Calcolo Esempi

$\frac{d f}{d t} = 4 t + \frac{7 t}{\sqrt{25 - t^{2}}}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d f = (4 t + \frac{7 t}{\sqrt{25 - t^{2}}}) d t$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d f = \int 4 t + \frac{7 t}{\sqrt{25 - t^{2}}} d t$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$f + C_{1} = \int 4 t + \frac{7 t}{\sqrt{25 - t^{2}}} d t$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$f + C_{1} = \int 4 t d t + \int \frac{7 t}{\sqrt{25 - t^{2}}} d t$

Passaggio 2.3.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $t$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$f + C_{1} = 4 \int t d t + \int \frac{7 t}{\sqrt{25 - t^{2}}} d t$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $t$ rispetto a $t$ è $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$f + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int \frac{7 t}{\sqrt{25 - t^{2}}} d t$

Passaggio 2.3.4

Poiché $7$ è costante rispetto a $t$ , sposta $7$ fuori dall'integrale.

$f + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + 7 \int \frac{t}{\sqrt{25 - t^{2}}} d t$

Passaggio 2.3.5

Sia $u = 25 - t^{2}$ . Allora $d u = - 2 t d t$ , quindi $- \frac{1}{2} d u = t d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.3.5.1

Sia $u = 25 - t^{2}$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

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Passaggio 2.3.5.1.1

Differenzia $25 - t^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [25 - t^{2}]$

Passaggio 2.3.5.1.2

Differenzia.

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Passaggio 2.3.5.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $25 - t^{2}$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [25] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]$ .

$\frac{d}{d t} [25] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]$

Passaggio 2.3.5.1.2.2

Poiché $25$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $25$ rispetto a $t$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- t^{2}]$

Passaggio 2.3.5.1.3

Calcola $\frac{d}{d t} [- t^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- t^{2}$ rispetto a $t$ è $- \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Passaggio 2.3.5.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 - (2 t)$

Passaggio 2.3.5.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$0 - 2 t$

Passaggio 2.3.5.1.4

Sottrai $2 t$ da $0$ .

$- 2 t$

Passaggio 2.3.5.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$f + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + 7 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Passaggio 2.3.6

Semplifica.

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Passaggio 2.3.6.1

$\frac{1}{2}$ e $t^{2}$ .

$f + C_{1} = 4 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) + 7 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Passaggio 2.3.6.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f + C_{1} = 4 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) + 7 \int \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{2}) d u$

Passaggio 2.3.6.3

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{u}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$f + C_{1} = 4 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) + 7 \int - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Passaggio 2.3.6.4

Sposta $2$ alla sinistra di $\sqrt{u}$ .

$f + C_{1} = 4 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) + 7 \int - \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Passaggio 2.3.7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$f + C_{1} = 4 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) + 7 (- \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u)$

Passaggio 2.3.8

Moltiplica $- 1$ per $7$ .

$f + C_{1} = 4 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) - 7 \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Passaggio 2.3.9

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$f + C_{1} = 4 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) - 7 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Passaggio 2.3.10

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.3.10.1

Semplifica.

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Passaggio 2.3.10.1.1

$\frac{1}{2}$ e $- 7$ .

$f + C_{1} = 4 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) + \frac{- 7}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 2.3.10.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f + C_{1} = 4 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) - \frac{7}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 2.3.10.2

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 2.3.10.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$f + C_{1} = 4 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) - \frac{7}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Passaggio 2.3.10.2.2

Sposta $u^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$f + C_{1} = 4 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) - \frac{7}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Passaggio 2.3.10.2.3

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 2.3.10.2.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f + C_{1} = 4 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) - \frac{7}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Passaggio 2.3.10.2.3.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$f + C_{1} = 4 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) - \frac{7}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Passaggio 2.3.10.2.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f + C_{1} = 4 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) - \frac{7}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 2.3.11

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$f + C_{1} = 4 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) - \frac{7}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{3})$

Passaggio 2.3.12

Semplifica.

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Passaggio 2.3.12.1

Semplifica.

$f + C_{1} = 2 t^{2} - \frac{7}{2} (2 u^{\frac{1}{2}}) + C_{4}$

Passaggio 2.3.12.2

Semplifica.

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Passaggio 2.3.12.2.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f + C_{1} = 2 t^{2} - 2 (\frac{7}{2}) u^{\frac{1}{2}} + C_{4}$

Passaggio 2.3.12.2.2

$- 2$ e $\frac{7}{2}$ .

$f + C_{1} = 2 t^{2} + \frac{- 2 \cdot 7}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{4}$

Passaggio 2.3.12.2.3

Moltiplica $- 2$ per $7$ .

$f + C_{1} = 2 t^{2} + \frac{- 14}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{4}$

Passaggio 2.3.12.2.4

$\frac{- 14}{2}$ e $u^{\frac{1}{2}}$ .

$f + C_{1} = 2 t^{2} + \frac{- 14 u^{\frac{1}{2}}}{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.12.2.5

Scomponi $2$ da $- 14 u^{\frac{1}{2}}$ .

$f + C_{1} = 2 t^{2} + \frac{2 (- 7 u^{\frac{1}{2}})}{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.12.2.6

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 2.3.12.2.6.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$f + C_{1} = 2 t^{2} + \frac{2 (- 7 u^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} + C_{4}$

Passaggio 2.3.12.2.6.2

Elimina il fattore comune.

$f + C_{1} = 2 t^{2} + \frac{2 (- 7 u^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} + C_{4}$

Passaggio 2.3.12.2.6.3

Riscrivi l'espressione.

$f + C_{1} = 2 t^{2} + \frac{- 7 u^{\frac{1}{2}}}{1} + C_{4}$

Passaggio 2.3.12.2.6.4

Dividi $- 7 u^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$f + C_{1} = 2 t^{2} - 7 u^{\frac{1}{2}} + C_{4}$

Passaggio 2.3.13

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $25 - t^{2}$ .

$f + C_{1} = 2 t^{2} - 7 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$f = 2 t^{2} - 7 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} + K$