Calcolo Esempi

$\frac{d A}{d t} + \frac{A}{100} = 6$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sottrai $\frac{A}{100}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d A}{d t} = 6 - \frac{A}{100}$

Passaggio 1.2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{6 - \frac{A}{100}}$ .

$\frac{1}{6 - \frac{A}{100}} \frac{d A}{d t} = \frac{1}{6 - \frac{A}{100}} (6 - \frac{A}{100})$

Passaggio 1.3

Elimina il fattore comune di $6 - \frac{A}{100}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{6 - \frac{A}{100}} \frac{d A}{d t} = \frac{1}{6 - \frac{A}{100}} (6 - \frac{A}{100})$

Passaggio 1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{6 - \frac{A}{100}} \frac{d A}{d t} = 1$

Passaggio 1.4

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{6 - \frac{A}{100}} d A = 1 d t$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{6 - \frac{A}{100}} d A = \int d t$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sia $u = 6 - \frac{A}{100}$ . Allora $d u = - \frac{1}{100} d A$ , quindi $- 100 d u = d A$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Sia $u = 6 - \frac{A}{100}$ . Trova $\frac{d u}{d A}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Differenzia $6 - \frac{A}{100}$ .

$\frac{d}{d A} [6 - \frac{A}{100}]$

Passaggio 2.2.1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 - \frac{A}{100}$ rispetto a $A$ è $\frac{d}{d A} [6] + \frac{d}{d A} [- \frac{A}{100}]$ .

$\frac{d}{d A} [6] + \frac{d}{d A} [- \frac{A}{100}]$

Passaggio 2.2.1.1.2.2

Poiché $6$ è costante rispetto a $A$ , la derivata di $6$ rispetto a $A$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d A} [- \frac{A}{100}]$

Passaggio 2.2.1.1.3

Calcola $\frac{d}{d A} [- \frac{A}{100}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.3.1

Poiché $- \frac{1}{100}$ è costante rispetto a $A$ , la derivata di $- \frac{A}{100}$ rispetto a $A$ è $- \frac{1}{100} \frac{d}{d A} [A]$ .

$0 - \frac{1}{100} \frac{d}{d A} [A]$

Passaggio 2.2.1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d A} [A^{n}]$ è $n A^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 - \frac{1}{100} \cdot 1$

Passaggio 2.2.1.1.3.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$0 - \frac{1}{100}$

Passaggio 2.2.1.1.4

Sottrai $\frac{1}{100}$ da $0$ .

$- \frac{1}{100}$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u} \cdot \frac{- 1}{- \frac{1}{100}} d u = \int d t$

Passaggio 2.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int - \frac{1}{u} \cdot \frac{- 1}{- \frac{1}{100}} d u = \int d t$

Passaggio 2.2.2.2

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\int - \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{\frac{1}{100}} d u = \int d t$

Passaggio 2.2.2.3

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{100}$ .

$\int - \frac{1}{u} (1 \cdot 100) d u = \int d t$

Passaggio 2.2.2.4

Moltiplica $100$ per $1$ .

$\int - \frac{1}{u} \cdot 100 d u = \int d t$

Passaggio 2.2.2.5

Moltiplica $100$ per $- 1$ .

$\int - 100 \frac{1}{u} d u = \int d t$

Passaggio 2.2.2.6

$- 100$ e $\frac{1}{u}$ .

$\int \frac{- 100}{u} d u = \int d t$

Passaggio 2.2.2.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int - \frac{100}{u} d u = \int d t$

Passaggio 2.2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{100}{u} d u = \int d t$

Passaggio 2.2.4

Poiché $100$ è costante rispetto a $u$ , sposta $100$ fuori dall'integrale.

$- (100 \int \frac{1}{u} d u) = \int d t$

Passaggio 2.2.5

Moltiplica $100$ per $- 1$ .

$- 100 \int \frac{1}{u} d u = \int d t$

Passaggio 2.2.6

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$- 100 (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d t$

Passaggio 2.2.7

Semplifica.

$- 100 \ln (| u |) + C_{1} = \int d t$

Passaggio 2.2.8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $6 - \frac{A}{100}$ .

$- 100 \ln (| 6 - \frac{A}{100} |) + C_{1} = \int d t$

Passaggio 2.2.9

Riordina i termini.

$- 100 \ln (| 6 - \frac{1}{100} A |) + C_{1} = \int d t$

Passaggio 2.3

Applica la regola costante.

$- 100 \ln (| 6 - \frac{1}{100} A |) + C_{1} = t + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$- 100 \ln (| 6 - \frac{1}{100} A |) = t + C$

Passaggio 3

Risolvi per $A$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Dividi per $- 100$ ciascun termine in $- 100 \ln (| 6 - \frac{1}{100} A |) = t + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Dividi per $- 100$ ciascun termine in $- 100 \ln (| 6 - \frac{1}{100} A |) = t + C$ .

$\frac{- 100 \ln (| 6 - \frac{1}{100} A |)}{- 100} = \frac{t}{- 100} + \frac{C}{- 100}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Elimina il fattore comune di $- 100$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 100 \ln (| 6 - \frac{1}{100} A |)}{- 100} = \frac{t}{- 100} + \frac{C}{- 100}$

Passaggio 3.1.2.1.2

Dividi $\ln (| 6 - \frac{1}{100} A |)$ per $1$ .

$\ln (| 6 - \frac{1}{100} A |) = \frac{t}{- 100} + \frac{C}{- 100}$

Passaggio 3.1.2.2

$A$ e $\frac{1}{100}$ .

$\ln (| 6 - \frac{A}{100} |) = \frac{t}{- 100} + \frac{C}{- 100}$

Passaggio 3.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\ln (| 6 - \frac{A}{100} |) = - \frac{t}{100} + \frac{C}{- 100}$

Passaggio 3.1.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\ln (| 6 - \frac{A}{100} |) = - \frac{t}{100} - \frac{C}{100}$

Passaggio 3.2

Per risolvere per $A$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| 6 - \frac{A}{100} |)} = e^{- \frac{t}{100} - \frac{C}{100}}$

Passaggio 3.3

Riscrivi $\ln (| 6 - \frac{A}{100} |) = - \frac{t}{100} - \frac{C}{100}$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{t}{100} - \frac{C}{100}} = | 6 - \frac{A}{100} |$

Passaggio 3.4

Risolvi per $A$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Riscrivi l'equazione come $| 6 - \frac{A}{100} | = e^{- \frac{t}{100} - \frac{C}{100}}$ .

$| 6 - \frac{A}{100} | = e^{- \frac{t}{100} - \frac{C}{100}}$

Passaggio 3.4.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$6 - \frac{A}{100} = \pm e^{- \frac{t}{100} - \frac{C}{100}}$

Passaggio 3.4.3

Sottrai $6$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \frac{A}{100} = \pm e^{- \frac{t}{100} - \frac{C}{100}} - 6$

Passaggio 3.4.4

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $- 100$ .

$- 100 (- \frac{A}{100}) = - 100 (\pm e^{- \frac{t}{100} - \frac{C}{100}} - 6)$

Passaggio 3.4.5

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.1.1

Semplifica $- 100 (- \frac{A}{100})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.1.1.1

Elimina il fattore comune di $100$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.1.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{A}{100}$ nel numeratore.

$- 100 \frac{- A}{100} = - 100 (\pm e^{- \frac{t}{100} - \frac{C}{100}} - 6)$

Passaggio 3.4.5.1.1.1.2

Scomponi $100$ da $- 100$ .

$100 (- 1) \frac{- A}{100} = - 100 (\pm e^{- \frac{t}{100} - \frac{C}{100}} - 6)$

Passaggio 3.4.5.1.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$100 \cdot - 1 \frac{- A}{100} = - 100 (\pm e^{- \frac{t}{100} - \frac{C}{100}} - 6)$

Passaggio 3.4.5.1.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$- - A = - 100 (\pm e^{- \frac{t}{100} - \frac{C}{100}} - 6)$

Passaggio 3.4.5.1.1.2

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.1.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 A = - 100 (\pm e^{- \frac{t}{100} - \frac{C}{100}} - 6)$

Passaggio 3.4.5.1.1.2.2

Moltiplica $A$ per $1$ .

$A = - 100 (\pm e^{- \frac{t}{100} - \frac{C}{100}} - 6)$

Passaggio 3.4.5.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.2.1

Semplifica $- 100 (\pm e^{- \frac{t}{100} - \frac{C}{100}} - 6)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$A = - 100 (\pm e^{- \frac{t}{100} - \frac{C}{100}}) - 100 \cdot - 6$

Passaggio 3.4.5.2.1.2

Moltiplica $- 100$ per $- 6$ .

$A = - 100 (\pm e^{- \frac{t}{100} - \frac{C}{100}}) + 600$

Passaggio 3.4.6

Riordina $- \frac{t}{100}$ e $- \frac{C}{100}$ .

$A = - 100 (\pm e^{- \frac{C}{100} - \frac{t}{100}}) + 600$

Passaggio 4

Raggruppa i termini costanti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica la costante dell'integrazione.

$A = - 100 (\pm e^{C - \frac{t}{100}}) + 600$

Passaggio 4.2

Riordina i termini.

$A = - 100 (\pm e^{- \frac{t}{100} + C}) + 600$

Passaggio 4.3

Riscrivi $e^{- \frac{t}{100} + C}$ come $e^{- \frac{t}{100}} e^{C}$ .

$A = - 100 (\pm e^{- \frac{t}{100}} e^{C}) + 600$

Passaggio 4.4

Riordina $e^{- \frac{t}{100}}$ e $e^{C}$ .

$A = - 100 (\pm e^{C} e^{- \frac{t}{100}}) + 600$

Passaggio 4.5

Combina costanti con il più o il meno.

$A = - 100 (C e^{- \frac{t}{100}}) + 600$