Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = 1 + x^{2} + y^{2} + x^{2} y^{2}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Scomponi.

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Passaggio 1.1.1

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 1.1.1.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{d y}{d x} = (1 + x^{2}) + y^{2} + x^{2} y^{2}$

Passaggio 1.1.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{d y}{d x} = 1 (1 + x^{2}) + y^{2} \cdot (1 + x^{2})$

Passaggio 1.1.2

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $1 + x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = (1 + x^{2}) (1 + y^{2})$

Passaggio 1.2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{1 + y^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + x^{2}) (1 + y^{2}))$

Passaggio 1.3

Elimina il fattore comune di $1 + y^{2}$ .

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Passaggio 1.3.1

Scomponi $1 + y^{2}$ da $(1 + x^{2}) (1 + y^{2})$ .

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) (1 + x^{2}))$

Passaggio 1.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) (1 + x^{2}))$

Passaggio 1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = 1 + x^{2}$

Passaggio 1.4

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = (1 + x^{2}) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int 1 + x^{2} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int 1 + x^{2} d x$

Passaggio 2.2.2

L'integrale di $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ rispetto a $y$ è $\arctan (y) + C_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int 1 + x^{2} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\arctan (y) + C_{1} = \int d x + \int x^{2} d x$

Passaggio 2.3.2

Applica la regola costante.

$\arctan (y) + C_{1} = x + C_{2} + \int x^{2} d x$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = x + C_{2} + \frac{1}{3} x^{3} + C_{3}$

Passaggio 2.3.4

Semplifica.

$\arctan (y) + C_{1} = x + \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

Passaggio 2.3.5

Riordina i termini.

$\arctan (y) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + x + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\arctan (y) = \frac{1}{3} x^{3} + x + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Trova l'arcotangente inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $y$ da dentro l'arcotangente.

$y = \tan (\frac{1}{3} x^{3} + x + K)$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.2.1

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$y = \tan (\frac{x^{3}}{3} + x + K)$