Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} + y \sec (x) = \tan (x)$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale come $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Passaggio 1.1

Scomponi $y$ da $y \sec (x)$ .

$\frac{d y}{d x} + y (\sec (x)) = \tan (x)$

Passaggio 1.2

Riordina $y$ e $\sec (x)$ .

$\frac{d y}{d x} + \sec (x) y = \tan (x)$

Passaggio 2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = \sec (x)$ .

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Passaggio 2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int \sec (x) d x}$

Passaggio 2.2

L'integrale di $\sec (x)$ rispetto a $x$ è $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ .

$e^{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C}$

Passaggio 2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{\ln (\sec (x) + \tan (x))}$

Passaggio 2.4

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$\sec (x) + \tan (x)$

Passaggio 3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $\sec (x) + \tan (x)$ .

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Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine per $\sec (x) + \tan (x)$ .

$(\sec (x) + \tan (x)) \frac{d y}{d x} + (\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) y) = (\sec (x) + \tan (x)) \tan (x)$

Passaggio 3.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \tan (x) \frac{d y}{d x} + (\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) y) = (\sec (x) + \tan (x)) \tan (x)$

Passaggio 3.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \tan (x) \frac{d y}{d x} + \sec (x) (\sec (x) y) + \tan (x) (\sec (x) y) = (\sec (x) + \tan (x)) \tan (x)$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $\sec (x) (\sec (x) y)$ .

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Passaggio 3.2.3.1

Eleva $\sec (x)$ alla potenza di $1$ .

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \tan (x) \frac{d y}{d x} + \sec^{1} (x) \sec (x) y + \tan (x) (\sec (x) y) = (\sec (x) + \tan (x)) \tan (x)$

Passaggio 3.2.3.2

Eleva $\sec (x)$ alla potenza di $1$ .

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \tan (x) \frac{d y}{d x} + \sec^{1} (x) \sec^{1} (x) y + \tan (x) (\sec (x) y) = (\sec (x) + \tan (x)) \tan (x)$

Passaggio 3.2.3.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \tan (x) \frac{d y}{d x} + {\sec (x)}^{1 + 1} y + \tan (x) (\sec (x) y) = (\sec (x) + \tan (x)) \tan (x)$

Passaggio 3.2.3.4

Somma $1$ e $1$ .

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \tan (x) \frac{d y}{d x} + \sec^{2} (x) y + \tan (x) (\sec (x) y) = (\sec (x) + \tan (x)) \tan (x)$

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \tan (x) \frac{d y}{d x} + \sec^{2} (x) y + \tan (x) \sec (x) y = (\sec (x) + \tan (x)) \tan (x)$

Passaggio 3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \tan (x) \frac{d y}{d x} + \sec^{2} (x) y + \tan (x) \sec (x) y = \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \tan (x)$

Passaggio 3.4

Moltiplica $\tan (x) \tan (x)$ .

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Passaggio 3.4.1

Eleva $\tan (x)$ alla potenza di $1$ .

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \tan (x) \frac{d y}{d x} + \sec^{2} (x) y + \tan (x) \sec (x) y = \sec (x) \tan (x) + \tan^{1} (x) \tan (x)$

Passaggio 3.4.2

Eleva $\tan (x)$ alla potenza di $1$ .

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \tan (x) \frac{d y}{d x} + \sec^{2} (x) y + \tan (x) \sec (x) y = \sec (x) \tan (x) + \tan^{1} (x) \tan^{1} (x)$

Passaggio 3.4.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \tan (x) \frac{d y}{d x} + \sec^{2} (x) y + \tan (x) \sec (x) y = \sec (x) \tan (x) + {\tan (x)}^{1 + 1}$

Passaggio 3.4.4

Somma $1$ e $1$ .

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \tan (x) \frac{d y}{d x} + \sec^{2} (x) y + \tan (x) \sec (x) y = \sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x)$

Passaggio 3.5

Riordina i fattori in $\sec (x) \frac{d y}{d x} + \tan (x) \frac{d y}{d x} + \sec^{2} (x) y + \tan (x) \sec (x) y = \sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x)$ .

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \tan (x) \frac{d y}{d x} + y \sec^{2} (x) + y \tan (x) \sec (x) = \sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x)$

Passaggio 4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [(\sec (x) + \tan (x)) y] = \sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x)$

Passaggio 5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [(\sec (x) + \tan (x)) y] d x = \int \sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) d x$

Passaggio 6

Integra il lato sinistro.

$(\sec (x) + \tan (x)) y = \int \sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) d x$

Passaggio 7

Integra il lato destro.

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Passaggio 7.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$(\sec (x) + \tan (x)) y = \int \sec (x) \tan (x) d x + \int \tan^{2} (x) d x$

Passaggio 7.2

Poiché la derivata di $\sec (x)$ è $\sec (x) \tan (x)$ , l'integrale di $\sec (x) \tan (x)$ è $\sec (x)$ .

$(\sec (x) + \tan (x)) y = \sec (x) + C + \int \tan^{2} (x) d x$

Passaggio 7.3

Usando l'identità pitagorica, riscrivi $\tan^{2} (x)$ come $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$(\sec (x) + \tan (x)) y = \sec (x) + C + \int - 1 + \sec^{2} (x) d x$

Passaggio 7.4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$(\sec (x) + \tan (x)) y = \sec (x) + C + \int - 1 d x + \int \sec^{2} (x) d x$

Passaggio 7.5

Applica la regola costante.

$(\sec (x) + \tan (x)) y = \sec (x) + C - x + C + \int \sec^{2} (x) d x$

Passaggio 7.6

Poiché la derivata di $\tan (x)$ è $\sec^{2} (x)$ , l'integrale di $\sec^{2} (x)$ è $\tan (x)$ .

$(\sec (x) + \tan (x)) y = \sec (x) + C - x + C + \tan (x) + C$

Passaggio 7.7

Semplifica.

$(\sec (x) + \tan (x)) y = \sec (x) - x + \tan (x) + C$

Passaggio 8

Dividi per $\sec (x) + \tan (x)$ ciascun termine in $(\sec (x) + \tan (x)) y = \sec (x) - x + \tan (x) + C$ e semplifica.

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Passaggio 8.1

Dividi per $\sec (x) + \tan (x)$ ciascun termine in $(\sec (x) + \tan (x)) y = \sec (x) - x + \tan (x) + C$ .

$\frac{(\sec (x) + \tan (x)) y}{\sec (x) + \tan (x)} = \frac{\sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{- x}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{\tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{C}{\sec (x) + \tan (x)}$

Passaggio 8.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 8.2.1

Elimina il fattore comune di $\sec (x) + \tan (x)$ .

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Passaggio 8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(\sec (x) + \tan (x)) y}{\sec (x) + \tan (x)} = \frac{\sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{- x}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{\tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{C}{\sec (x) + \tan (x)}$

Passaggio 8.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{- x}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{\tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{C}{\sec (x) + \tan (x)}$

Passaggio 8.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 8.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = \frac{\sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)} - \frac{x}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{\tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{C}{\sec (x) + \tan (x)}$

Passaggio 8.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{\sec (x) - x}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{\tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{C}{\sec (x) + \tan (x)}$

Passaggio 8.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{\sec (x) - x + \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{C}{\sec (x) + \tan (x)}$

Passaggio 8.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{\sec (x) - x + \tan (x) + C}{\sec (x) + \tan (x)}$