Calcolo Esempi

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + y = \ln (| x |)$ ; con $y (1) = 10$

Passaggio 1

Verifica se il lato sinistro dell'equazione sia il risultato della derivata del termine $(x + 1) y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x + 1$ e $g (x) = y$ .

$(x + 1) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 1.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$(x + 1) y' + y \frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 1.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(x + 1) y' + y (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(x + 1) y' + y (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 1.5

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(x + 1) y' + y (1 + 0)$

Passaggio 1.6

Somma $1$ e $0$ .

$(x + 1) y' + y \cdot 1$

Passaggio 1.7

Sostituisci $\frac{d y}{d x}$ a $y'$ .

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

Passaggio 1.8

Riordina $y$ e $1$ .

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

Passaggio 1.9

Moltiplica $y$ per $1$ .

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + y$

Passaggio 2

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [(x + 1) y] = \ln (| x |)$

Passaggio 3

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [(x + 1) y] d x = \int \ln (| x |) d x$

Passaggio 4

Integra il lato sinistro.

$(x + 1) y = \int \ln (| x |) d x$

Passaggio 5

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \ln (| x |)$ e $d v = 1$ .

$(x + 1) y = \ln (| x |) x - \int x \frac{1}{x} d x$

Passaggio 5.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

$x$ e $\frac{1}{x}$ .

$(x + 1) y = \ln (| x |) x - \int \frac{x}{x} d x$

Passaggio 5.2.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$(x + 1) y = \ln (| x |) x - \int \frac{x}{x} d x$

Passaggio 5.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$(x + 1) y = \ln (| x |) x - \int d x$

Passaggio 5.3

Applica la regola costante.

$(x + 1) y = \ln (| x |) x - (x + C)$

Passaggio 5.4

Semplifica.

$(x + 1) y = \ln (| x |) x - x + C$

Passaggio 6

Dividi per $x + 1$ ciascun termine in $(x + 1) y = \ln (| x |) x - x + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Dividi per $x + 1$ ciascun termine in $(x + 1) y = \ln (| x |) x - x + C$ .

$\frac{(x + 1) y}{x + 1} = \frac{\ln (| x |) x}{x + 1} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Passaggio 6.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Elimina il fattore comune di $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x + 1) y}{x + 1} = \frac{\ln (| x |) x}{x + 1} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Passaggio 6.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\ln (| x |) x}{x + 1} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Passaggio 6.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = \frac{\ln (| x |) x}{x + 1} - \frac{x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Passaggio 6.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{\ln (| x |) x - x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Passaggio 6.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{\ln (| x |) x - x + C}{x + 1}$

Passaggio 6.3.4

Riordina i fattori in $\ln (| x |) x - x + C$ .

$y = \frac{x \ln (| x |) - x + C}{x + 1}$

Passaggio 7

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $C$ sostituendo $x$ con $1$ e $y$ con $10$ in $y = \frac{x \ln (| x |) - x + C}{x + 1}$ .

$10 = \frac{1 \ln (| 1 |) - 1 + C}{1 + 1}$

Passaggio 8

Risolvi per $C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{1 \ln (| 1 |) - 1 + C}{1 + 1} = 10$ .

$\frac{1 \ln (| 1 |) - 1 + C}{1 + 1} = 10$

Passaggio 8.2

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $1 + 1$ .

$(1 + 1) \frac{1 \ln (| 1 |) - 1 + C}{1 + 1} = (1 + 1) \cdot 10$

Passaggio 8.3

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1

Semplifica $(1 + 1) \frac{1 \ln (| 1 |) - 1 + C}{1 + 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1.1.1

Moltiplica $\ln (| 1 |)$ per $1$ .

$(1 + 1) \frac{\ln (| 1 |) - 1 + C}{1 + 1} = (1 + 1) \cdot 10$

Passaggio 8.3.1.1.1.2

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$(1 + 1) \frac{\ln (1) - 1 + C}{1 + 1} = (1 + 1) \cdot 10$

Passaggio 8.3.1.1.1.3

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$(1 + 1) \frac{0 - 1 + C}{1 + 1} = (1 + 1) \cdot 10$

Passaggio 8.3.1.1.1.4

Sottrai $1$ da $0$ .

$(1 + 1) \frac{- 1 + C}{1 + 1} = (1 + 1) \cdot 10$

Passaggio 8.3.1.1.2

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1.2.1

Somma $1$ e $1$ .

$(1 + 1) \frac{- 1 + C}{2} = (1 + 1) \cdot 10$

Passaggio 8.3.1.1.2.2

Somma $1$ e $1$ .

$2 \frac{- 1 + C}{2} = (1 + 1) \cdot 10$

Passaggio 8.3.1.1.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{- 1 + C}{2} = (1 + 1) \cdot 10$

Passaggio 8.3.1.1.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$- 1 + C = (1 + 1) \cdot 10$

Passaggio 8.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1

Semplifica $(1 + 1) \cdot 10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1.1

Somma $1$ e $1$ .

$- 1 + C = 2 \cdot 10$

Passaggio 8.3.2.1.2

Moltiplica $2$ per $10$ .

$- 1 + C = 20$

Passaggio 8.4

Sposta tutti i termini non contenenti $C$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$C = 20 + 1$

Passaggio 8.4.2

Somma $20$ e $1$ .

$C = 21$

Passaggio 9

Sostituisci $21$ a $C$ in $y = \frac{x \ln (| x |) - x + C}{x + 1}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sostituisci $21$ a $C$ .

$y = \frac{x \ln (| x |) - x + 21}{x + 1}$