Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{2} - y^{2}}{2 x y}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale come una funzione di $\frac{y}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Dividi $\frac{6 x^{2} - y^{2}}{2 x y}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Dividi la frazione $\frac{6 x^{2} - y^{2}}{2 x y}$ in due frazioni.

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{2}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Passaggio 1.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Elimina il fattore comune di $6$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.1

Scomponi $2$ da $6 x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (3 x^{2})}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (3 x^{2})}{2 (x y)} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Passaggio 1.1.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (3 x^{2})}{2 (x y)} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Passaggio 1.1.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Passaggio 1.1.2.2

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1

Scomponi $x$ da $3 x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (3 x)}{x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Passaggio 1.1.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.2.1

Scomponi $x$ da $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (3 x)}{x (y)} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Passaggio 1.1.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (3 x)}{x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Passaggio 1.1.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Passaggio 1.1.2.3

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ e $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1

Scomponi $y$ da $- y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{y} + \frac{y (- y)}{2 x y}$

Passaggio 1.1.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.2.1

Scomponi $y$ da $2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{y} + \frac{y (- y)}{y (2 x)}$

Passaggio 1.1.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{y} + \frac{y (- y)}{y (2 x)}$

Passaggio 1.1.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{y} + \frac{- y}{2 x}$

Passaggio 1.1.2.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{y} - \frac{y}{2 x}$

Passaggio 1.2

Riscrivi l'equazione differenziale come $f (\frac{y}{x})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Metti in evidenza $\frac{x}{y}$ in $\frac{3 x}{y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Scomponi $\frac{x}{y}$ da $\frac{3 x}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} \cdot 3 - \frac{y}{2 x}$

Passaggio 1.2.1.2

Riordina $\frac{x}{y}$ e $3$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 \cdot \frac{x}{y} - \frac{y}{2 x}$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi $\frac{x}{y}$ come ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 \cdot {(\frac{y}{x})}^{- 1} - \frac{y}{2 x}$

Passaggio 1.3

Metti in evidenza $\frac{y}{x}$ in $\frac{y}{2 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Scomponi $\frac{y}{x}$ da $\frac{y}{2 x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 \cdot {(\frac{y}{x})}^{- 1} - (\frac{y}{x} \cdot \frac{1}{2})$

Passaggio 1.3.2

Riordina $\frac{y}{x}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 \cdot {(\frac{y}{x})}^{- 1} - (\frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x})$

Passaggio 2

Sia $V = \frac{y}{x}$ . Sostituisci $V$ a $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 \cdot V^{- 1} - (\frac{1}{2} V)$

Passaggio 3

Risolvi $V = \frac{y}{x}$ per $y$ .

$y = V x$

Passaggio 4

Usa la regola del prodotto per trovare la derivata di $y = V x$ rispetto a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Passaggio 5

Sostituisci $x \frac{d V}{d x} + V$ a $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = 3 \cdot V^{- 1} - (\frac{1}{2} V)$

Passaggio 6

Risolvi l'equazione differenziale sostituita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Risolvi per $\frac{d V}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = 3 \cdot \frac{1}{V} - \frac{1}{2} V$

Passaggio 6.1.1.1.2

$3$ e $\frac{1}{V}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{3}{V} - \frac{1}{2} V$

Passaggio 6.1.1.1.3

$V$ e $\frac{1}{2}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{3}{V} - \frac{V}{2}$

Passaggio 6.1.1.2

Sottrai $V$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{3}{V} - \frac{V}{2} - V$

Passaggio 6.1.1.3

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d V}{d x} = \frac{3}{V} - \frac{V}{2} - V$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d V}{d x} = \frac{3}{V} - \frac{V}{2} - V$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{3}{V}}{x} + \frac{- \frac{V}{2}}{x} + \frac{- V}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{3}{V}}{x} + \frac{- \frac{V}{2}}{x} + \frac{- V}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.2.1.2

Dividi $\frac{d V}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V}}{x} + \frac{- \frac{V}{2}}{x} + \frac{- V}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V} - \frac{V}{2} - V}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.2

Per scrivere $- V$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V} - \frac{V}{2} - V \cdot \frac{2}{2}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.3

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.3.3.1

$- V$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V} - \frac{V}{2} + \frac{- V \cdot 2}{2}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V} + \frac{- V - V \cdot 2}{2}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.3.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.3.3.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.3.3.3.1.1

Scomponi $V$ da $- V - V \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.3.3.3.1.1.1

Scomponi $V$ da $- V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V} + \frac{V \cdot - 1 - V \cdot 2}{2}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.3.3.1.1.2

Scomponi $V$ da $- V \cdot 2$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V} + \frac{V \cdot - 1 + V (- 1 \cdot 2)}{2}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.3.3.1.1.3

Scomponi $V$ da $V \cdot - 1 + V (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V} + \frac{V (- 1 - 1 \cdot 2)}{2}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.3.3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V} + \frac{V (- 1 - 2)}{2}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.3.3.1.3

Sottrai $2$ da $- 1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V} + \frac{V \cdot - 3}{2}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.3.3.2

Sposta $- 3$ alla sinistra di $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V} + \frac{- 3 \cdot V}{2}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.3.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V} - \frac{3 V}{2}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.3.4.1

Per scrivere $\frac{3}{V}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 V}{2}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.4.2

Per scrivere $- \frac{3 V}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 V}{2} \cdot \frac{V}{V}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.4.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $V \cdot 2$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.3.4.3.1

Moltiplica $\frac{3}{V}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3 \cdot 2}{V \cdot 2} - \frac{3 V}{2} \cdot \frac{V}{V}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.4.3.2

Moltiplica $\frac{3 V}{2}$ per $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3 \cdot 2}{V \cdot 2} - \frac{3 V \cdot V}{2 V}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.4.3.3

Riordina i fattori di $V \cdot 2$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3 \cdot 2}{2 V} - \frac{3 V \cdot V}{2 V}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.4.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3 \cdot 2 - 3 V \cdot V}{2 V}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.4.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.3.4.5.1

Scomponi $3$ da $3 \cdot 2 - 3 V \cdot V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.3.4.5.1.1

Scomponi $3$ da $3 \cdot 2$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3 (2) - 3 V \cdot V}{2 V}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.4.5.1.2

Scomponi $3$ da $- 3 V \cdot V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3 (2) + 3 (- V \cdot V)}{2 V}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.4.5.1.3

Scomponi $3$ da $3 (2) + 3 (- V \cdot V)$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3 (2 - V \cdot V)}{2 V}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.4.5.2

Moltiplica $V$ per $V$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.3.4.5.2.1

Sposta $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3 (2 - (V \cdot V))}{2 V}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.4.5.2.2

Moltiplica $V$ per $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3 (2 - V^{2})}{2 V}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.5

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{d V}{d x} = \frac{3 (2 - V^{2})}{2 V} \cdot \frac{1}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.6

Combina.

$\frac{d V}{d x} = \frac{3 (2 - V^{2}) \cdot 1}{2 V x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.7

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{3 (2 - V^{2})}{2 V x}$

Passaggio 6.1.2

Raggruppa i fattori.

$\frac{d V}{d x} = \frac{3 (2 - V^{2})}{2 V} \cdot \frac{1}{x}$

Passaggio 6.1.3

Moltiplica ogni lato per $\frac{2 V}{3 (2 - V^{2})}$ .

$\frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} (\frac{3 (2 - V^{2})}{2 V} \cdot \frac{1}{x})$

Passaggio 6.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.4.1

Combina.

$\frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} \cdot \frac{3 (2 - V^{2}) \cdot 1}{2 V x}$

Passaggio 6.1.4.2

Combina.

$\frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V (3 (2 - V^{2}) \cdot 1)}{3 (2 - V^{2}) (2 V x)}$

Passaggio 6.1.4.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.4.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V (3 (2 - V^{2}) \cdot 1)}{3 (2 - V^{2}) (2 V x)}$

Passaggio 6.1.4.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{V (3 (2 - V^{2}) \cdot 1)}{3 (2 - V^{2}) (V x)}$

Passaggio 6.1.4.4

Elimina il fattore comune di $V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{V (3 (2 - V^{2}) \cdot 1)}{3 (2 - V^{2}) (V x)}$

Passaggio 6.1.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{3 (2 - V^{2}) \cdot 1}{3 (2 - V^{2}) (x)}$

Passaggio 6.1.4.5

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.4.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{3 (2 - V^{2}) \cdot 1}{3 (2 - V^{2}) x}$

Passaggio 6.1.4.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{(2 - V^{2}) \cdot 1}{(2 - V^{2}) (x)}$

Passaggio 6.1.4.6

Elimina il fattore comune di $2 - V^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.4.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{(2 - V^{2}) \cdot 1}{(2 - V^{2}) x}$

Passaggio 6.1.4.6.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Passaggio 6.1.5

Riscrivi l'equazione.

$\frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} d V = \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Poiché $\frac{2}{3}$ è costante rispetto a $V$ , sposta $\frac{2}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{2}{3} \int \frac{V}{2 - V^{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.2

Sia $u = 2 - V^{2}$ . Allora $d u = - 2 V d V$ , quindi $- \frac{1}{2} d u = V d V$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.1

Sia $u = 2 - V^{2}$ . Trova $\frac{d u}{d V}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.1.1

Differenzia $2 - V^{2}$ .

$\frac{d}{d V} [2 - V^{2}]$

Passaggio 6.2.2.2.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 - V^{2}$ rispetto a $V$ è $\frac{d}{d V} [2] + \frac{d}{d V} [- V^{2}]$ .

$\frac{d}{d V} [2] + \frac{d}{d V} [- V^{2}]$

Passaggio 6.2.2.2.1.2.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $V$ , la derivata di $2$ rispetto a $V$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d V} [- V^{2}]$

Passaggio 6.2.2.2.1.3

Calcola $\frac{d}{d V} [- V^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $V$ , la derivata di $- V^{2}$ rispetto a $V$ è $- \frac{d}{d V} [V^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d V} [V^{2}]$

Passaggio 6.2.2.2.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ è $n V^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 - (2 V)$

Passaggio 6.2.2.2.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$0 - 2 V$

Passaggio 6.2.2.2.1.4

Sottrai $2 V$ da $0$ .

$- 2 V$

Passaggio 6.2.2.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{2}{3} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{2}{3} \int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3.2

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{3} \int - \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3.3

Sposta $2$ alla sinistra di $u$ .

$\frac{2}{3} \int - \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{2}{3} (- \int \frac{1}{2 u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.5

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{2}{3} (- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)) = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.6.1

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{2}{3 \cdot 2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.6.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$- \frac{2}{6} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.6.3

Elimina il fattore comune di $2$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.6.3.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$- \frac{2 (1)}{6} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.6.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.6.3.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.6.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.6.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.7

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.8

Semplifica.

$- \frac{1}{3} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.9

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 - V^{2}$ .

$- \frac{1}{3} \ln (| 2 - V^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.3

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{3} \ln (| 2 - V^{2} |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Passaggio 6.2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$- \frac{1}{3} \ln (| 2 - V^{2} |) = \ln (| x |) + C$

Passaggio 6.3

Risolvi per $V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $- 3$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 2 - V^{2} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Passaggio 6.3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1

Semplifica $- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 2 - V^{2} |))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1.1

$\ln (| 2 - V^{2} |)$ e $\frac{1}{3}$ .

$- 3 (- \frac{\ln (| 2 - V^{2} |)}{3}) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Passaggio 6.3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\ln (| 2 - V^{2} |)}{3}$ nel numeratore.

$- 3 \frac{- \ln (| 2 - V^{2} |)}{3} = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Passaggio 6.3.2.1.1.2.2

Scomponi $3$ da $- 3$ .

$3 (- 1) \frac{- \ln (| 2 - V^{2} |)}{3} = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Passaggio 6.3.2.1.1.2.3

Elimina il fattore comune.

$3 \cdot - 1 \frac{- \ln (| 2 - V^{2} |)}{3} = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Passaggio 6.3.2.1.1.2.4

Riscrivi l'espressione.

$- - \ln (| 2 - V^{2} |) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Passaggio 6.3.2.1.1.3

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \ln (| 2 - V^{2} |) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Passaggio 6.3.2.1.1.3.2

Moltiplica $\ln (| 2 - V^{2} |)$ per $1$ .

$\ln (| 2 - V^{2} |) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Passaggio 6.3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (| 2 - V^{2} |) = - 3 \ln (| x |) - 3 C$

Passaggio 6.3.3

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (| 2 - V^{2} |) + 3 \ln (| x |) = - 3 C$

Passaggio 6.3.4

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.4.1

Semplifica $\ln (| 2 - V^{2} |) + 3 \ln (| x |)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.4.1.1

Semplifica $3 \ln (| x |)$ spostando $3$ all'interno del logaritmo.

$\ln (| 2 - V^{2} |) + \ln ({| x |}^{3}) = - 3 C$

Passaggio 6.3.4.1.2

Usa la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 2 - V^{2} | {| x |}^{3}) = - 3 C$

Passaggio 6.3.5

Per risolvere per $V$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| 2 - V^{2} | {| x |}^{3})} = e^{- 3 C}$

Passaggio 6.3.6

Riscrivi $\ln (| 2 - V^{2} | {| x |}^{3}) = - 3 C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- 3 C} = | 2 - V^{2} | {| x |}^{3}$

Passaggio 6.3.7

Risolvi per $V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.7.1

Riscrivi l'equazione come $| 2 - V^{2} | {| x |}^{3} = e^{- 3 C}$ .

$| 2 - V^{2} | {| x |}^{3} = e^{- 3 C}$

Passaggio 6.3.7.2

Dividi per ${| x |}^{3}$ ciascun termine in $| 2 - V^{2} | {| x |}^{3} = e^{- 3 C}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.7.2.1

Dividi per ${| x |}^{3}$ ciascun termine in $| 2 - V^{2} | {| x |}^{3} = e^{- 3 C}$ .

$\frac{| 2 - V^{2} | {| x |}^{3}}{{| x |}^{3}} = \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}$

Passaggio 6.3.7.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.7.2.2.1

Elimina il fattore comune di ${| x |}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.7.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{| 2 - V^{2} | {| x |}^{3}}{{| x |}^{3}} = \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}$

Passaggio 6.3.7.2.2.1.2

Dividi $| 2 - V^{2} |$ per $1$ .

$| 2 - V^{2} | = \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}$

Passaggio 6.3.7.3

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$2 - V^{2} = \pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}$

Passaggio 6.3.7.4

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- V^{2} = \pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}} - 2$

Passaggio 6.3.7.5

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- V^{2} = \pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}} - 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.7.5.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- V^{2} = \pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}} - 2$ .

$\frac{- V^{2}}{- 1} = \frac{\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Passaggio 6.3.7.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.7.5.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{V^{2}}{1} = \frac{\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Passaggio 6.3.7.5.2.2

Dividi $V^{2}$ per $1$ .

$V^{2} = \frac{\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Passaggio 6.3.7.5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.7.5.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.7.5.3.1.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}}{- 1}$ .

$V^{2} = - 1 \cdot (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}) + \frac{- 2}{- 1}$

Passaggio 6.3.7.5.3.1.2

Riscrivi $- 1 \cdot (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}})$ come $- (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}})$ .

$V^{2} = - (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}) + \frac{- 2}{- 1}$

Passaggio 6.3.7.5.3.1.3

Dividi $- 2$ per $- 1$ .

$V^{2} = - (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}) + 2$

Passaggio 6.3.7.6

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$V = \pm \sqrt{- (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}) + 2}$

Passaggio 6.4

Raggruppa i termini costanti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Semplifica la costante dell'integrazione.

$V = \pm \sqrt{- (\pm \frac{C}{{| x |}^{3}}) + 2}$

Passaggio 6.4.2

Combina costanti con il più o il meno.

$V = \pm \sqrt{- (C \frac{1}{{| x |}^{3}}) + 2}$

Passaggio 7

Sostituisci $\frac{y}{x}$ a $V$ .

$\frac{y}{x} = \pm \sqrt{- (C \frac{1}{{| x |}^{3}}) + 2}$

Passaggio 8

Risolvi $\frac{y}{x} = \pm \sqrt{- (C \frac{1}{{| x |}^{3}}) + 2}$ per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Moltiplica ogni lato per $x$ .

$\frac{y}{x} x = (\pm \sqrt{- (C (\frac{1}{{| x |}^{3}})) + 2}) x$

Passaggio 8.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y}{x} x = (\pm \sqrt{- (C (\frac{1}{{| x |}^{3}})) + 2}) x$

Passaggio 8.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y = (\pm \sqrt{- (C (\frac{1}{{| x |}^{3}})) + 2}) x$

Passaggio 8.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Semplifica $(\pm \sqrt{- (C (\frac{1}{{| x |}^{3}})) + 2}) x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1.1

$C$ e $\frac{1}{{| x |}^{3}}$ .

$y = (\pm \sqrt{- \frac{C}{{| x |}^{3}} + 2}) x$

Passaggio 8.2.2.1.2

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{{| x |}^{3}}{{| x |}^{3}}$ .

$y = (\pm \sqrt{- \frac{C}{{| x |}^{3}} + \frac{2 {| x |}^{3}}{{| x |}^{3}}}) x$

Passaggio 8.2.2.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = (\pm \sqrt{\frac{- C + 2 {| x |}^{3}}{{| x |}^{3}}}) x$

Passaggio 8.2.2.1.4

Riscrivi $\frac{- C + 2 {| x |}^{3}}{{| x |}^{3}}$ come ${(\frac{1}{| x |})}^{2} \frac{- C + 2 {| x |}^{3}}{| x |}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1.4.1

Scomponi la potenza perfetta $1^{2}$ su $- C + 2 {| x |}^{3}$ .

$y = (\pm \sqrt{\frac{1^{2} (- C + 2 {| x |}^{3})}{{| x |}^{3}}}) x$

Passaggio 8.2.2.1.4.2

Scomponi la potenza perfetta ${| x |}^{2}$ su ${| x |}^{3}$ .

$y = (\pm \sqrt{\frac{1^{2} (- C + 2 {| x |}^{3})}{{| x |}^{2} | x |}}) x$

Passaggio 8.2.2.1.4.3

Riordina la frazione $\frac{1^{2} (- C + 2 {| x |}^{3})}{{| x |}^{2} | x |}$ .

$y = (\pm \sqrt{{(\frac{1}{| x |})}^{2} \frac{- C + 2 {| x |}^{3}}{| x |}}) x$

Passaggio 8.2.2.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$y = (\pm \frac{1}{| x |} \sqrt{\frac{- C + 2 {| x |}^{3}}{| x |}}) x$

Passaggio 8.2.2.1.6

Riscrivi $\sqrt{\frac{- C + 2 {| x |}^{3}}{| x |}}$ come $\frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}}}{\sqrt{| x |}}$ .

$y = (\pm \frac{1}{| x |} \cdot \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}}}{\sqrt{| x |}}) x$

Passaggio 8.2.2.1.7

Combina.

$y = (\pm \frac{1 \sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}}}{| x | \sqrt{| x |}}) x$

Passaggio 8.2.2.1.8

Moltiplica $\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}}$ per $1$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}}}{| x | \sqrt{| x |}}) x$

Passaggio 8.2.2.1.9

Moltiplica $\frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}}}{| x | \sqrt{| x |}}$ per $\frac{\sqrt{| x |}}{\sqrt{| x |}}$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}}}{| x | \sqrt{| x |}} \cdot \frac{\sqrt{| x |}}{\sqrt{| x |}}) x$

Passaggio 8.2.2.1.10

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1.10.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}}}{| x | \sqrt{| x |}}$ per $\frac{\sqrt{| x |}}{\sqrt{| x |}}$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}} \sqrt{| x |}}{| x | \sqrt{| x |} \sqrt{| x |}}) x$

Passaggio 8.2.2.1.10.2

Sposta $\sqrt{| x |}$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}} \sqrt{| x |}}{| x | (\sqrt{| x |} \sqrt{| x |})}) x$

Passaggio 8.2.2.1.10.3

Eleva $\sqrt{| x |}$ alla potenza di $1$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}} \sqrt{| x |}}{| x | ({\sqrt{| x |}}^{1} \sqrt{| x |})}) x$

Passaggio 8.2.2.1.10.4

Eleva $\sqrt{| x |}$ alla potenza di $1$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}} \sqrt{| x |}}{| x | ({\sqrt{| x |}}^{1} {\sqrt{| x |}}^{1})}) x$

Passaggio 8.2.2.1.10.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}} \sqrt{| x |}}{| x | {\sqrt{| x |}}^{1 + 1}}) x$

Passaggio 8.2.2.1.10.6

Somma $1$ e $1$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}} \sqrt{| x |}}{| x | {\sqrt{| x |}}^{2}}) x$

Passaggio 8.2.2.1.10.7

Riscrivi ${\sqrt{| x |}}^{2}$ come $| x |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1.10.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{| x |}$ come ${| x |}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}} \sqrt{| x |}}{| x | {({| x |}^{\frac{1}{2}})}^{2}}) x$

Passaggio 8.2.2.1.10.7.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}} \sqrt{| x |}}{| x | {| x |}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}) x$

Passaggio 8.2.2.1.10.7.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}} \sqrt{| x |}}{| x | {| x |}^{\frac{2}{2}}}) x$

Passaggio 8.2.2.1.10.7.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1.10.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}} \sqrt{| x |}}{| x | {| x |}^{\frac{2}{2}}}) x$

Passaggio 8.2.2.1.10.7.4.2

Riscrivi l'espressione.

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}} \sqrt{| x |}}{| x | {| x |}^{1}}) x$

Passaggio 8.2.2.1.10.7.5

Semplifica.

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}} \sqrt{| x |}}{| x | | x |}) x$

Passaggio 8.2.2.1.11

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$y = (\pm \frac{\sqrt{(- C + 2 {| x |}^{3}) | x |}}{| x | | x |}) x$

Passaggio 8.2.2.1.12

Per moltiplicare dei valori assoluti, moltiplica i termini all'interno di ciascun valore assoluto.

$y = (\pm \frac{\sqrt{(- C + 2 {| x |}^{3}) | x |}}{| x \cdot x |}) x$

Passaggio 8.2.2.1.13

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1.13.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{(- C + 2 {| x |}^{3}) | x |}}{| x^{2} |}) x$

Passaggio 8.2.2.1.13.2

Rimuovi i termini non negativi dal valore assoluto.

$y = (\pm \frac{\sqrt{(- C + 2 {| x |}^{3}) | x |}}{x^{2}}) x$

Passaggio 8.2.2.1.14

Riordina i fattori in $(\pm \frac{\sqrt{(- C + 2 {| x |}^{3}) | x |}}{x^{2}}) x$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{| x | (- C + 2 {| x |}^{3})}}{x^{2}}) x$