ .

$x + 2 x^{2} - x + x^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.4.4.12

Sottrai $x$ da $x$ .

$2 x^{2} + 0 + x^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.4.4.13

Somma $2 x^{2}$ e $0$ .

$2 x^{2} + x^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.4.4.14

Somma $2 x^{2}$ e $x^{2}$ .

$3 x^{2}$

Passaggio 3.3.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u$

Passaggio 3.3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 \int \frac{1}{u \cdot 3} d u$

Passaggio 3.3.3.2

Sposta $3$ alla sinistra di $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 \int \frac{1}{3 u} d u$

Passaggio 3.3.4

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u)$

Passaggio 3.3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.1

$\frac{1}{3}$ e $3$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{3}{3} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 3.3.5.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.2.1

Elimina il fattore comune.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{3}{3} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 3.3.5.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (| y |) + C_{1} = 1 \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 3.3.5.3

Moltiplica $\int \frac{1}{u} d u$ per $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 3.3.6

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

Passaggio 3.3.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $(1 + x) (1 - x + x^{2})$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |) + C_{2}$

Passaggio 3.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| y |) = \ln (| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |) + C$

Passaggio 4

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (| y |) - \ln (| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |) = C$

Passaggio 4.2

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |}) = C$

Passaggio 4.3

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (\frac{| y |}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |})} = e^{C}$

Passaggio 4.4

Riscrivi $\ln (\frac{| y |}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |}) = C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |}$

Passaggio 4.5

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{| y |}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |} = e^{C}$ .

$\frac{| y |}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |} = e^{C}$

Passaggio 4.5.2

Moltiplica ogni lato per $| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |$ .

$\frac{| y |}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |} | (1 + x) (1 - x + x^{2}) | = e^{C} | (1 + x) (1 - x + x^{2}) |$

Passaggio 4.5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.3.1.1

Elimina il fattore comune di $| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{| y |}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |} | (1 + x) (1 - x + x^{2}) | = e^{C} | (1 + x) (1 - x + x^{2}) |$

Passaggio 4.5.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$| y | = e^{C} | (1 + x) (1 - x + x^{2}) |$

Passaggio 4.5.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.3.2.1

Semplifica $e^{C} | (1 + x) (1 - x + x^{2}) |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.3.2.1.1

Espandi $(1 + x) (1 - x + x^{2})$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$| y | = e^{C} | 1 \cdot 1 + 1 (- x) + 1 x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |$

Passaggio 4.5.3.2.1.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.3.2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.3.2.1.2.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$| y | = e^{C} | 1 + 1 (- x) + 1 x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |$

Passaggio 4.5.3.2.1.2.1.2

Moltiplica $- x$ per $1$ .

$| y | = e^{C} | 1 - x + 1 x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |$

Passaggio 4.5.3.2.1.2.1.3

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$| y | = e^{C} | 1 - x + x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |$

Passaggio 4.5.3.2.1.2.1.4

Moltiplica $x$ per $1$ .

$| y | = e^{C} | 1 - x + x^{2} + x + x (- x) + x \cdot x^{2} |$

Passaggio 4.5.3.2.1.2.1.5

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$| y | = e^{C} | 1 - x + x^{2} + x - x \cdot x + x \cdot x^{2} |$

Passaggio 4.5.3.2.1.2.1.6

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.3.2.1.2.1.6.1

Sposta $x$ .

$| y | = e^{C} | 1 - x + x^{2} + x - (x \cdot x) + x \cdot x^{2} |$

Passaggio 4.5.3.2.1.2.1.6.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$| y | = e^{C} | 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x \cdot x^{2} |$

Passaggio 4.5.3.2.1.2.1.7

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.3.2.1.2.1.7.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.3.2.1.2.1.7.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$| y | = e^{C} | 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{1} x^{2} |$

Passaggio 4.5.3.2.1.2.1.7.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$| y | = e^{C} | 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{1 + 2} |$

Passaggio 4.5.3.2.1.2.1.7.2

Somma $1$ e $2$ .

$| y | = e^{C} | 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{3} |$

Passaggio 4.5.3.2.1.2.2

Combina i termini opposti in $1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.3.2.1.2.2.1

Somma $- x$ e $x$ .

$| y | = e^{C} | 1 + x^{2} + 0 - x^{2} + x^{3} |$

Passaggio 4.5.3.2.1.2.2.2

Somma $1 + x^{2}$ e $0$ .

$| y | = e^{C} | 1 + x^{2} - x^{2} + x^{3} |$

Passaggio 4.5.3.2.1.2.2.3

Sottrai $x^{2}$ da $x^{2}$ .

$| y | = e^{C} | 1 + 0 + x^{3} |$

Passaggio 4.5.3.2.1.2.2.4

Somma $1$ e $0$ .

$| y | = e^{C} | 1 + x^{3} |$

Passaggio 4.5.4

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.4.1

Riordina i fattori in $e^{C} | 1 + x^{3} |$ .

$| y | = | 1 + x^{3} | e^{C}$

Passaggio 4.5.4.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$y = \pm | 1 + x^{3} | e^{C}$

Passaggio 5

Raggruppa i termini costanti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \pm | 1 + x^{3} | C$

Passaggio 5.2

Combina costanti con il più o il meno.

$y = C | 1 + x^{3} |$