Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(x y)}^{2}}$ , $y (1) = 3$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Applica la regola del prodotto a $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2} y^{2}}$

Passaggio 1.2

Raggruppa i fattori.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{y^{2}}$

Passaggio 1.3

Moltiplica ogni lato per $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} (\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{y^{2}})$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Combina.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1 \cdot 1}{x^{2} y^{2}}$

Passaggio 1.4.2

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Scomponi $y^{2}$ da $x^{2} y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1 \cdot 1}{y^{2} x^{2}}$

Passaggio 1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1 \cdot 1}{y^{2} x^{2}}$

Passaggio 1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{x^{2}}$

Passaggio 1.4.3

Moltiplica $1$ per $1$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 1.5

Riscrivi l'equazione.

$y^{2} d y = \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int y^{2} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Sposta $x^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Passaggio 2.3.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Passaggio 2.3.1.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int x^{- 2} d x$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- 2}$ rispetto a $x$ è $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3

Riscrivi $- x^{- 1} + C_{2}$ come $- \frac{1}{x} + C_{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{x} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = - \frac{1}{x} + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (- \frac{1}{x} + K)$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Semplifica $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

$\frac{1}{3}$ e $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{x} + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{x} + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{3} = 3 (- \frac{1}{x} + K)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $3 (- \frac{1}{x} + K)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y^{3} = 3 (- \frac{1}{x}) + 3 K$

Passaggio 3.2.2.1.2

Moltiplica $3 (- \frac{1}{x})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$y^{3} = - 3 \frac{1}{x} + 3 K$

Passaggio 3.2.2.1.2.2

$- 3$ e $\frac{1}{x}$ .

$y^{3} = \frac{- 3}{x} + 3 K$

Passaggio 3.2.2.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y^{3} = - \frac{3}{x} + 3 K$

Passaggio 3.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \sqrt[3]{- \frac{3}{x} + 3 K}$

Passaggio 3.4

Semplifica $\sqrt[3]{- \frac{3}{x} + 3 K}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Scomponi $3$ da $- \frac{3}{x} + 3 K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.1

Scomponi $3$ da $- \frac{3}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{1}{x}) + 3 K}$

Passaggio 3.4.1.2

Scomponi $3$ da $3 K$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{1}{x}) + 3 K}$

Passaggio 3.4.1.3

Scomponi $3$ da $3 (- \frac{1}{x}) + 3 K$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{1}{x} + K)}$

Passaggio 3.4.2

Per scrivere $K$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{1}{x} + \frac{K x}{x})}$

Passaggio 3.4.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{- 1 + K x}{x}}$

Passaggio 3.4.4

$3$ e $\frac{- 1 + K x}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 (- 1 + K x)}{x}}$

Passaggio 3.4.5

Riscrivi $\sqrt[3]{\frac{3 (- 1 + K x)}{x}}$ come $\frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)}}{\sqrt[3]{x}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)}}{\sqrt[3]{x}}$

Passaggio 3.4.6

Moltiplica $\frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)}}{\sqrt[3]{x}}$ per $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)}}{\sqrt[3]{x}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Passaggio 3.4.7

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.7.1

Moltiplica $\frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)}}{\sqrt[3]{x}}$ per $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Passaggio 3.4.7.2

Eleva $\sqrt[3]{x}$ alla potenza di $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{1} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Passaggio 3.4.7.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{1 + 2}}$

Passaggio 3.4.7.4

Somma $1$ e $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{3}}$

Passaggio 3.4.7.5

Riscrivi ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ come $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.7.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x}$ come $x^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Passaggio 3.4.7.5.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Passaggio 3.4.7.5.3

$\frac{1}{3}$ e $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{3}{3}}}$

Passaggio 3.4.7.5.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.7.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{3}{3}}}$

Passaggio 3.4.7.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{1}}$

Passaggio 3.4.7.5.5

Semplifica.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x}$

Passaggio 3.4.8

Riscrivi ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ come $\sqrt[3]{x^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} \sqrt[3]{x^{2}}}{x}$

Passaggio 3.4.9

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x) x^{2}}}{x}$

Passaggio 3.4.10

Riordina i fattori in $\frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x) x^{2}}}{x}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} (- 1 + K x)}}{x}$

Passaggio 4

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $K$ sostituendo $x$ con $1$ e $y$ con $3$ in $y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} (- 1 + K x)}}{x}$ .

$3 = \frac{\sqrt[3]{3 \cdot 1^{2} (- 1 + K \cdot 1)}}{1}$

Passaggio 5

Risolvi per $K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{\sqrt[3]{3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1))}}{1} = 3$ .

$\frac{\sqrt[3]{3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1))}}{1} = 3$

Passaggio 5.2

Dividi $\sqrt[3]{3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1))}$ per $1$ .

$\sqrt[3]{3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1))} = 3$

Passaggio 5.3

Risolvi per $K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al cubo entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt[3]{3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1))}}^{3} = 3^{3}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1))}$ come ${(3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1)))}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1)))}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 3^{3}$

Passaggio 5.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Semplifica ${({(3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1)))}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1)))}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1)))}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 3^{3}$

Passaggio 5.3.2.2.1.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1)))}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 3^{3}$

Passaggio 5.3.2.2.1.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1)))}^{1} = 3^{3}$

Passaggio 5.3.2.2.1.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

${(3 \cdot (1 (- 1 + K \cdot 1)))}^{1} = 3^{3}$

Passaggio 5.3.2.2.1.1.3

Moltiplica $- 1 + K \cdot 1$ per $1$ .

${(3 \cdot (- 1 + K \cdot 1))}^{1} = 3^{3}$

Passaggio 5.3.2.2.1.1.4

Moltiplica $K$ per $1$ .

${(3 \cdot (- 1 + K))}^{1} = 3^{3}$

Passaggio 5.3.2.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

${(3 \cdot - 1 + 3 K)}^{1} = 3^{3}$

Passaggio 5.3.2.2.1.3

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1.3.1

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

${(- 3 + 3 K)}^{1} = 3^{3}$

Passaggio 5.3.2.2.1.3.2

Semplifica.

$- 3 + 3 K = 3^{3}$

Passaggio 5.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.3.1

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$- 3 + 3 K = 27$

Passaggio 5.3.3

Risolvi per $K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Sposta tutti i termini non contenenti $K$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 K = 27 + 3$

Passaggio 5.3.3.1.2

Somma $27$ e $3$ .

$3 K = 30$

Passaggio 5.3.3.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 K = 30$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 K = 30$ .

$\frac{3 K}{3} = \frac{30}{3}$

Passaggio 5.3.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 K}{3} = \frac{30}{3}$

Passaggio 5.3.3.2.2.1.2

Dividi $K$ per $1$ .

$K = \frac{30}{3}$

Passaggio 5.3.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.3.1

Dividi $30$ per $3$ .

$K = 10$

Passaggio 6

Sostituisci $10$ a $K$ in $y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} (- 1 + K x)}}{x}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci $10$ a $K$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} (- 1 + 10 x)}}{x}$