Calcolo Esempi

$\frac{d x}{d y} = \frac{y^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d x}{d y} = {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{y^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d x}{d y} = {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{y^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d x}{d y} = y^{2}$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x = y^{2} d y$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x = \int y^{2} d y$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\int \sqrt{{(1 - x^{2})}^{1}} d x = \int y^{2} d y$

Passaggio 2.2.2

Sia $x = \sin (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d x = \cos (t) d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\cos (t)$ è positivo.

$\int \sqrt{{(1 - \sin^{2} (t))}^{1}} \cos (t) d t = \int y^{2} d y$

Passaggio 2.2.3

Semplifica i termini.

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Passaggio 2.2.3.1

Semplifica $\sqrt{{(1 - \sin^{2} (t))}^{1}}$ .

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Passaggio 2.2.3.1.1

Applica l'identità pitagorica.

$\int \sqrt{{(\cos^{2} (t))}^{1}} \cos (t) d t = \int y^{2} d y$

Passaggio 2.2.3.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(\cos^{2} (t))}^{1}$ .

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Passaggio 2.2.3.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sqrt{{\cos (t)}^{2 \cdot 1}} \cos (t) d t = \int y^{2} d y$

Passaggio 2.2.3.1.2.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\int \sqrt{\cos^{2} (t)} \cos (t) d t = \int y^{2} d y$

Passaggio 2.2.3.1.3

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\int \cos (t) \cos (t) d t = \int y^{2} d y$

Passaggio 2.2.3.2

Semplifica.

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Passaggio 2.2.3.2.1

Eleva $\cos (t)$ alla potenza di $1$ .

$\int \cos^{1} (t) \cos (t) d t = \int y^{2} d y$

Passaggio 2.2.3.2.2

Eleva $\cos (t)$ alla potenza di $1$ .

$\int \cos^{1} (t) \cos^{1} (t) d t = \int y^{2} d y$

Passaggio 2.2.3.2.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int {\cos (t)}^{1 + 1} d t = \int y^{2} d y$

Passaggio 2.2.3.2.4

Somma $1$ e $1$ .

$\int \cos^{2} (t) d t = \int y^{2} d y$

Passaggio 2.2.4

Usa la formula di bisezione per riscrivere $\cos^{2} (t)$ come $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$\int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t = \int y^{2} d y$

Passaggio 2.2.5

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $t$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t = \int y^{2} d y$

Passaggio 2.2.6

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{2} (\int d t + \int \cos (2 t) d t) = \int y^{2} d y$

Passaggio 2.2.7

Applica la regola costante.

$\frac{1}{2} (t + C_{1} + \int \cos (2 t) d t) = \int y^{2} d y$

Passaggio 2.2.8

Sia $u = 2 t$ . Allora $d u = 2 d t$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.2.8.1

Sia $u = 2 t$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

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Passaggio 2.2.8.1.1

Differenzia $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Passaggio 2.2.8.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2 t$ rispetto a $t$ è $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 2.2.8.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 2.2.8.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 2.2.8.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{2} (t + C_{1} + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u) = \int y^{2} d y$

Passaggio 2.2.9

$\cos (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (t + C_{1} + \int \frac{\cos (u)}{2} d u) = \int y^{2} d y$

Passaggio 2.2.10

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} (t + C_{1} + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u) = \int y^{2} d y$

Passaggio 2.2.11

L'integrale di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (t + C_{1} + \frac{1}{2} (\sin (u) + C_{2})) = \int y^{2} d y$

Passaggio 2.2.12

Semplifica.

$\frac{1}{2} (t + \frac{1}{2} \sin (u)) + C_{3} = \int y^{2} d y$

Passaggio 2.2.13

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 2.2.13.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $t$ con $\arcsin (x)$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) + \frac{1}{2} \sin (u)) + C_{3} = \int y^{2} d y$

Passaggio 2.2.13.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 t$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C_{3} = \int y^{2} d y$

Passaggio 2.2.13.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $t$ con $\arcsin (x)$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (x))) + C_{3} = \int y^{2} d y$

Passaggio 2.2.14

Semplifica.

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Passaggio 2.2.14.1

$\frac{1}{2}$ e $\sin (2 \arcsin (x))$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}) + C_{3} = \int y^{2} d y$

Passaggio 2.2.14.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{2} \arcsin (x) + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2} + C_{3} = \int y^{2} d y$

Passaggio 2.2.14.3

$\frac{1}{2}$ e $\arcsin (x)$ .

$\frac{\arcsin (x)}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2} + C_{3} = \int y^{2} d y$

Passaggio 2.2.14.4

Moltiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}$ .

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Passaggio 2.2.14.4.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}$ .

$\frac{\arcsin (x)}{2} + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2 \cdot 2} + C_{3} = \int y^{2} d y$

Passaggio 2.2.14.4.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{\arcsin (x)}{2} + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{4} + C_{3} = \int y^{2} d y$

Passaggio 2.2.15

Riordina i termini.

$\frac{1}{2} \arcsin (x) + \frac{1}{4} \sin (2 \arcsin (x)) + C_{3} = \int y^{2} d y$

Passaggio 2.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{2} \arcsin (x) + \frac{1}{4} \sin (2 \arcsin (x)) + C_{3} = \frac{1}{3} y^{3} + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{1}{2} \arcsin (x) + \frac{1}{4} \sin (2 \arcsin (x)) = \frac{1}{3} y^{3} + K$