Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = y^{2} - {(x y)}^{2}$ , $y (3) = 1$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = y$ e $b = x y$ .

$\frac{d y}{d x} = (y + x y) (y - (x y))$

Passaggio 1.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Scomponi $y$ da $y + x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d y}{d x} = (y^{1} + x y) (y - (x y))$

Passaggio 1.1.2.1.2

Scomponi $y$ da $y^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = (y \cdot 1 + x y) (y - (x y))$

Passaggio 1.1.2.1.3

Scomponi $y$ da $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = (y \cdot 1 + y x) (y - (x y))$

Passaggio 1.1.2.1.4

Scomponi $y$ da $y \cdot 1 + y x$ .

$\frac{d y}{d x} = y (1 + x) (y - (x y))$

Passaggio 1.1.2.2

Rimuovi le parentesi.

$\frac{d y}{d x} = y (1 + x) (y - x y)$

Passaggio 1.1.2.3

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1

Scomponi $y$ da $y - x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d y}{d x} = y (1 + x) (y^{1} - x y)$

Passaggio 1.1.2.3.1.2

Scomponi $y$ da $y^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = y (1 + x) (y \cdot 1 - x y)$

Passaggio 1.1.2.3.1.3

Scomponi $y$ da $- x y$ .

$\frac{d y}{d x} = y (1 + x) (y \cdot 1 + y (- x))$

Passaggio 1.1.2.3.1.4

Scomponi $y$ da $y \cdot 1 + y (- x)$ .

$\frac{d y}{d x} = y (1 + x) (y (1 - x))$

Passaggio 1.1.2.3.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$\frac{d y}{d x} = y (1 + x) y (1 - x)$

Passaggio 1.1.2.4

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.4.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d y}{d x} = y^{1} y (1 + x) (1 - x)$

Passaggio 1.1.2.4.2

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d y}{d x} = y^{1} y^{1} (1 + x) (1 - x)$

Passaggio 1.1.2.4.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d y}{d x} = y^{1 + 1} (1 + x) (1 - x)$

Passaggio 1.1.2.4.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{d y}{d x} = y^{2} (1 + x) (1 - x)$

Passaggio 1.2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} (1 + x) (1 - x))$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Scomponi $y^{2}$ da $y^{2} (1 + x) (1 - x)$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} ((1 + x) (1 - x)))$

Passaggio 1.3.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} ((1 + x) (1 - x)))$

Passaggio 1.3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = (1 + x) (1 - x)$

Passaggio 1.3.2

Espandi $(1 + x) (1 - x)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 1 (1 - x) + x (1 - x)$

Passaggio 1.3.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x)$

Passaggio 1.3.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)$

Passaggio 1.3.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)$

Passaggio 1.3.3.1.2

Moltiplica $- x$ per $1$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 1 - x + x \cdot 1 + x (- x)$

Passaggio 1.3.3.1.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 1 - x + x + x (- x)$

Passaggio 1.3.3.1.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 1 - x + x - x \cdot x$

Passaggio 1.3.3.1.5

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1.5.1

Sposta $x$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 1 - x + x - (x \cdot x)$

Passaggio 1.3.3.1.5.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 1 - x + x - x^{2}$

Passaggio 1.3.3.2

Somma $- x$ e $x$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 1 + 0 - x^{2}$

Passaggio 1.3.3.3

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 1 - x^{2}$

Passaggio 1.4

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{y^{2}} d y = (1 - x^{2}) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int 1 - x^{2} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Sposta $y^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int 1 - x^{2} d x$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int 1 - x^{2} d x$

Passaggio 2.2.1.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int 1 - x^{2} d x$

Passaggio 2.2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{- 2}$ rispetto a $y$ è $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int 1 - x^{2} d x$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi $- y^{- 1} + C_{1}$ come $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int 1 - x^{2} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int d x + \int - x^{2} d x$

Passaggio 2.3.2

Applica la regola costante.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x + C_{2} + \int - x^{2} d x$

Passaggio 2.3.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x + C_{2} - \int x^{2} d x$

Passaggio 2.3.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x + C_{2} - (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3})$

Passaggio 2.3.5

Semplifica.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x - \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

Passaggio 2.3.6

Riordina i termini.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \frac{1}{3} x^{3} + x + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$- \frac{1}{y} = - \frac{1}{3} x^{3} + x + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

$x^{3}$ e $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{y} = - \frac{x^{3}}{3} + x + K$

Passaggio 3.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$y, 3, 1, 1$

Passaggio 3.2.2

Poiché $y, 3, 1, 1$ contiene sia numeri che variabili, ci sono due passaggi per trovare il minimo comune multiplo. Trova il minimo comune multiplo per la parte numerica $1, 3, 1, 1$ , quindi trova il minimo comune multiplo per la parte variabile $y^{1}$ .

Passaggio 3.2.3

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 3.2.4

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 3.2.5

Poiché $3$ non presenta fattori eccetto $1$ e $3$ .

$3$ è un numero primo

Passaggio 3.2.6

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 3.2.7

Il minimo comune multiplo di $1, 3, 1, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$3$

Passaggio 3.2.8

Il fattore di $y^{1}$ è $y$ stesso.

$y^{1} = y$

$y$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 3.2.9

Il minimo comune multiplo (mcm) di $y^{1}$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$y$

Passaggio 3.2.10

Il minimo comune multiplo di $y, 3, 1, 1$ è la parte numerica $3$ moltiplicata per la parte variabile.

$3 y$

Passaggio 3.3

Moltiplica per $3 y$ ciascun termine in $- \frac{1}{y} = - \frac{x^{3}}{3} + x + K$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Moltiplica ogni termine in $- \frac{1}{y} = - \frac{x^{3}}{3} + x + K$ per $3 y$ .

$- \frac{1}{y} (3 y) = - \frac{x^{3}}{3} (3 y) + x (3 y) + K (3 y)$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{y}$ nel numeratore.

$\frac{- 1}{y} (3 y) = - \frac{x^{3}}{3} (3 y) + x (3 y) + K (3 y)$

Passaggio 3.3.2.1.2

Scomponi $y$ da $3 y$ .

$\frac{- 1}{y} (y \cdot 3) = - \frac{x^{3}}{3} (3 y) + x (3 y) + K (3 y)$

Passaggio 3.3.2.1.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1}{y} (y \cdot 3) = - \frac{x^{3}}{3} (3 y) + x (3 y) + K (3 y)$

Passaggio 3.3.2.1.4

Riscrivi l'espressione.

$- 1 \cdot 3 = - \frac{x^{3}}{3} (3 y) + x (3 y) + K (3 y)$

Passaggio 3.3.2.2

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$- 3 = - \frac{x^{3}}{3} (3 y) + x (3 y) + K (3 y)$

Passaggio 3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{x^{3}}{3}$ nel numeratore.

$- 3 = \frac{- x^{3}}{3} (3 y) + x (3 y) + K (3 y)$

Passaggio 3.3.3.1.1.2

Scomponi $3$ da $3 y$ .

$- 3 = \frac{- x^{3}}{3} (3 (y)) + x (3 y) + K (3 y)$

Passaggio 3.3.3.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$- 3 = \frac{- x^{3}}{3} (3 y) + x (3 y) + K (3 y)$

Passaggio 3.3.3.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$- 3 = - x^{3} y + x (3 y) + K (3 y)$

Passaggio 3.3.3.1.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- 3 = - x^{3} y + 3 x y + K (3 y)$

Passaggio 3.3.3.1.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- 3 = - x^{3} y + 3 x y + 3 K y$

Passaggio 3.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Riscrivi l'equazione come $- x^{3} y + 3 x y + 3 K y = - 3$ .

$- x^{3} y + 3 x y + 3 K y = - 3$

Passaggio 3.4.2

Scomponi $y$ da $- x^{3} y + 3 x y + 3 K y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Scomponi $y$ da $- x^{3} y$ .

$y (- x^{3}) + 3 x y + 3 K y = - 3$

Passaggio 3.4.2.2

Scomponi $y$ da $3 x y$ .

$y (- x^{3}) + y (3 x) + 3 K y = - 3$

Passaggio 3.4.2.3

Scomponi $y$ da $3 K y$ .

$y (- x^{3}) + y (3 x) + y (3 K) = - 3$

Passaggio 3.4.2.4

Scomponi $y$ da $y (- x^{3}) + y (3 x)$ .

$y (- x^{3} + 3 x) + y (3 K) = - 3$

Passaggio 3.4.2.5

Scomponi $y$ da $y (- x^{3} + 3 x) + y (3 K)$ .

$y (- x^{3} + 3 x + 3 K) = - 3$

Passaggio 3.4.3

Dividi per $- x^{3} + 3 x + 3 K$ ciascun termine in $y (- x^{3} + 3 x + 3 K) = - 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

Dividi per $- x^{3} + 3 x + 3 K$ ciascun termine in $y (- x^{3} + 3 x + 3 K) = - 3$ .

$\frac{y (- x^{3} + 3 x + 3 K)}{- x^{3} + 3 x + 3 K} = \frac{- 3}{- x^{3} + 3 x + 3 K}$

Passaggio 3.4.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- x^{3} + 3 x + 3 K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y (- x^{3} + 3 x + 3 K)}{- x^{3} + 3 x + 3 K} = \frac{- 3}{- x^{3} + 3 x + 3 K}$

Passaggio 3.4.3.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{- 3}{- x^{3} + 3 x + 3 K}$

Passaggio 3.4.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{3}{- x^{3} + 3 x + 3 K}$

Passaggio 3.4.3.3.2

Scomponi $- 1$ da $- x^{3}$ .

$y = - \frac{3}{- (x^{3}) + 3 x + 3 K}$

Passaggio 3.4.3.3.3

Scomponi $- 1$ da $3 x$ .

$y = - \frac{3}{- (x^{3}) - (- 3 x) + 3 K}$

Passaggio 3.4.3.3.4

Scomponi $- 1$ da $- (x^{3}) - (- 3 x)$ .

$y = - \frac{3}{- (x^{3} - 3 x) + 3 K}$

Passaggio 3.4.3.3.5

Scomponi $- 1$ da $3 K$ .

$y = - \frac{3}{- (x^{3} - 3 x) - (- 3 K)}$

Passaggio 3.4.3.3.6

Scomponi $- 1$ da $- (x^{3} - 3 x) - (- 3 K)$ .

$y = - \frac{3}{- (x^{3} - 3 x - 3 K)}$

Passaggio 3.4.3.3.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.3.7.1

Riscrivi $- (x^{3} - 3 x - 3 K)$ come $- 1 (x^{3} - 3 x - 3 K)$ .

$y = - \frac{3}{- 1 (x^{3} - 3 x - 3 K)}$

Passaggio 3.4.3.3.7.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - - \frac{3}{x^{3} - 3 x - 3 K}$

Passaggio 3.4.3.3.7.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y = 1 \frac{3}{x^{3} - 3 x - 3 K}$

Passaggio 3.4.3.3.7.4

Moltiplica $\frac{3}{x^{3} - 3 x - 3 K}$ per $1$ .

$y = \frac{3}{x^{3} - 3 x - 3 K}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \frac{3}{x^{3} - 3 x + K}$

Passaggio 5

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $K$ sostituendo $x$ con $3$ e $y$ con $1$ in $y = \frac{3}{x^{3} - 3 x + K}$ .

$1 = \frac{3}{3^{3} - 3 \cdot 3 + K}$

Passaggio 6

Risolvi per $K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{3}{3^{3} - 3 \cdot 3 + K} = 1$ .

$\frac{3}{3^{3} - 3 \cdot 3 + K} = 1$

Passaggio 6.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$\frac{3}{27 - 3 \cdot 3 + K} = 1$

Passaggio 6.2.2

Moltiplica $- 3$ per $3$ .

$\frac{3}{27 - 9 + K} = 1$

Passaggio 6.2.3

Sottrai $9$ da $27$ .

$\frac{3}{18 + K} = 1$

Passaggio 6.3

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$18 + K, 1$

Passaggio 6.3.2

Rimuovi le parentesi.

$18 + K, 1$

Passaggio 6.3.3

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$18 + K$

Passaggio 6.4

Moltiplica per $18 + K$ ciascun termine in $\frac{3}{18 + K} = 1$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{3}{18 + K} = 1$ per $18 + K$ .

$\frac{3}{18 + K} (18 + K) = 1 (18 + K)$

Passaggio 6.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Elimina il fattore comune di $18 + K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3}{18 + K} (18 + K) = 1 (18 + K)$

Passaggio 6.4.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$3 = 1 (18 + K)$

Passaggio 6.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.3.1

Moltiplica $18 + K$ per $1$ .

$3 = 18 + K$

Passaggio 6.5

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Riscrivi l'equazione come $18 + K = 3$ .

$18 + K = 3$

Passaggio 6.5.2

Sposta tutti i termini non contenenti $K$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1

Sottrai $18$ da entrambi i lati dell'equazione.

$K = 3 - 18$

Passaggio 6.5.2.2

Sottrai $18$ da $3$ .

$K = - 15$

Passaggio 7

Sostituisci $- 15$ a $K$ in $y = \frac{3}{x^{3} - 3 x + K}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci $- 15$ a $K$ .

$y = \frac{3}{x^{3} - 3 x - 15}$