Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x + 1}{3 y}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{2 x + 1}{3 y}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Scomponi $y$ da $3 y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{2 x + 1}{y \cdot 3}$

Passaggio 1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{2 x + 1}{y \cdot 3}$

Passaggio 1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{2 x + 1}{3}$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$y d y = \frac{2 x + 1}{3} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int y d y = \int \frac{2 x + 1}{3} d x$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{2 x + 1}{3} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} \int 2 x + 1 d x$

Passaggio 2.3.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} (\int 2 x d x + \int d x)$

Passaggio 2.3.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} (2 \int x d x + \int d x)$

Passaggio 2.3.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} (2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int d x)$

Passaggio 2.3.5

Applica la regola costante.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} (2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + x + C_{3})$

Passaggio 2.3.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} (2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + x + C_{3})$

Passaggio 2.3.6.2

Semplifica.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} (x^{2} + x) + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{3} (x^{2} + x) + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{3} (x^{2} + x) + K)$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Semplifica $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{3} (x^{2} + x) + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{3} (x^{2} + x) + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{3} (x^{2} + x) + K)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $2 (\frac{1}{3} (x^{2} + x) + K)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{3} x^{2} + \frac{1}{3} x + K)$

Passaggio 3.2.2.1.1.2

$\frac{1}{3}$ e $x^{2}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x^{2}}{3} + \frac{1}{3} x + K)$

Passaggio 3.2.2.1.1.3

$\frac{1}{3}$ e $x$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x^{2}}{3} + \frac{x}{3} + K)$

Passaggio 3.2.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y^{2} = 2 \frac{x^{2}}{3} + 2 \frac{x}{3} + 2 K$

Passaggio 3.2.2.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.3.1

$2$ e $\frac{x^{2}}{3}$ .

$y^{2} = \frac{2 x^{2}}{3} + 2 \frac{x}{3} + 2 K$

Passaggio 3.2.2.1.3.2

$2$ e $\frac{x}{3}$ .

$y^{2} = \frac{2 x^{2}}{3} + \frac{2 x}{3} + 2 K$

Passaggio 3.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x^{2}}{3} + \frac{2 x}{3} + 2 K}$

Passaggio 3.4

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{2 x^{2}}{3} + \frac{2 x}{3} + 2 K}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x^{2} + 2 x}{3} + 2 K}$

Passaggio 3.4.2

Scomponi $2 x$ da $2 x^{2} + 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Scomponi $2 x$ da $2 x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x (x) + 2 x}{3} + 2 K}$

Passaggio 3.4.2.2

Scomponi $2 x$ da $2 x$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x (x) + 2 x (1)}{3} + 2 K}$

Passaggio 3.4.2.3

Scomponi $2 x$ da $2 x (x) + 2 x (1)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x (x + 1)}{3} + 2 K}$

Passaggio 3.4.3

Per scrivere $2 K$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x (x + 1)}{3} + 2 K \cdot \frac{3}{3}}$

Passaggio 3.4.4

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.1

$2 K$ e $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x (x + 1)}{3} + \frac{2 K \cdot 3}{3}}$

Passaggio 3.4.4.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x (x + 1) + 2 K \cdot 3}{3}}$

Passaggio 3.4.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.1

Scomponi $2$ da $2 x (x + 1) + 2 K \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.1.1

Scomponi $2$ da $2 x (x + 1)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (x (x + 1)) + 2 K \cdot 3}{3}}$

Passaggio 3.4.5.1.2

Scomponi $2$ da $2 K \cdot 3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (x (x + 1)) + 2 (K \cdot 3)}{3}}$

Passaggio 3.4.5.1.3

Scomponi $2$ da $2 (x (x + 1)) + 2 (K \cdot 3)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (x (x + 1) + K \cdot 3)}{3}}$

Passaggio 3.4.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (x \cdot x + x \cdot 1 + K \cdot 3)}{3}}$

Passaggio 3.4.5.3

Moltiplica $x$ per $x$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (x^{2} + x \cdot 1 + K \cdot 3)}{3}}$

Passaggio 3.4.5.4

Moltiplica $x$ per $1$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (x^{2} + x + K \cdot 3)}{3}}$

Passaggio 3.4.5.5

Sposta $3$ alla sinistra di $K$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (x^{2} + x + 3 K)}{3}}$

Passaggio 3.4.6

Riscrivi $\sqrt{\frac{2 (x^{2} + x + 3 K)}{3}}$ come $\frac{\sqrt{2 (x^{2} + x + 3 K)}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{2} + x + 3 K)}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 3.4.7

Moltiplica $\frac{\sqrt{2 (x^{2} + x + 3 K)}}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{2} + x + 3 K)}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 3.4.8

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.8.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2 (x^{2} + x + 3 K)}}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{2} + x + 3 K)} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 3.4.8.2

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{2} + x + 3 K)} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Passaggio 3.4.8.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{2} + x + 3 K)} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Passaggio 3.4.8.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{2} + x + 3 K)} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Passaggio 3.4.8.5

Somma $1$ e $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{2} + x + 3 K)} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Passaggio 3.4.8.6

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.8.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{2} + x + 3 K)} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 3.4.8.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{2} + x + 3 K)} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 3.4.8.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{2} + x + 3 K)} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.4.8.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.8.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{2} + x + 3 K)} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.4.8.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{2} + x + 3 K)} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Passaggio 3.4.8.6.5

Calcola l'esponente.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{2} + x + 3 K)} \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 3.4.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.9.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{2} + x + 3 K) \cdot 3}}{3}$

Passaggio 3.4.9.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{6 (x^{2} + x + 3 K)}}{3}$

Passaggio 3.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{2} + x + 3 K)}}{3}$

Passaggio 3.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \frac{\sqrt{6 (x^{2} + x + 3 K)}}{3}$

Passaggio 3.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{2} + x + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (x^{2} + x + 3 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{2} + x + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (x^{2} + x + 3 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{2} + x + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (x^{2} + x + 3 K)}}{3}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{2} + x + K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (x^{2} + x + K)}}{3}$