Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = x^{4} {(x^{5} - 9)}^{2}$ , $y (1) = 5$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = x^{4} {(x^{5} - 9)}^{2} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int x^{4} {(x^{5} - 9)}^{2} d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int x^{4} {(x^{5} - 9)}^{2} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Sia $u = x^{5} - 9$ . Allora $d u = 5 x^{4} d x$ , quindi $\frac{1}{5} d u = x^{4} d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Sia $u = x^{5} - 9$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.1

Differenzia $x^{5} - 9$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5} - 9]$

Passaggio 2.3.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{5} - 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Passaggio 2.3.1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 9]$

Passaggio 2.3.1.1.4

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$5 x^{4} + 0$

Passaggio 2.3.1.1.5

Somma $5 x^{4}$ e $0$ .

$5 x^{4}$

Passaggio 2.3.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = \int u^{2} \frac{1}{5} d u$

Passaggio 2.3.2

$u^{2}$ e $\frac{1}{5}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{u^{2}}{5} d u$

Passaggio 2.3.3

Poiché $\frac{1}{5}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{5}$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{5} \int u^{2} d u$

Passaggio 2.3.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{2}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{5} (\frac{1}{3} u^{3} + C_{2})$

Passaggio 2.3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Riscrivi $\frac{1}{5} (\frac{1}{3} u^{3} + C_{2})$ come $\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C_{2}$

Passaggio 2.3.5.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.2.1

Moltiplica $\frac{1}{5}$ per $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{5 \cdot 3} u^{3} + C_{2}$

Passaggio 2.3.5.2.2

Moltiplica $5$ per $3$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{15} u^{3} + C_{2}$

Passaggio 2.3.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{5} - 9$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{15} {(x^{5} - 9)}^{3} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = \frac{1}{15} {(x^{5} - 9)}^{3} + K$

Passaggio 3

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $K$ sostituendo $x$ con $1$ e $y$ con $5$ in $y = \frac{1}{15} {(x^{5} - 9)}^{3} + K$ .

$5 = \frac{1}{15} {(1^{5} - 9)}^{3} + K$

Passaggio 4

Risolvi per $K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{1}{15} \cdot {(1^{5} - 9)}^{3} + K = 5$ .

$\frac{1}{15} \cdot {(1^{5} - 9)}^{3} + K = 5$

Passaggio 4.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{15} \cdot {(1 - 9)}^{3} + K = 5$

Passaggio 4.2.2

Sottrai $9$ da $1$ .

$\frac{1}{15} \cdot {(- 8)}^{3} + K = 5$

Passaggio 4.2.3

Eleva $- 8$ alla potenza di $3$ .

$\frac{1}{15} \cdot - 512 + K = 5$

Passaggio 4.2.4

$\frac{1}{15}$ e $- 512$ .

$\frac{- 512}{15} + K = 5$

Passaggio 4.2.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{512}{15} + K = 5$

Passaggio 4.3

Sposta tutti i termini non contenenti $K$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Somma $\frac{512}{15}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$K = 5 + \frac{512}{15}$

Passaggio 4.3.2

Per scrivere $5$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{15}{15}$ .

$K = 5 \cdot \frac{15}{15} + \frac{512}{15}$

Passaggio 4.3.3

$5$ e $\frac{15}{15}$ .

$K = \frac{5 \cdot 15}{15} + \frac{512}{15}$

Passaggio 4.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$K = \frac{5 \cdot 15 + 512}{15}$

Passaggio 4.3.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.1

Moltiplica $5$ per $15$ .

$K = \frac{75 + 512}{15}$

Passaggio 4.3.5.2

Somma $75$ e $512$ .

$K = \frac{587}{15}$

Passaggio 5

Sostituisci $\frac{587}{15}$ a $K$ in $y = \frac{1}{15} {(x^{5} - 9)}^{3} + K$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci $\frac{587}{15}$ a $K$ .

$y = \frac{1}{15} {(x^{5} - 9)}^{3} + \frac{587}{15}$

Passaggio 5.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Usa il teorema binomiale.

$y = \frac{1}{15} ({(x^{5})}^{3} + 3 {(x^{5})}^{2} \cdot - 9 + 3 x^{5} {(- 9)}^{2} + {(- 9)}^{3}) + \frac{587}{15}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{5})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{1}{15} (x^{5 \cdot 3} + 3 {(x^{5})}^{2} \cdot - 9 + 3 x^{5} {(- 9)}^{2} + {(- 9)}^{3}) + \frac{587}{15}$

Passaggio 5.2.2.1.2

Moltiplica $5$ per $3$ .

$y = \frac{1}{15} (x^{15} + 3 {(x^{5})}^{2} \cdot - 9 + 3 x^{5} {(- 9)}^{2} + {(- 9)}^{3}) + \frac{587}{15}$

Passaggio 5.2.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{5})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{1}{15} (x^{15} + 3 x^{5 \cdot 2} \cdot - 9 + 3 x^{5} {(- 9)}^{2} + {(- 9)}^{3}) + \frac{587}{15}$

Passaggio 5.2.2.2.2

Moltiplica $5$ per $2$ .

$y = \frac{1}{15} (x^{15} + 3 x^{10} \cdot - 9 + 3 x^{5} {(- 9)}^{2} + {(- 9)}^{3}) + \frac{587}{15}$

Passaggio 5.2.2.3

Moltiplica $- 9$ per $3$ .

$y = \frac{1}{15} (x^{15} - 27 x^{10} + 3 x^{5} {(- 9)}^{2} + {(- 9)}^{3}) + \frac{587}{15}$

Passaggio 5.2.2.4

Eleva $- 9$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{1}{15} (x^{15} - 27 x^{10} + 3 x^{5} \cdot 81 + {(- 9)}^{3}) + \frac{587}{15}$

Passaggio 5.2.2.5

Moltiplica $81$ per $3$ .

$y = \frac{1}{15} (x^{15} - 27 x^{10} + 243 x^{5} + {(- 9)}^{3}) + \frac{587}{15}$

Passaggio 5.2.2.6

Eleva $- 9$ alla potenza di $3$ .

$y = \frac{1}{15} (x^{15} - 27 x^{10} + 243 x^{5} - 729) + \frac{587}{15}$

Passaggio 5.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{1}{15} x^{15} + \frac{1}{15} (- 27 x^{10}) + \frac{1}{15} (243 x^{5}) + \frac{1}{15} \cdot - 729 + \frac{587}{15}$

Passaggio 5.2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

$\frac{1}{15}$ e $x^{15}$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} + \frac{1}{15} (- 27 x^{10}) + \frac{1}{15} (243 x^{5}) + \frac{1}{15} \cdot - 729 + \frac{587}{15}$

Passaggio 5.2.4.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.2.1

Scomponi $3$ da $15$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} + \frac{1}{3 (5)} (- 27 x^{10}) + \frac{1}{15} (243 x^{5}) + \frac{1}{15} \cdot - 729 + \frac{587}{15}$

Passaggio 5.2.4.2.2

Scomponi $3$ da $- 27 x^{10}$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} + \frac{1}{3 (5)} (3 (- 9 x^{10})) + \frac{1}{15} (243 x^{5}) + \frac{1}{15} \cdot - 729 + \frac{587}{15}$

Passaggio 5.2.4.2.3

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{x^{15}}{15} + \frac{1}{3 \cdot 5} (3 (- 9 x^{10})) + \frac{1}{15} (243 x^{5}) + \frac{1}{15} \cdot - 729 + \frac{587}{15}$

Passaggio 5.2.4.2.4

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{x^{15}}{15} + \frac{1}{5} (- 9 x^{10}) + \frac{1}{15} (243 x^{5}) + \frac{1}{15} \cdot - 729 + \frac{587}{15}$

Passaggio 5.2.4.3

$- 9$ e $\frac{1}{5}$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} + \frac{- 9}{5} x^{10} + \frac{1}{15} (243 x^{5}) + \frac{1}{15} \cdot - 729 + \frac{587}{15}$

Passaggio 5.2.4.4

$\frac{- 9}{5}$ e $x^{10}$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} + \frac{- 9 x^{10}}{5} + \frac{1}{15} (243 x^{5}) + \frac{1}{15} \cdot - 729 + \frac{587}{15}$

Passaggio 5.2.4.5

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.5.1

Scomponi $3$ da $15$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} + \frac{- 9 x^{10}}{5} + \frac{1}{3 (5)} (243 x^{5}) + \frac{1}{15} \cdot - 729 + \frac{587}{15}$

Passaggio 5.2.4.5.2

Scomponi $3$ da $243 x^{5}$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} + \frac{- 9 x^{10}}{5} + \frac{1}{3 (5)} (3 (81 x^{5})) + \frac{1}{15} \cdot - 729 + \frac{587}{15}$

Passaggio 5.2.4.5.3

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{x^{15}}{15} + \frac{- 9 x^{10}}{5} + \frac{1}{3 \cdot 5} (3 (81 x^{5})) + \frac{1}{15} \cdot - 729 + \frac{587}{15}$

Passaggio 5.2.4.5.4

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{x^{15}}{15} + \frac{- 9 x^{10}}{5} + \frac{1}{5} (81 x^{5}) + \frac{1}{15} \cdot - 729 + \frac{587}{15}$

Passaggio 5.2.4.6

$81$ e $\frac{1}{5}$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} + \frac{- 9 x^{10}}{5} + \frac{81}{5} x^{5} + \frac{1}{15} \cdot - 729 + \frac{587}{15}$

Passaggio 5.2.4.7

$\frac{81}{5}$ e $x^{5}$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} + \frac{- 9 x^{10}}{5} + \frac{81 x^{5}}{5} + \frac{1}{15} \cdot - 729 + \frac{587}{15}$

Passaggio 5.2.4.8

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.8.1

Scomponi $3$ da $15$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} + \frac{- 9 x^{10}}{5} + \frac{81 x^{5}}{5} + \frac{1}{3 (5)} \cdot - 729 + \frac{587}{15}$

Passaggio 5.2.4.8.2

Scomponi $3$ da $- 729$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} + \frac{- 9 x^{10}}{5} + \frac{81 x^{5}}{5} + \frac{1}{3 \cdot 5} \cdot (3 \cdot - 243) + \frac{587}{15}$

Passaggio 5.2.4.8.3

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{x^{15}}{15} + \frac{- 9 x^{10}}{5} + \frac{81 x^{5}}{5} + \frac{1}{3 \cdot 5} \cdot (3 \cdot - 243) + \frac{587}{15}$

Passaggio 5.2.4.8.4

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{x^{15}}{15} + \frac{- 9 x^{10}}{5} + \frac{81 x^{5}}{5} + \frac{1}{5} \cdot - 243 + \frac{587}{15}$

Passaggio 5.2.4.9

$\frac{1}{5}$ e $- 243$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} + \frac{- 9 x^{10}}{5} + \frac{81 x^{5}}{5} + \frac{- 243}{5} + \frac{587}{15}$

Passaggio 5.2.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = \frac{x^{15}}{15} - \frac{9 x^{10}}{5} + \frac{81 x^{5}}{5} + \frac{- 243}{5} + \frac{587}{15}$

Passaggio 5.2.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = \frac{x^{15}}{15} - \frac{9 x^{10}}{5} + \frac{81 x^{5}}{5} - \frac{243}{5} + \frac{587}{15}$

Passaggio 5.3

Per scrivere $- \frac{243}{5}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} - \frac{9 x^{10}}{5} + \frac{81 x^{5}}{5} - \frac{243}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{587}{15}$

Passaggio 5.4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $15$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Moltiplica $\frac{243}{5}$ per $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} - \frac{9 x^{10}}{5} + \frac{81 x^{5}}{5} - \frac{243 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{587}{15}$

Passaggio 5.4.2

Moltiplica $5$ per $3$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} - \frac{9 x^{10}}{5} + \frac{81 x^{5}}{5} - \frac{243 \cdot 3}{15} + \frac{587}{15}$

Passaggio 5.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{x^{15}}{15} - \frac{9 x^{10}}{5} + \frac{81 x^{5}}{5} + \frac{- 243 \cdot 3 + 587}{15}$

Passaggio 5.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Moltiplica $- 243$ per $3$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} - \frac{9 x^{10}}{5} + \frac{81 x^{5}}{5} + \frac{- 729 + 587}{15}$

Passaggio 5.6.2

Somma $- 729$ e $587$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} - \frac{9 x^{10}}{5} + \frac{81 x^{5}}{5} + \frac{- 142}{15}$

Passaggio 5.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = \frac{x^{15}}{15} - \frac{9 x^{10}}{5} + \frac{81 x^{5}}{5} - \frac{142}{15}$