Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = x^{4} \sqrt{x^{3}}$ , $y (0) = 0$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = x^{4} \sqrt{x^{3}} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int x^{4} \sqrt{x^{3}} d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int x^{4} \sqrt{x^{3}} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Semplifica.

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Passaggio 2.3.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x^{3}}$ come $x^{\frac{3}{2}}$ .

$y + C_{1} = \int x^{4} x^{\frac{3}{2}} d x$

Passaggio 2.3.1.2

Moltiplica $x^{4}$ per $x^{\frac{3}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.3.1.2.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y + C_{1} = \int x^{4 + \frac{3}{2}} d x$

Passaggio 2.3.1.2.2

Per scrivere $4$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$y + C_{1} = \int x^{4 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}} d x$

Passaggio 2.3.1.2.3

$4$ e $\frac{2}{2}$ .

$y + C_{1} = \int x^{\frac{4 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}} d x$

Passaggio 2.3.1.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y + C_{1} = \int x^{\frac{4 \cdot 2 + 3}{2}} d x$

Passaggio 2.3.1.2.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.3.1.2.5.1

Moltiplica $4$ per $2$ .

$y + C_{1} = \int x^{\frac{8 + 3}{2}} d x$

Passaggio 2.3.1.2.5.2

Somma $8$ e $3$ .

$y + C_{1} = \int x^{\frac{11}{2}} d x$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{\frac{11}{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{2}{13} x^{\frac{13}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{13} x^{\frac{13}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = \frac{2}{13} x^{\frac{13}{2}} + K$

Passaggio 3

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $K$ sostituendo $x$ con $0$ e $y$ con $0$ in $y = \frac{2}{13} x^{\frac{13}{2}} + K$ .

$0 = \frac{2}{13} \cdot 0^{\frac{13}{2}} + K$

Passaggio 4

Risolvi per $K$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{2}{13} \cdot 0^{\frac{13}{2}} + K = 0$ .

$\frac{2}{13} \cdot 0^{\frac{13}{2}} + K = 0$

Passaggio 4.2

Semplifica $\frac{2}{13} \cdot 0^{\frac{13}{2}} + K$ .

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Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$\frac{2}{13} \cdot {(0^{2})}^{\frac{13}{2}} + K = 0$

Passaggio 4.2.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{13} \cdot 0^{2 (\frac{13}{2})} + K = 0$

Passaggio 4.2.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.2.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{13} \cdot 0^{2 (\frac{13}{2})} + K = 0$

Passaggio 4.2.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{13} \cdot 0^{13} + K = 0$

Passaggio 4.2.1.4

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{2}{13} \cdot 0 + K = 0$

Passaggio 4.2.1.5

Moltiplica $\frac{2}{13}$ per $0$ .

$0 + K = 0$

Passaggio 4.2.2

Somma $0$ e $K$ .

$K = 0$

Passaggio 5

Sostituisci $0$ a $K$ in $y = \frac{2}{13} x^{\frac{13}{2}} + K$ e semplifica.

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Passaggio 5.1

Sostituisci $0$ a $K$ .

$y = \frac{2}{13} x^{\frac{13}{2}} + 0$

Passaggio 5.2

Somma $\frac{2}{13} x^{\frac{13}{2}}$ e $0$ .

$y = \frac{2}{13} x^{\frac{13}{2}}$

Passaggio 5.3

$\frac{2}{13}$ e $x^{\frac{13}{2}}$ .

$y = \frac{2 x^{\frac{13}{2}}}{13}$