Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} - \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)} y = g (x)$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale.

$\frac{d y}{d x} - \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)} y = y$

Passaggio 2

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Risolvi per $\frac{d y}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Semplifica $\frac{d y}{d x} - \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)} y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1.1.1

Frazioni separate.

$\frac{d y}{d x} - (\frac{2}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) y = y$

Passaggio 2.1.1.1.1.2

Converti da $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ a $\cot (x)$ .

$\frac{d y}{d x} - (\frac{2}{1} \cot (x)) y = y$

Passaggio 2.1.1.1.1.3

Dividi $2$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} - (2 \cot (x)) y = y$

Passaggio 2.1.1.1.1.4

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{d y}{d x} - 2 \cot (x) y = y$

Passaggio 2.1.1.1.2

Riordina i fattori in $\frac{d y}{d x} - 2 \cot (x) y$ .

$\frac{d y}{d x} - 2 y \cot (x) = y$

Passaggio 2.1.2

Somma $2 y \cot (x)$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d y}{d x} = y + 2 y \cot (x)$

Passaggio 2.2

Scomponi $y$ da $y + 2 y \cot (x)$ .

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Passaggio 2.2.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d y}{d x} = y^{1} + 2 y \cot (x)$

Passaggio 2.2.2

Scomponi $y$ da $y^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = y \cdot 1 + 2 y \cot (x)$

Passaggio 2.2.3

Scomponi $y$ da $2 y \cot (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = y \cdot 1 + y (2 \cot (x))$

Passaggio 2.2.4

Scomponi $y$ da $y \cdot 1 + y (2 \cot (x))$ .

$\frac{d y}{d x} = y (1 + 2 \cot (x))$

Passaggio 2.3

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (1 + 2 \cot (x)))$

Passaggio 2.4

Elimina il fattore comune di $y$ .

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Passaggio 2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (1 + 2 \cot (x)))$

Passaggio 2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 1 + 2 \cot (x)$

Passaggio 2.5

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{y} d y = (1 + 2 \cot (x)) d x$

Passaggio 3

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 3.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 1 + 2 \cot (x) d x$

Passaggio 3.2

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 1 + 2 \cot (x) d x$

Passaggio 3.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 3.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int d x + \int 2 \cot (x) d x$

Passaggio 3.3.2

Applica la regola costante.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} + \int 2 \cot (x) d x$

Passaggio 3.3.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} + 2 \int \cot (x) d x$

Passaggio 3.3.4

L'integrale di $\cot (x)$ rispetto a $x$ è $\ln (| \sin (x) |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} + 2 (\ln (| \sin (x) |) + C_{3})$

Passaggio 3.3.5

Semplifica.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + 2 \ln (| \sin (x) |) + C_{4}$

Passaggio 3.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| y |) = x + 2 \ln (| \sin (x) |) + C$

Passaggio 4

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 4.1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (| y |) - 2 \ln (| \sin (x) |) = x + C$

Passaggio 4.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 4.2.1

Semplifica $\ln (| y |) - 2 \ln (| \sin (x) |)$ .

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Passaggio 4.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.1.1

Semplifica $- 2 \ln (| \sin (x) |)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\ln (| y |) - \ln ({| \sin (x) |}^{2}) = x + C$

Passaggio 4.2.1.1.2

Rimuovi il valore assoluto in ${| \sin (x) |}^{2}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$\ln (| y |) - \ln (\sin^{2} (x)) = x + C$

Passaggio 4.2.1.2

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{\sin^{2} (x)}) = x + C$

Passaggio 4.2.1.3

Moltiplica per $1$ .

$\ln (\frac{| y |}{\sin^{2} (x) \cdot 1}) = x + C$

Passaggio 4.2.1.4

Frazioni separate.

$\ln (\frac{| y |}{1} \cdot \frac{1}{\sin^{2} (x)}) = x + C$

Passaggio 4.2.1.5

Converti da $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ a $\csc^{2} (x)$ .

$\ln (\frac{| y |}{1} \csc^{2} (x)) = x + C$

Passaggio 4.2.1.6

Dividi $| y |$ per $1$ .

$\ln (| y | \csc^{2} (x)) = x + C$

Passaggio 4.3

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| y | \csc^{2} (x))} = e^{x + C}$

Passaggio 4.4

Riscrivi $\ln (| y | \csc^{2} (x)) = x + C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{x + C} = | y | \csc^{2} (x)$

Passaggio 4.5

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 4.5.1

Riscrivi l'equazione come $| y | \csc^{2} (x) = e^{x + C}$ .

$| y | \csc^{2} (x) = e^{x + C}$

Passaggio 4.5.2

Dividi per $\csc^{2} (x)$ ciascun termine in $| y | \csc^{2} (x) = e^{x + C}$ e semplifica.

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Passaggio 4.5.2.1

Dividi per $\csc^{2} (x)$ ciascun termine in $| y | \csc^{2} (x) = e^{x + C}$ .

$\frac{| y | \csc^{2} (x)}{\csc^{2} (x)} = \frac{e^{x + C}}{\csc^{2} (x)}$

Passaggio 4.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $\csc^{2} (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{| y | \csc^{2} (x)}{\csc^{2} (x)} = \frac{e^{x + C}}{\csc^{2} (x)}$

Passaggio 4.5.2.2.1.2

Dividi $| y |$ per $1$ .

$| y | = \frac{e^{x + C}}{\csc^{2} (x)}$

Passaggio 4.5.3

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$y = \pm \frac{e^{x + C}}{\csc^{2} (x)}$

Passaggio 5

Raggruppa i termini costanti.

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Passaggio 5.1

Riscrivi $e^{x + C}$ come $e^{x} e^{C}$ .

$y = \pm \frac{e^{x} e^{C}}{\csc^{2} (x)}$

Passaggio 5.2

Riordina $e^{x}$ e $e^{C}$ .

$y = \pm \frac{e^{C} e^{x}}{\csc^{2} (x)}$

Passaggio 5.3

Combina costanti con il più o il meno.

$y = C \frac{C e^{x}}{\csc^{2} (x)}$