Calcolo Esempi

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = x^{2} + x + 1$

Passaggio 1

Integra entrambi i lati rispetto a $x$ .

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Passaggio 1.1

La derivata prima è uguale all'integrale della derivata seconda rispetto a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \int x^{2} + x + 1 d x$

Passaggio 1.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{d y}{d x} = \int x^{2} d x + \int x d x + \int d x$

Passaggio 1.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{1} + \int x d x + \int d x$

Passaggio 1.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{1} + \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int d x$

Passaggio 1.5

Applica la regola costante.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{1} + \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + x + C_{3}$

Passaggio 1.6

Semplifica.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + x + C_{4}$

Passaggio 2

Riscrivi l'equazione.

$d y = (\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + x + C_{4}) d x$

Passaggio 3

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + x + C_{4} d x$

Passaggio 3.2

Applica la regola costante.

$y + C_{5} = \int \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + x + C_{4} d x$

Passaggio 3.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 3.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$y + C_{5} = \int \frac{1}{3} x^{3} d x + \int \frac{1}{2} x^{2} d x + \int x d x + \int C_{4} d x$

Passaggio 3.3.2

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$y + C_{5} = \frac{1}{3} \int x^{3} d x + \int \frac{1}{2} x^{2} d x + \int x d x + \int C_{4} d x$

Passaggio 3.3.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$y + C_{5} = \frac{1}{3} (\frac{1}{4} x^{4} + C_{6}) + \int \frac{1}{2} x^{2} d x + \int x d x + \int C_{4} d x$

Passaggio 3.3.4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$y + C_{5} = \frac{1}{3} (\frac{1}{4} x^{4} + C_{6}) + \frac{1}{2} \int x^{2} d x + \int x d x + \int C_{4} d x$

Passaggio 3.3.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{5} = \frac{1}{3} (\frac{1}{4} x^{4} + C_{6}) + \frac{1}{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{7}) + \int x d x + \int C_{4} d x$

Passaggio 3.3.6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{5} = \frac{1}{3} (\frac{1}{4} x^{4} + C_{6}) + \frac{1}{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{7}) + \frac{1}{2} x^{2} + C_{8} + \int C_{4} d x$

Passaggio 3.3.7

Applica la regola costante.

$y + C_{5} = \frac{1}{3} (\frac{1}{4} x^{4} + C_{6}) + \frac{1}{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{7}) + \frac{1}{2} x^{2} + C_{8} + C_{4} x + C_{9}$

Passaggio 3.3.8

Semplifica.

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Passaggio 3.3.8.1

Semplifica.

$y + C_{5} = \frac{x^{4}}{12} + \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{2}}{2} + C_{4} x + C_{10}$

Passaggio 3.3.8.2

Riordina i termini.

$y + C_{5} = \frac{1}{12} x^{4} + \frac{1}{6} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} x + C_{10}$

Passaggio 3.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $D$ .

$y = \frac{1}{12} x^{4} + \frac{1}{6} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + C x + D$