Calcolo Esempi

$(x + 1) \frac{d y}{d x} - y = e^{x} {(x + 1)}^{2}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale come $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Dividi per $x + 1$ ciascun termine in $(x + 1) \frac{d y}{d x} - y = e^{x} {(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{(x + 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{- y}{x + 1} = \frac{e^{x} {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x + 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{- y}{x + 1} = \frac{e^{x} {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Passaggio 1.2.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x + 1} = \frac{e^{x} {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Passaggio 1.3

Elimina il fattore comune di ${(x + 1)}^{2}$ e $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Scomponi $x + 1$ da $e^{x} {(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x + 1} = \frac{(x + 1) (e^{x} (x + 1))}{x + 1}$

Passaggio 1.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Moltiplica per $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x + 1} = \frac{(x + 1) (e^{x} (x + 1))}{(x + 1) \cdot 1}$

Passaggio 1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x + 1} = \frac{(x + 1) (e^{x} (x + 1))}{(x + 1) \cdot 1}$

Passaggio 1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x + 1} = \frac{e^{x} (x + 1)}{1}$

Passaggio 1.3.2.4

Dividi $e^{x} (x + 1)$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x + 1} = e^{x} (x + 1)$

Passaggio 1.4

Scomponi $y$ da $\frac{- y}{x + 1}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 1}{x + 1} = e^{x} (x + 1)$

Passaggio 1.5

Riordina $y$ e $\frac{- 1}{x + 1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 1}{x + 1} y = e^{x} (x + 1)$

Passaggio 2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = \frac{- 1}{x + 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int \frac{- 1}{x + 1} d x}$

Passaggio 2.2

Integra $\frac{- 1}{x + 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$e^{\int - \frac{1}{x + 1} d x}$

Passaggio 2.2.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{- \int \frac{1}{x + 1} d x}$

Passaggio 2.2.3

Sia $u = x + 1$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Sia $u = x + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1.1

Differenzia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 2.2.3.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2.3.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2.3.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 2.2.3.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 2.2.3.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{- \int \frac{1}{u} d u}$

Passaggio 2.2.4

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$e^{- (\ln (| u |) + C)}$

Passaggio 2.2.5

Semplifica.

$e^{- \ln (| u |) + C}$

Passaggio 2.2.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 1$ .

$e^{- \ln (| x + 1 |) + C}$

Passaggio 2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{- \ln (x + 1)}$

Passaggio 2.4

Usa la regola della potenza logaritmica.

$e^{\ln ({(x + 1)}^{- 1})}$

Passaggio 2.5

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

${(x + 1)}^{- 1}$

Passaggio 2.6

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x + 1}$

Passaggio 3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $\frac{1}{x + 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine per $\frac{1}{x + 1}$ .

$\frac{1}{x + 1} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x + 1} (\frac{- 1}{x + 1} y) = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

Passaggio 3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

$\frac{1}{x + 1}$ e $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{1}{x + 1} (\frac{- 1}{x + 1} y) = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

Passaggio 3.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{1}{x + 1} (- \frac{1}{x + 1} y) = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

Passaggio 3.2.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x + 1} - \frac{1}{x + 1} (\frac{1}{x + 1} y) = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

Passaggio 3.2.4

$\frac{1}{x + 1}$ e $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x + 1} - \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{y}{x + 1} = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

Passaggio 3.2.5

Moltiplica $- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{y}{x + 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.1

Moltiplica $\frac{y}{x + 1}$ per $\frac{1}{x + 1}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x + 1} - \frac{y}{(x + 1) (x + 1)} = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

Passaggio 3.2.5.2

Eleva $x + 1$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x + 1} - \frac{y}{{(x + 1)}^{1} (x + 1)} = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

Passaggio 3.2.5.3

Eleva $x + 1$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x + 1} - \frac{y}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1}} = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

Passaggio 3.2.5.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x + 1} - \frac{y}{{(x + 1)}^{1 + 1}} = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

Passaggio 3.2.5.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x + 1} - \frac{y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

Passaggio 3.3

Per scrivere $\frac{\frac{d y}{d x}}{x + 1}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

Passaggio 3.4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di ${(x + 1)}^{2}$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Moltiplica $\frac{\frac{d y}{d x}}{x + 1}$ per $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x + 1)}{(x + 1) (x + 1)} - \frac{y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

Passaggio 3.4.2

Eleva $x + 1$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{1} (x + 1)} - \frac{y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

Passaggio 3.4.3

Eleva $x + 1$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1}} - \frac{y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

Passaggio 3.4.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{1 + 1}} - \frac{y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

Passaggio 3.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

Passaggio 3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x + 1) - y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

Passaggio 3.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} \cdot 1 - y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

Passaggio 3.6.2

Moltiplica $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} - y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

Passaggio 3.7

Elimina il fattore comune di $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Scomponi $x + 1$ da $e^{x} (x + 1)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} - y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{x + 1} ((x + 1) e^{x})$

Passaggio 3.7.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} - y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{x + 1} ((x + 1) e^{x})$

Passaggio 3.7.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} - y}{{(x + 1)}^{2}} = e^{x}$

Passaggio 3.8

Riordina i fattori in $\frac{\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} - y}{{(x + 1)}^{2}} = e^{x}$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} - y}{{(x + 1)}^{2}} = e^{x}$

Passaggio 4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 1} y] = e^{x}$

Passaggio 5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 1} y] d x = \int e^{x} d x$

Passaggio 6

Integra il lato sinistro.

$\frac{1}{x + 1} y = \int e^{x} d x$

Passaggio 7

L'integrale di $e^{x}$ rispetto a $x$ è $e^{x}$ .

$\frac{1}{x + 1} y = e^{x} + C$

Passaggio 8

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

$\frac{1}{x + 1}$ e $y$ .

$\frac{y}{x + 1} = e^{x} + C$

Passaggio 8.2

Moltiplica ogni lato per $x + 1$ .

$\frac{y}{x + 1} (x + 1) = (e^{x} + C) (x + 1)$

Passaggio 8.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1

Elimina il fattore comune di $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y}{x + 1} (x + 1) = (e^{x} + C) (x + 1)$

Passaggio 8.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y = (e^{x} + C) (x + 1)$

Passaggio 8.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1

Semplifica $(e^{x} + C) (x + 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1.1

Espandi $(e^{x} + C) (x + 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = e^{x} (x + 1) + C (x + 1)$

Passaggio 8.3.2.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = e^{x} x + e^{x} \cdot 1 + C (x + 1)$

Passaggio 8.3.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = e^{x} x + e^{x} \cdot 1 + C x + C \cdot 1$

Passaggio 8.3.2.1.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1.2.1.1

Moltiplica $e^{x}$ per $1$ .

$y = e^{x} x + e^{x} + C x + C \cdot 1$

Passaggio 8.3.2.1.2.1.2

Moltiplica $C$ per $1$ .

$y = e^{x} x + e^{x} + C x + C$

Passaggio 8.3.2.1.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1.2.2.1

Riordina i fattori in $e^{x} x + e^{x} + C x + C$ .

$y = x e^{x} + e^{x} + C x + C$

Passaggio 8.3.2.1.2.2.2

Sposta $e^{x}$ .

$y = x e^{x} + C x + C + e^{x}$

Passaggio 8.3.2.1.2.2.3

Sposta $x e^{x}$ .

$y = C x + C + x e^{x} + e^{x}$