Calcolo Esempi

$x \frac{d y}{d x} - y = \frac{y}{x}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Risolvi per $\frac{d y}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Somma $y$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x \frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + y$

Passaggio 1.1.2

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + y$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + y$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\frac{y}{x}}{x} + \frac{y}{x}$

Passaggio 1.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\frac{y}{x}}{x} + \frac{y}{x}$

Passaggio 1.1.2.2.1.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x}}{x} + \frac{y}{x}$

Passaggio 1.1.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1.2.3.1.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} \cdot \frac{1}{x} + \frac{y}{x}$

Passaggio 1.1.2.3.1.2

Moltiplica $\frac{y}{x} \cdot \frac{1}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1.2.1

Moltiplica $\frac{y}{x}$ per $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x \cdot x} + \frac{y}{x}$

Passaggio 1.1.2.3.1.2.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{1} x} + \frac{y}{x}$

Passaggio 1.1.2.3.1.2.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{1} x^{1}} + \frac{y}{x}$

Passaggio 1.1.2.3.1.2.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{1 + 1}} + \frac{y}{x}$

Passaggio 1.1.2.3.1.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{y}{x}$

Passaggio 1.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Per scrivere $\frac{y}{x}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{y}{x} \cdot \frac{x}{x}$

Passaggio 1.2.2

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $x^{2}$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Moltiplica $\frac{y}{x}$ per $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{y x}{x \cdot x}$

Passaggio 1.2.2.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{y x}{x^{1} x}$

Passaggio 1.2.2.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{y x}{x^{1} x^{1}}$

Passaggio 1.2.2.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{y x}{x^{1 + 1}}$

Passaggio 1.2.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{y x}{x^{2}}$

Passaggio 1.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y + y x}{x^{2}}$

Passaggio 1.2.4

Scomponi $y$ da $y + y x$ .

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Passaggio 1.2.4.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{1} + y x}{x^{2}}$

Passaggio 1.2.4.2

Scomponi $y$ da $y^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot 1 + y x}{x^{2}}$

Passaggio 1.2.4.3

Scomponi $y$ da $y x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot 1 + y (x)}{x^{2}}$

Passaggio 1.2.4.4

Scomponi $y$ da $y \cdot 1 + y (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot (1 + x)}{x^{2}}$

Passaggio 1.2.4.5

Moltiplica $y$ per $1 + x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (1 + x)}{x^{2}}$

Passaggio 1.3

Raggruppa i fattori.

$\frac{d y}{d x} = y \frac{1 + x}{x^{2}}$

Passaggio 1.4

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{1 + x}{x^{2}})$

Passaggio 1.5

Elimina il fattore comune di $y$ .

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Passaggio 1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{1 + x}{x^{2}})$

Passaggio 1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + x}{x^{2}}$

Passaggio 1.6

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.2

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 2.3.1.1

Sposta $x^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int (1 + x) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Passaggio 2.3.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 2.3.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int (1 + x) x^{2 \cdot - 1} d x$

Passaggio 2.3.1.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int (1 + x) x^{- 2} d x$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica $(1 + x) x^{- 2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 1 x^{- 2} + x \cdot x^{- 2} d x$

Passaggio 2.3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Moltiplica $x^{- 2}$ per $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- 2} + x \cdot x^{- 2} d x$

Passaggio 2.3.3.2

Moltiplica $x$ per $x^{- 2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.3.3.2.1

Moltiplica $x$ per $x^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- 2} + x^{1} x^{- 2} d x$

Passaggio 2.3.3.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- 2} + x^{1 - 2} d x$

Passaggio 2.3.3.2.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- 2} + x^{- 1} d x$

Passaggio 2.3.4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- 2} d x + \int x^{- 1} d x$

Passaggio 2.3.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- 2}$ rispetto a $x$ è $- x^{- 1}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2} + \int x^{- 1} d x$

Passaggio 2.3.6

L'integrale di $x^{- 1}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2} + \ln (| x |) + C_{3}$

Passaggio 2.3.7

Semplifica.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{x} + \ln (| x |) + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| y |) = - \frac{1}{x} + \ln (| x |) + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (| y |) - \ln (| x |) = - \frac{1}{x} + C$

Passaggio 3.2

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{| x |}) = - \frac{1}{x} + C$

Passaggio 3.3

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (\frac{| y |}{| x |})} = e^{- \frac{1}{x} + C}$

Passaggio 3.4

Riscrivi $\ln (\frac{| y |}{| x |}) = - \frac{1}{x} + C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{x} + C} = \frac{| y |}{| x |}$

Passaggio 3.5

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.5.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{| y |}{| x |} = e^{- \frac{1}{x} + C}$ .

$\frac{| y |}{| x |} = e^{- \frac{1}{x} + C}$

Passaggio 3.5.2

Moltiplica ogni lato per $| x |$ .

$\frac{| y |}{| x |} | x | = e^{- \frac{1}{x} + C} | x |$

Passaggio 3.5.3

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.5.3.1

Elimina il fattore comune di $| x |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{| y |}{| x |} | x | = e^{- \frac{1}{x} + C} | x |$

Passaggio 3.5.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$| y | = e^{- \frac{1}{x} + C} | x |$

Passaggio 3.5.4

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.5.4.1

Riordina i fattori in $e^{- \frac{1}{x} + C} | x |$ .

$| y | = | x | e^{- \frac{1}{x} + C}$

Passaggio 3.5.4.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$y = \pm | x | e^{- \frac{1}{x} + C}$

Passaggio 4

Raggruppa i termini costanti.

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Passaggio 4.1

Riscrivi $e^{- \frac{1}{x} + C}$ come $e^{- \frac{1}{x}} e^{C}$ .

$y = \pm | x | (e^{- \frac{1}{x}} e^{C})$

Passaggio 4.2

Riordina $e^{- \frac{1}{x}}$ e $e^{C}$ .

$y = \pm | x | (e^{C} e^{- \frac{1}{x}})$

Passaggio 4.3

Combina costanti con il più o il meno.

$y = C | x | e^{- \frac{1}{x}}$