Calcolo Esempi

$6 \frac{d y}{d x} - 2 y = x y^{4}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale per adattarla al metodo di Bernoulli.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 \frac{d y}{d x} - 2 y = x y^{4}$ .

$\frac{6 \frac{d y}{d x}}{6} + \frac{- 2 y}{6} = \frac{x y^{4}}{6}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{6 \frac{d y}{d x}}{6} + \frac{- 2 y}{6} = \frac{x y^{4}}{6}$

Passaggio 1.2.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{6} = \frac{x y^{4}}{6}$

Passaggio 1.3

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Scomponi $2$ da $- 2 y$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 (- y)}{6} = \frac{x y^{4}}{6}$

Passaggio 1.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 (- y)}{2 (3)} = \frac{x y^{4}}{6}$

Passaggio 1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 (- y)}{2 \cdot 3} = \frac{x y^{4}}{6}$

Passaggio 1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{3} = \frac{x y^{4}}{6}$

Passaggio 1.4

Riordina i termini.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 1}{3} y = \frac{1}{6} x y^{4}$

Passaggio 2

Per risolvere l'equazione differenziale, sia $v = y^{1 - n}$ , dove $n$ è l'esponente di $y^{4}$ .

$v = y^{- 3}$

Passaggio 3

Risolvi l'equazione per $y$ .

$y = v^{- \frac{1}{3}}$

Passaggio 4

Trova la derivata di $y$ rispetto a $x$ .

$y' = v^{- \frac{1}{3}}$

Passaggio 5

Trova la derivata di $v^{- \frac{1}{3}}$ rispetto a $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la derivata di $v^{- \frac{1}{3}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- \frac{1}{3}}]$

Passaggio 5.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v^{\frac{1}{3}}}]$

Passaggio 5.3

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 1$ e $g (x) = v^{\frac{1}{3}}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{{(v^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Passaggio 5.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{{(v^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Passaggio 5.4.2

Moltiplica gli esponenti in ${(v^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{1}{3} \cdot 2}}$

Passaggio 5.4.2.2

$\frac{1}{3}$ e $2$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5.4.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5.4.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.4.1

Moltiplica $v^{\frac{1}{3}}$ per $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5.4.4.2

Sottrai $\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]$ da $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5.4.4.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5.5

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $v$ .

$y' = - \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5.5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $v$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5.6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5.7

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5.9.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5.11

$\frac{1}{3}$ e $v^{- \frac{2}{3}}$ .

$y' = - \frac{\frac{v^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5.12

Sposta $v^{- \frac{2}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3 v^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5.13

Riscrivi $\frac{d}{d x} [v]$ come $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3 v^{\frac{2}{3}}} v'}{v^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5.14

$\frac{1}{3 v^{\frac{2}{3}}}$ e $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}}}}{v^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5.15

Riscrivi $\frac{\frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}}}}{v^{\frac{2}{3}}}$ come un prodotto.

$y' = - (\frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{v^{\frac{2}{3}}})$

Passaggio 5.16

Moltiplica $\frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}}}$ per $\frac{1}{v^{\frac{2}{3}}}$ .

$y' = - \frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}} v^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5.17

Moltiplica $v^{\frac{2}{3}}$ per $v^{\frac{2}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.17.1

Sposta $v^{\frac{2}{3}}$ .

$y' = - \frac{v'}{3 (v^{\frac{2}{3}} v^{\frac{2}{3}})}$

Passaggio 5.17.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y' = - \frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}$

Passaggio 5.17.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = - \frac{v'}{3 v^{\frac{2 + 2}{3}}}$

Passaggio 5.17.4

Somma $2$ e $2$ .

$y' = - \frac{v'}{3 v^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 6

Sostituisci $- \frac{v'}{3 v^{\frac{4}{3}}}$ a $\frac{d y}{d x}$ e $v^{- \frac{1}{3}}$ a $y$ nell'equazione originale $\frac{d y}{d x} + \frac{- 1}{3} y = \frac{1}{6} x y^{4}$ .

$- \frac{v'}{3 v^{\frac{4}{3}}} + \frac{- 1}{3} v^{- \frac{1}{3}} = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4}$

Passaggio 7

Risolvi l'equazione differenziale sostituita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Riscrivi l'equazione differenziale come $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Moltiplica per $- (3 v^{\frac{4}{3}})$ ciascun termine in $- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} + \frac{- 1}{3} v^{- \frac{1}{3}} = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4}$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.1

Moltiplica ogni termine in $- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} + \frac{- 1}{3} v^{- \frac{1}{3}} = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4}$ per $- (3 v^{\frac{4}{3}})$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) + \frac{- 1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Passaggio 7.1.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.2.1.1

Elimina il fattore comune di $3 v^{\frac{4}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.2.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}}$ nel numeratore.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) + \frac{- 1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Passaggio 7.1.1.2.1.1.2

Scomponi $3 v^{\frac{4}{3}}$ da $- (3 v^{\frac{4}{3}})$ .

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} (3 v^{\frac{4}{3}} (- 1)) + \frac{- 1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Passaggio 7.1.1.2.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} (3 v^{\frac{4}{3}} \cdot - 1) + \frac{- 1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Passaggio 7.1.1.2.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + \frac{- 1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Passaggio 7.1.1.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} + \frac{- 1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Passaggio 7.1.1.2.1.3

Moltiplica $\frac{d v}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Passaggio 7.1.1.2.1.4

Moltiplica $v^{- \frac{1}{3}}$ per $v^{\frac{4}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.2.1.4.1

Sposta $v^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 1}{3} (v^{\frac{4}{3}} v^{- \frac{1}{3}}) (- 1 \cdot (3)) = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Passaggio 7.1.1.2.1.4.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 1}{3} v^{\frac{4}{3} - \frac{1}{3}} (- 1 \cdot (3)) = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Passaggio 7.1.1.2.1.4.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 1}{3} v^{\frac{4 - 1}{3}} (- 1 \cdot (3)) = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Passaggio 7.1.1.2.1.4.4

Sottrai $1$ da $4$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 1}{3} v^{\frac{3}{3}} (- 1 \cdot (3)) = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Passaggio 7.1.1.2.1.4.5

Dividi $3$ per $3$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 1}{3} v^{1} (- 1 \cdot (3)) = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Passaggio 7.1.1.2.1.5

Semplifica $\frac{- 1}{3} v^{1} (- 1 \cdot (3))$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 1}{3} v (- 1 \cdot (3)) = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Passaggio 7.1.1.2.1.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{3} v (- 1 \cdot (3)) = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Passaggio 7.1.1.2.1.7

$v$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{3} (- 1 \cdot (3)) = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Passaggio 7.1.1.2.1.8

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.2.1.8.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{v}{3}$ nel numeratore.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{3} (- 1 \cdot (3)) = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Passaggio 7.1.1.2.1.8.2

Scomponi $3$ da $- 1 \cdot (3)$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{3} (3 \cdot - 1) = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Passaggio 7.1.1.2.1.8.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{3} (3 \cdot - 1) = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Passaggio 7.1.1.2.1.8.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d v}{d x} - v \cdot - 1 = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Passaggio 7.1.1.2.1.9

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} + 1 v = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Passaggio 7.1.1.2.1.10

Moltiplica $v$ per $1$ .

$\frac{d v}{d x} + v = \frac{1}{6} x {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Passaggio 7.1.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.3.1

$\frac{1}{6}$ e $x$ .

$\frac{d v}{d x} + v = \frac{x}{6} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Passaggio 7.1.1.3.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{d v}{d x} + v = - 1 \cdot 3 \frac{x}{6} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

Passaggio 7.1.1.3.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.3.3.1

Scomponi $3$ da $- 1 \cdot 3$ .

$\frac{d v}{d x} + v = 3 \cdot - 1 \frac{x}{6} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

Passaggio 7.1.1.3.3.2

Scomponi $3$ da $6$ .

$\frac{d v}{d x} + v = 3 \cdot - 1 \frac{x}{3 (2)} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

Passaggio 7.1.1.3.3.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{d v}{d x} + v = 3 \cdot - 1 \frac{x}{3 \cdot 2} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

Passaggio 7.1.1.3.3.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d v}{d x} + v = - \frac{x}{2} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

Passaggio 7.1.1.3.4

Moltiplica gli esponenti in ${(v^{- \frac{1}{3}})}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.3.4.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - \frac{x}{2} v^{- \frac{1}{3} \cdot 4} v^{\frac{4}{3}}$

Passaggio 7.1.1.3.4.2

Moltiplica $- \frac{1}{3} \cdot 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.3.4.2.1

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - \frac{x}{2} v^{- 4 (\frac{1}{3})} v^{\frac{4}{3}}$

Passaggio 7.1.1.3.4.2.2

$- 4$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - \frac{x}{2} v^{\frac{- 4}{3}} v^{\frac{4}{3}}$

Passaggio 7.1.1.3.4.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d v}{d x} + v = - \frac{x}{2} v^{- \frac{4}{3}} v^{\frac{4}{3}}$

Passaggio 7.1.1.3.5

Moltiplica $v^{- \frac{4}{3}}$ per $v^{\frac{4}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.3.5.1

Sposta $v^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - \frac{x}{2} (v^{\frac{4}{3}} v^{- \frac{4}{3}})$

Passaggio 7.1.1.3.5.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d v}{d x} + v = - \frac{x}{2} v^{\frac{4}{3} - \frac{4}{3}}$

Passaggio 7.1.1.3.5.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d v}{d x} + v = - \frac{x}{2} v^{\frac{4 - 4}{3}}$

Passaggio 7.1.1.3.5.4

Sottrai $4$ da $4$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - \frac{x}{2} v^{\frac{0}{3}}$

Passaggio 7.1.1.3.5.5

Dividi $0$ per $3$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - \frac{x}{2} v^{0}$

Passaggio 7.1.1.3.6

Semplifica $- \frac{x}{2} v^{0}$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - \frac{x}{2}$

Passaggio 7.1.2

Riscrivi l'equazione con i coefficienti isolati.

$\frac{d v}{d x} + v = - \frac{1}{2} x$

Passaggio 7.2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int d x}$

Passaggio 7.2.2

Applica la regola costante.

$e^{x + C}$

Passaggio 7.2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{x}$

Passaggio 7.3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Moltiplica ogni termine per $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = e^{x} (- \frac{1}{2} x)$

Passaggio 7.3.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = - \frac{1}{2} e^{x} x$

Passaggio 7.3.3

$e^{x}$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = - \frac{e^{x}}{2} x$

Passaggio 7.3.4

$x$ e $\frac{e^{x}}{2}$ .

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = - \frac{x e^{x}}{2}$

Passaggio 7.3.5

Riordina i fattori in $e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = - \frac{x e^{x}}{2}$ .

$e^{x} \frac{d v}{d x} + v e^{x} = - \frac{x e^{x}}{2}$

Passaggio 7.4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [e^{x} v] = - \frac{x e^{x}}{2}$

Passaggio 7.5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} v] d x = \int - \frac{x e^{x}}{2} d x$

Passaggio 7.6

Integra il lato sinistro.

$e^{x} v = \int - \frac{x e^{x}}{2} d x$

Passaggio 7.7

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.7.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{x} v = - \int \frac{x e^{x}}{2} d x$

Passaggio 7.7.2

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$e^{x} v = - (\frac{1}{2} \int x e^{x} d x)$

Passaggio 7.7.3

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = e^{x}$ .

$e^{x} v = - \frac{1}{2} (x e^{x} - \int e^{x} d x)$

Passaggio 7.7.4

L'integrale di $e^{x}$ rispetto a $x$ è $e^{x}$ .

$e^{x} v = - \frac{1}{2} (x e^{x} - (e^{x} + C))$

Passaggio 7.7.5

Semplifica.

$e^{x} v = - \frac{1}{2} (x e^{x} - e^{x}) + C$

Passaggio 7.8

Dividi per $e^{x}$ ciascun termine in $e^{x} v = - \frac{1}{2} (x e^{x} - e^{x}) + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.8.1

Dividi per $e^{x}$ ciascun termine in $e^{x} v = - \frac{1}{2} (x e^{x} - e^{x}) + C$ .

$\frac{e^{x} v}{e^{x}} = \frac{- \frac{1}{2} (x e^{x} - e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Passaggio 7.8.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.8.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{x} v}{e^{x}} = \frac{- \frac{1}{2} (x e^{x} - e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Passaggio 7.8.2.1.2

Dividi $v$ per $1$ .

$v = \frac{- \frac{1}{2} (x e^{x} - e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Passaggio 7.8.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.8.3.1

Riduci in una frazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.8.3.1.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$v = \frac{- \frac{1}{2} (x e^{x} - e^{x}) + C}{e^{x}}$

Passaggio 7.8.3.1.2

Riordina i fattori in $- \frac{1}{2} (x e^{x} - e^{x}) + C$ .

$v = \frac{- (x e^{x} - e^{x}) \frac{1}{2} + C}{e^{x}}$

Passaggio 7.8.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.8.3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$v = \frac{(- (x e^{x}) - - e^{x}) \frac{1}{2} + C}{e^{x}}$

Passaggio 7.8.3.2.2

Moltiplica $- - e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.8.3.2.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$v = \frac{(- x e^{x} + 1 e^{x}) \frac{1}{2} + C}{e^{x}}$

Passaggio 7.8.3.2.2.2

Moltiplica $e^{x}$ per $1$ .

$v = \frac{(- x e^{x} + e^{x}) \frac{1}{2} + C}{e^{x}}$

Passaggio 7.8.3.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$v = \frac{- x e^{x} \frac{1}{2} + e^{x} \frac{1}{2} + C}{e^{x}}$

Passaggio 7.8.3.2.4

Moltiplica $- x e^{x} \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.8.3.2.4.1

$\frac{1}{2}$ e $x$ .

$v = \frac{- \frac{x}{2} e^{x} + e^{x} \frac{1}{2} + C}{e^{x}}$

Passaggio 7.8.3.2.4.2

$e^{x}$ e $\frac{x}{2}$ .

$v = \frac{- \frac{e^{x} x}{2} + e^{x} \frac{1}{2} + C}{e^{x}}$

Passaggio 7.8.3.2.5

$e^{x}$ e $\frac{1}{2}$ .

$v = \frac{- \frac{e^{x} x}{2} + \frac{e^{x}}{2} + C}{e^{x}}$

Passaggio 7.8.3.2.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$v = \frac{\frac{- e^{x} x + e^{x}}{2} + C}{e^{x}}$

Passaggio 7.8.3.2.7

Scomponi $e^{x}$ da $- e^{x} x + e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.8.3.2.7.1

Scomponi $e^{x}$ da $- e^{x} x$ .

$v = \frac{\frac{e^{x} (- x) + e^{x}}{2} + C}{e^{x}}$

Passaggio 7.8.3.2.7.2

Moltiplica per $1$ .

$v = \frac{\frac{e^{x} (- x) + e^{x} \cdot 1}{2} + C}{e^{x}}$

Passaggio 7.8.3.2.7.3

Scomponi $e^{x}$ da $e^{x} (- x) + e^{x} \cdot 1$ .

$v = \frac{\frac{e^{x} (- x + 1)}{2} + C}{e^{x}}$

Passaggio 7.8.3.2.8

Per scrivere $C$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$v = \frac{\frac{e^{x} (- x + 1)}{2} + C \cdot \frac{2}{2}}{e^{x}}$

Passaggio 7.8.3.2.9

$C$ e $\frac{2}{2}$ .

$v = \frac{\frac{e^{x} (- x + 1)}{2} + \frac{C \cdot 2}{2}}{e^{x}}$

Passaggio 7.8.3.2.10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$v = \frac{\frac{e^{x} (- x + 1) + C \cdot 2}{2}}{e^{x}}$

Passaggio 7.8.3.2.11

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.8.3.2.11.1

Applica la proprietà distributiva.

$v = \frac{\frac{e^{x} (- x) + e^{x} \cdot 1 + C \cdot 2}{2}}{e^{x}}$

Passaggio 7.8.3.2.11.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$v = \frac{\frac{- e^{x} x + e^{x} \cdot 1 + C \cdot 2}{2}}{e^{x}}$

Passaggio 7.8.3.2.11.3

Moltiplica $e^{x}$ per $1$ .

$v = \frac{\frac{- e^{x} x + e^{x} + C \cdot 2}{2}}{e^{x}}$

Passaggio 7.8.3.2.11.4

Sposta $2$ alla sinistra di $C$ .

$v = \frac{\frac{- e^{x} x + e^{x} + 2 C}{2}}{e^{x}}$

Passaggio 7.8.3.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$v = \frac{- e^{x} x + e^{x} + 2 C}{2} \cdot \frac{1}{e^{x}}$

Passaggio 7.8.3.4

Moltiplica $\frac{- e^{x} x + e^{x} + 2 C}{2}$ per $\frac{1}{e^{x}}$ .

$v = \frac{- e^{x} x + e^{x} + 2 C}{2 e^{x}}$

Passaggio 7.8.3.5

Scomponi $- 1$ da $- e^{x} x$ .

$v = \frac{- (e^{x} x) + e^{x} + 2 C}{2 e^{x}}$

Passaggio 7.8.3.6

Scomponi $- 1$ da $e^{x}$ .

$v = \frac{- (e^{x} x) - 1 (- e^{x}) + 2 C}{2 e^{x}}$

Passaggio 7.8.3.7

Scomponi $- 1$ da $- (e^{x} x) - 1 (- e^{x})$ .

$v = \frac{- (e^{x} x - e^{x}) + 2 C}{2 e^{x}}$

Passaggio 7.8.3.8

Scomponi $- 1$ da $2 C$ .

$v = \frac{- (e^{x} x - e^{x}) - (- 2 C)}{2 e^{x}}$

Passaggio 7.8.3.9

Scomponi $- 1$ da $- (e^{x} x - e^{x}) - (- 2 C)$ .

$v = \frac{- (e^{x} x - e^{x} - 2 C)}{2 e^{x}}$

Passaggio 7.8.3.10

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.8.3.10.1

Riscrivi $- (e^{x} x - e^{x} - 2 C)$ come $- 1 (e^{x} x - e^{x} - 2 C)$ .

$v = \frac{- 1 (e^{x} x - e^{x} - 2 C)}{2 e^{x}}$

Passaggio 7.8.3.10.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$v = - \frac{e^{x} x - e^{x} - 2 C}{2 e^{x}}$

Passaggio 7.8.3.10.3

Riordina i fattori in $- \frac{e^{x} x - e^{x} - 2 C}{2 e^{x}}$ .

$v = - \frac{x e^{x} - e^{x} - 2 C}{2 e^{x}}$

Passaggio 8

Sostituisci $y^{- 3}$ a $v$ .

$y^{- 3} = - \frac{x e^{x} - e^{x} - 2 C}{2 e^{x}}$