Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = (x + 1) e^{- x} y^{2}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} ((x + 1) e^{- x} y^{2})$

Passaggio 1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Scomponi $y^{2}$ da $(x + 1) e^{- x} y^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} ((x + 1) e^{- x}))$

Passaggio 1.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} ((x + 1) e^{- x}))$

Passaggio 1.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = (x + 1) e^{- x}$

Passaggio 1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = x e^{- x} + 1 e^{- x}$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $e^{- x}$ per $1$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = x e^{- x} + e^{- x}$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{y^{2}} d y = (x e^{- x} + e^{- x}) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int x e^{- x} + e^{- x} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Sposta $y^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int x e^{- x} + e^{- x} d x$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int x e^{- x} + e^{- x} d x$

Passaggio 2.2.1.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int x e^{- x} + e^{- x} d x$

Passaggio 2.2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{- 2}$ rispetto a $y$ è $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int x e^{- x} + e^{- x} d x$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi $- y^{- 1} + C_{1}$ come $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int x e^{- x} + e^{- x} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int x e^{- x} d x + \int e^{- x} d x$

Passaggio 2.3.2

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = e^{- x}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x + \int e^{- x} d x$

Passaggio 2.3.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x + \int e^{- x} d x$

Passaggio 2.3.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x + \int e^{- x} d x$

Passaggio 2.3.4.2

Moltiplica $\int e^{- x} d x$ per $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x + \int e^{- x} d x$

Passaggio 2.3.5

Sia $u_{1} = - x$ . Allora $d u_{1} = - d x$ , quindi $- d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Sia $u_{1} = - x$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1.1

Differenzia $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.3.5.1.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.5.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 2.3.5.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 2.3.5.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x (- e^{- x}) + \int - e^{u_{1}} d u_{1} + \int e^{- x} d x$

Passaggio 2.3.6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x (- e^{- x}) - \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int e^{- x} d x$

Passaggio 2.3.7

L'integrale di $e^{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $e^{u_{1}}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C_{2}) + \int e^{- x} d x$

Passaggio 2.3.8

Sia $u_{2} = - x$ . Allora $d u_{2} = - d x$ , quindi $- d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.8.1

Sia $u_{2} = - x$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.8.1.1

Differenzia $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.3.8.1.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.8.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 2.3.8.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 2.3.8.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C_{2}) + \int - e^{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 2.3.9

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C_{2}) - \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 2.3.10

L'integrale di $e^{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $e^{u_{2}}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C_{2}) - (e^{u_{2}} + C_{3})$

Passaggio 2.3.11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.11.1

Semplifica.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - x e^{- x} - e^{u_{1}} - e^{u_{2}} + C_{4}$

Passaggio 2.3.11.2

Sottrai $e^{u_{2}}$ da $- e^{u_{1}}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - x e^{- x} - 2 e^{u_{1}} + C_{4}$

Passaggio 2.3.12

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $- x$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - x e^{- x} - 2 e^{- x} + C_{4}$

Passaggio 2.3.13

Riordina i termini.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - e^{- x} x - 2 e^{- x} + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$- \frac{1}{y} = - e^{- x} x - 2 e^{- x} + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$y, 1, 1, 1$

Passaggio 3.1.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$y$

Passaggio 3.2

Moltiplica per $y$ ciascun termine in $- \frac{1}{y} = - e^{- x} x - 2 e^{- x} + K$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Moltiplica ogni termine in $- \frac{1}{y} = - e^{- x} x - 2 e^{- x} + K$ per $y$ .

$- \frac{1}{y} y = - e^{- x} x y - 2 e^{- x} y + K y$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{y}$ nel numeratore.

$\frac{- 1}{y} y = - e^{- x} x y - 2 e^{- x} y + K y$

Passaggio 3.2.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1}{y} y = - e^{- x} x y - 2 e^{- x} y + K y$

Passaggio 3.2.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$- 1 = - e^{- x} x y - 2 e^{- x} y + K y$

Passaggio 3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Riordina i fattori in $- e^{- x} x y - 2 e^{- x} y + K y$ .

$- 1 = - x y e^{- x} - 2 y e^{- x} + K y$

Passaggio 3.3

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'equazione come $- x y e^{- x} - 2 y e^{- x} + K y = - 1$ .

$- x y e^{- x} - 2 y e^{- x} + K y = - 1$

Passaggio 3.3.2

Scomponi $y$ da $- x y e^{- x} - 2 y e^{- x} + K y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Scomponi $y$ da $- x y e^{- x}$ .

$y (- x e^{- x}) - 2 y e^{- x} + K y = - 1$

Passaggio 3.3.2.2

Scomponi $y$ da $- 2 y e^{- x}$ .

$y (- x e^{- x}) + y (- 2 e^{- x}) + K y = - 1$

Passaggio 3.3.2.3

Scomponi $y$ da $K y$ .

$y (- x e^{- x}) + y (- 2 e^{- x}) + y K = - 1$

Passaggio 3.3.2.4

Scomponi $y$ da $y (- x e^{- x}) + y (- 2 e^{- x})$ .

$y (- x e^{- x} - 2 e^{- x}) + y K = - 1$

Passaggio 3.3.2.5

Scomponi $y$ da $y (- x e^{- x} - 2 e^{- x}) + y K$ .

$y (- x e^{- x} - 2 e^{- x} + K) = - 1$

Passaggio 3.3.3

Dividi per $- x e^{- x} - 2 e^{- x} + K$ ciascun termine in $y (- x e^{- x} - 2 e^{- x} + K) = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Dividi per $- x e^{- x} - 2 e^{- x} + K$ ciascun termine in $y (- x e^{- x} - 2 e^{- x} + K) = - 1$ .

$\frac{y (- x e^{- x} - 2 e^{- x} + K)}{- x e^{- x} - 2 e^{- x} + K} = \frac{- 1}{- x e^{- x} - 2 e^{- x} + K}$

Passaggio 3.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- x e^{- x} - 2 e^{- x} + K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y (- x e^{- x} - 2 e^{- x} + K)}{- x e^{- x} - 2 e^{- x} + K} = \frac{- 1}{- x e^{- x} - 2 e^{- x} + K}$

Passaggio 3.3.3.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{- 1}{- x e^{- x} - 2 e^{- x} + K}$

Passaggio 3.3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{1}{- x e^{- x} - 2 e^{- x} + K}$

Passaggio 3.3.3.3.2

Scomponi $- 1$ da $- x e^{- x}$ .

$y = - \frac{1}{- (x e^{- x}) - 2 e^{- x} + K}$

Passaggio 3.3.3.3.3

Scomponi $- 1$ da $- 2 e^{- x}$ .

$y = - \frac{1}{- (x e^{- x}) - (2 e^{- x}) + K}$

Passaggio 3.3.3.3.4

Scomponi $- 1$ da $- (x e^{- x}) - (2 e^{- x})$ .

$y = - \frac{1}{- (x e^{- x} + 2 e^{- x}) + K}$

Passaggio 3.3.3.3.5

Scomponi $- 1$ da $K$ .

$y = - \frac{1}{- (x e^{- x} + 2 e^{- x}) - 1 (- K)}$

Passaggio 3.3.3.3.6

Scomponi $- 1$ da $- (x e^{- x} + 2 e^{- x}) - 1 (- K)$ .

$y = - \frac{1}{- (x e^{- x} + 2 e^{- x} - K)}$

Passaggio 3.3.3.3.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.3.7.1

Riscrivi $- (x e^{- x} + 2 e^{- x} - K)$ come $- 1 (x e^{- x} + 2 e^{- x} - K)$ .

$y = - \frac{1}{- 1 (x e^{- x} + 2 e^{- x} - K)}$

Passaggio 3.3.3.3.7.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - - \frac{1}{x e^{- x} + 2 e^{- x} - K}$

Passaggio 3.3.3.3.7.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y = 1 \frac{1}{x e^{- x} + 2 e^{- x} - K}$

Passaggio 3.3.3.3.7.4

Moltiplica $\frac{1}{x e^{- x} + 2 e^{- x} - K}$ per $1$ .

$y = \frac{1}{x e^{- x} + 2 e^{- x} - K}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \frac{1}{x e^{- x} + 2 e^{- x} + K}$