Calcolo Esempi

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + (x + 2) y = 2 e^{- x}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale come $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Passaggio 1.1

Dividi per $x + 1$ ciascun termine in $(x + 1) \frac{d y}{d x} + (x + 2) y = 2 e^{- x}$ .

$\frac{(x + 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{(x + 2) y}{x + 1} = \frac{2 e^{- x}}{x + 1}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $x + 1$ .

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Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x + 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{(x + 2) y}{x + 1} = \frac{2 e^{- x}}{x + 1}$

Passaggio 1.2.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{(x + 2) y}{x + 1} = \frac{2 e^{- x}}{x + 1}$

Passaggio 1.3

Scomponi $y$ da $\frac{(x + 2) y}{x + 1}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{x + 2}{x + 1} = \frac{2 e^{- x}}{x + 1}$

Passaggio 1.4

Riordina $y$ e $\frac{x + 2}{x + 1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x + 2}{x + 1} y = \frac{2 e^{- x}}{x + 1}$

Passaggio 2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = \frac{x + 2}{x + 1}$ .

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Passaggio 2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int \frac{x + 2}{x + 1} d x}$

Passaggio 2.2

Integra $\frac{x + 2}{x + 1}$ .

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Passaggio 2.2.1

Dividi $x + 2$ per $x + 1$ .

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Passaggio 2.2.1.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$1$

$x$

$2$

Passaggio 2.2.1.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$1$
	$x$	+	$1$		$x$	+	$2$

Passaggio 2.2.1.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$2$
			+	$x$	+	$1$

Passaggio 2.2.1.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x + 1$

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$2$
			-	$x$	-	$1$

Passaggio 2.2.1.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$2$
			-	$x$	-	$1$
					+	$1$

Passaggio 2.2.1.6

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$e^{\int 1 + \frac{1}{x + 1} d x}$

Passaggio 2.2.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$e^{\int d x + \int \frac{1}{x + 1} d x}$

Passaggio 2.2.3

Applica la regola costante.

$e^{x + C + \int \frac{1}{x + 1} d x}$

Passaggio 2.2.4

Sia $u = x + 1$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.2.4.1

Sia $u = x + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.2.4.1.1

Differenzia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 2.2.4.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2.4.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2.4.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 2.2.4.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 2.2.4.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{x + C + \int \frac{1}{u} d u}$

Passaggio 2.2.5

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$e^{x + C + \ln (| u |) + C}$

Passaggio 2.2.6

Semplifica.

$e^{x + \ln (| u |) + C}$

Passaggio 2.2.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 1$ .

$e^{x + \ln (| x + 1 |) + C}$

Passaggio 2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{x + \ln (x + 1)}$

Passaggio 3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $e^{x + \ln (x + 1)}$ .

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Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine per $e^{x + \ln (x + 1)}$ .

$e^{x + \ln (x + 1)} \frac{d y}{d x} + e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{x + 2}{x + 1} y) = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 e^{- x}}{x + 1}$

Passaggio 3.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1

$\frac{x + 2}{x + 1}$ e $y$ .

$e^{x + \ln (x + 1)} \frac{d y}{d x} + e^{x + \ln (x + 1)} \frac{(x + 2) y}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 e^{- x}}{x + 1}$

Passaggio 3.2.2

$e^{x + \ln (x + 1)}$ e $\frac{(x + 2) y}{x + 1}$ .

$e^{x + \ln (x + 1)} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{x + \ln (x + 1)} (x + 2) y}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 e^{- x}}{x + 1}$

Passaggio 3.3

Per scrivere $e^{x + \ln (x + 1)} \frac{d y}{d x}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} \frac{d y}{d x} (x + 1)}{x + 1} + \frac{e^{x + \ln (x + 1)} (x + 2) y}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 e^{- x}}{x + 1}$

Passaggio 3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} \frac{d y}{d x} (x + 1) + e^{x + \ln (x + 1)} (x + 2) y}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 e^{- x}}{x + 1}$

Passaggio 3.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.5.1

Scomponi $e^{x + \ln (x + 1)}$ da $e^{x + \ln (x + 1)} \frac{d y}{d x} (x + 1) + e^{x + \ln (x + 1)} (x + 2) y$ .

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Passaggio 3.5.1.1

Scomponi $e^{x + \ln (x + 1)}$ da $e^{x + \ln (x + 1)} \frac{d y}{d x} (x + 1)$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} (x + 1)) + e^{x + \ln (x + 1)} (x + 2) y}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 e^{- x}}{x + 1}$

Passaggio 3.5.1.2

Scomponi $e^{x + \ln (x + 1)}$ da $e^{x + \ln (x + 1)} (x + 2) y$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} (x + 1)) + e^{x + \ln (x + 1)} ((x + 2) y)}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 e^{- x}}{x + 1}$

Passaggio 3.5.1.3

Scomponi $e^{x + \ln (x + 1)}$ da $e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} (x + 1)) + e^{x + \ln (x + 1)} ((x + 2) y)$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} (x + 1) + (x + 2) y)}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 e^{- x}}{x + 1}$

Passaggio 3.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} \cdot 1 + (x + 2) y)}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 e^{- x}}{x + 1}$

Passaggio 3.5.3

Moltiplica $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + (x + 2) y)}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 e^{- x}}{x + 1}$

Passaggio 3.5.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 e^{- x}}{x + 1}$

Passaggio 3.6

Moltiplica $e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 e^{- x}}{x + 1}$ .

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Passaggio 3.6.1

$e^{x + \ln (x + 1)}$ e $\frac{2 e^{- x}}{x + 1}$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{e^{x + \ln (x + 1)} (2 e^{- x})}{x + 1}$

Passaggio 3.6.2

Moltiplica $e^{x + \ln (x + 1)}$ per $e^{- x}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.6.2.1

Sposta $e^{- x}$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{e^{- x} e^{x + \ln (x + 1)} \cdot 2}{x + 1}$

Passaggio 3.6.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{e^{- x + x + \ln (x + 1)} \cdot 2}{x + 1}$

Passaggio 3.6.2.3

Somma $- x$ e $x$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{e^{0 + \ln (x + 1)} \cdot 2}{x + 1}$

Passaggio 3.6.2.4

Somma $0$ e $\ln (x + 1)$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{e^{\ln (x + 1)} \cdot 2}{x + 1}$

Passaggio 3.7

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{(x + 1) \cdot 2}{x + 1}$

Passaggio 3.8

Elimina il fattore comune di $x + 1$ .

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Passaggio 3.8.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{(x + 1) \cdot 2}{x + 1}$

Passaggio 3.8.2

Dividi $2$ per $1$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = 2$

Passaggio 3.9

Riordina i fattori in $\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = 2$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = 2$

Passaggio 4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [e^{x + \ln (x + 1)} y] = 2$

Passaggio 5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x + \ln (x + 1)} y] d x = \int 2 d x$

Passaggio 6

Integra il lato sinistro.

$e^{x + \ln (x + 1)} y = \int 2 d x$

Passaggio 7

Applica la regola costante.

$e^{x + \ln (x + 1)} y = 2 x + C$

Passaggio 8

Dividi per $e^{x + \ln (x + 1)}$ ciascun termine in $e^{x + \ln (x + 1)} y = 2 x + C$ e semplifica.

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Passaggio 8.1

Dividi per $e^{x + \ln (x + 1)}$ ciascun termine in $e^{x + \ln (x + 1)} y = 2 x + C$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} y}{e^{x + \ln (x + 1)}} = \frac{2 x}{e^{x + \ln (x + 1)}} + \frac{C}{e^{x + \ln (x + 1)}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 8.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{x + \ln (x + 1)}$ .

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Passaggio 8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} y}{e^{x + \ln (x + 1)}} = \frac{2 x}{e^{x + \ln (x + 1)}} + \frac{C}{e^{x + \ln (x + 1)}}$

Passaggio 8.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{2 x}{e^{x + \ln (x + 1)}} + \frac{C}{e^{x + \ln (x + 1)}}$