Calcolo Esempi

$y^{2} (x + y + 1) d x + x y (x + 3 y + 2) d y = 0$

Passaggio 1

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = y^{2} (x + y + 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2} (x + y + 1)]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ è $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ dove $f (y) = y^{2}$ e $g (y) = x + y + 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} \frac{d}{d y} [x + y + 1] + (x + y + 1) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + y + 1$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]) + (x + y + 1) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 1.3.2

Poiché $x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $x$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} (0 + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]) + (x + y + 1) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 1.3.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]) + (x + y + 1) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 1.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} (1 + \frac{d}{d y} [1]) + (x + y + 1) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 1.3.5

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} (1 + 0) + (x + y + 1) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 1.3.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} \cdot 1 + (x + y + 1) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 1.3.6.2

Moltiplica $y^{2}$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} + (x + y + 1) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 1.3.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} + (x + y + 1) (2 y)$

Passaggio 1.3.8

Sposta $2$ alla sinistra di $x + y + 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} + 2 \cdot (x + y + 1) y$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} + (2 x + 2 y + 2 \cdot 1) y$

Passaggio 1.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} + 2 x y + 2 y \cdot y + 2 \cdot 1 y$

Passaggio 1.4.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} + 2 x y + 2 (y^{1} y) + 2 \cdot 1 y$

Passaggio 1.4.3.2

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} + 2 x y + 2 (y^{1} y^{1}) + 2 \cdot 1 y$

Passaggio 1.4.3.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} + 2 x y + 2 y^{1 + 1} + 2 \cdot 1 y$

Passaggio 1.4.3.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} + 2 x y + 2 y^{2} + 2 \cdot 1 y$

Passaggio 1.4.3.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} + 2 x y + 2 y^{2} + 2 y$

Passaggio 1.4.3.6

Somma $y^{2}$ e $2 y^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{2} + 2 x y + 2 y$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = x y (x + 3 y + 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y (x + 3 y + 2)]$

Passaggio 2.2

Poiché $y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $x y (x + 3 y + 2)$ rispetto a $x$ è $y \frac{d}{d x} [x (x + 3 y + 2)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x (x + 3 y + 2)]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = x + 3 y + 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (x \frac{d}{d x} [x + 3 y + 2] + (x + 3 y + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 3 y + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 3 y + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (x (1 + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 3 y + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.4.3

Poiché $3 y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 y$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (x (1 + 0 + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 3 y + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.4.4

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (x (1 + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 3 y + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.4.5

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (x (1 + 0) + (x + 3 y + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.4.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (x \cdot 1 + (x + 3 y + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.4.6.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (x + (x + 3 y + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.4.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (x + (x + 3 y + 2) \cdot 1)$

Passaggio 2.4.8

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.8.1

Moltiplica $x + 3 y + 2$ per $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (x + x + 3 y + 2)$

Passaggio 2.4.8.2

Somma $x$ e $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 x + 3 y + 2)$

Passaggio 2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 x) + y (3 y) + y \cdot 2$

Passaggio 2.5.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Sposta $2$ alla sinistra di $y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \cdot y x + y (3 y) + y \cdot 2$

Passaggio 2.5.2.2

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + 3 (y^{1} y) + y \cdot 2$

Passaggio 2.5.2.3

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + 3 (y^{1} y^{1}) + y \cdot 2$

Passaggio 2.5.2.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + 3 y^{1 + 1} + y \cdot 2$

Passaggio 2.5.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + 3 y^{2} + y \cdot 2$

Passaggio 2.5.2.6

Sposta $2$ alla sinistra di $y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + 3 y^{2} + 2 y$

Passaggio 2.5.3

Riordina i termini.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} + 2 x y + 2 y$

Passaggio 3

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $3 y^{2} + 2 x y + 2 y$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $3 y^{2} + 2 x y + 2 y$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$3 y^{2} + 2 x y + 2 y = 3 y^{2} + 2 x y + 2 y$

Passaggio 3.2

Dato che è stato dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$3 y^{2} + 2 x y + 2 y = 3 y^{2} + 2 x y + 2 y$ è un'identità.

Passaggio 4

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y^{2} (x + y + 1) d x$

Passaggio 5

Integra $M (x, y) = y^{2} (x + y + 1)$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poiché $y^{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $y^{2}$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = y^{2} \int x + y + 1 d x$

Passaggio 5.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$f (x, y) = y^{2} (\int x d x + \int y d x + \int d x)$

Passaggio 5.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C + \int y d x + \int d x)$

Passaggio 5.4

Applica la regola costante.

$f (x, y) = y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C + y x + C + \int d x)$

Passaggio 5.5

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$f (x, y) = y^{2} (\frac{x^{2}}{2} + C + y x + C + \int d x)$

Passaggio 5.6

Applica la regola costante.

$f (x, y) = y^{2} (\frac{x^{2}}{2} + C + y x + C + x + C)$

Passaggio 5.7

Semplifica.

$f (x, y) = y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + y x + x) + C$

Passaggio 6

Poiché l'integrale di $g (y)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + y x + x) + g (y)$

Passaggio 7

Imposta $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x y (x + 3 y + 2)$

Passaggio 8

Trova $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Differenzia $f$ rispetto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + y x + x) + g (y)] = x y (x + 3 y + 2)$

Passaggio 8.2

Differenzia usando la regola della somma.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} (\frac{x^{2}}{2} + y x + x) + g (y)] = x y (x + 3 y + 2)$

Passaggio 8.2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y^{2} (\frac{x^{2}}{2} + y x + x) + g (y)$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y^{2} (\frac{x^{2}}{2} + y x + x)] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} (\frac{x^{2}}{2} + y x + x)] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x y (x + 3 y + 2)$

Passaggio 8.3

Calcola $\frac{d}{d y} [y^{2} (\frac{x^{2}}{2} + y x + x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ è $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ dove $f (y) = y^{2}$ e $g (y) = \frac{x^{2}}{2} + y x + x$ .

$y^{2} \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2} + y x + x] + (\frac{x^{2}}{2} + y x + x) \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x y (x + 3 y + 2)$

Passaggio 8.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{x^{2}}{2} + y x + x$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [x]$ .

$y^{2} (\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [x]) + (\frac{x^{2}}{2} + y x + x) \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x y (x + 3 y + 2)$

Passaggio 8.3.3

Poiché $\frac{x^{2}}{2}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $\frac{x^{2}}{2}$ rispetto a $y$ è $0$ .

$y^{2} (0 + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [x]) + (\frac{x^{2}}{2} + y x + x) \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x y (x + 3 y + 2)$

Passaggio 8.3.4

Poiché $x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $y x$ rispetto a $y$ è $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$y^{2} (0 + x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x]) + (\frac{x^{2}}{2} + y x + x) \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x y (x + 3 y + 2)$

Passaggio 8.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$y^{2} (0 + x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [x]) + (\frac{x^{2}}{2} + y x + x) \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x y (x + 3 y + 2)$

Passaggio 8.3.6

Poiché $x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $x$ rispetto a $y$ è $0$ .

$y^{2} (0 + x \cdot 1 + 0) + (\frac{x^{2}}{2} + y x + x) \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x y (x + 3 y + 2)$

Passaggio 8.3.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$y^{2} (0 + x \cdot 1 + 0) + (\frac{x^{2}}{2} + y x + x) (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x y (x + 3 y + 2)$

Passaggio 8.3.8

Moltiplica $x$ per $1$ .

$y^{2} (0 + x + 0) + (\frac{x^{2}}{2} + y x + x) (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x y (x + 3 y + 2)$

Passaggio 8.3.9

Somma $0$ e $x$ .

$y^{2} (x + 0) + (\frac{x^{2}}{2} + y x + x) (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x y (x + 3 y + 2)$

Passaggio 8.3.10

Somma $x$ e $0$ .

$y^{2} x + (\frac{x^{2}}{2} + y x + x) (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x y (x + 3 y + 2)$

Passaggio 8.3.11

Sposta $2$ alla sinistra di $\frac{x^{2}}{2} + y x + x$ .

$y^{2} x + 2 (\frac{x^{2}}{2} + y x + x) y + \frac{d}{d y} [g (y)] = x y (x + 3 y + 2)$

Passaggio 8.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (y)$ è $\frac{d g}{d y}$ .

$y^{2} x + 2 (\frac{x^{2}}{2} + y x + x) y + \frac{d g}{d y} = x y (x + 3 y + 2)$

Passaggio 8.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$y^{2} x + (2 \frac{x^{2}}{2} + 2 (y x) + 2 x) y + \frac{d g}{d y} = x y (x + 3 y + 2)$

Passaggio 8.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$y^{2} x + 2 \frac{x^{2}}{2} y + 2 (y x) y + 2 x y + \frac{d g}{d y} = x y (x + 3 y + 2)$

Passaggio 8.5.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.3.1

$2$ e $\frac{x^{2}}{2}$ .

$y^{2} x + \frac{2 x^{2}}{2} y + 2 (y x) y + 2 x y + \frac{d g}{d y} = x y (x + 3 y + 2)$

Passaggio 8.5.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$y^{2} x + \frac{2 x^{2}}{2} y + 2 (y x) y + 2 x y + \frac{d g}{d y} = x y (x + 3 y + 2)$

Passaggio 8.5.3.2.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$y^{2} x + x^{2} y + 2 (y x) y + 2 x y + \frac{d g}{d y} = x y (x + 3 y + 2)$

Passaggio 8.5.3.3

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$y^{2} x + x^{2} y + 2 x (y^{1} y) + 2 x y + \frac{d g}{d y} = x y (x + 3 y + 2)$

Passaggio 8.5.3.4

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$y^{2} x + x^{2} y + 2 x (y^{1} y^{1}) + 2 x y + \frac{d g}{d y} = x y (x + 3 y + 2)$

Passaggio 8.5.3.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y^{2} x + x^{2} y + 2 x y^{1 + 1} + 2 x y + \frac{d g}{d y} = x y (x + 3 y + 2)$

Passaggio 8.5.3.6

Somma $1$ e $1$ .

$y^{2} x + x^{2} y + 2 x y^{2} + 2 x y + \frac{d g}{d y} = x y (x + 3 y + 2)$

Passaggio 8.5.3.7

Somma $y^{2} x$ e $2 x y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.3.7.1

Riordina $y^{2}$ e $x$ .

$x y^{2} + 2 x y^{2} + x^{2} y + 2 x y + \frac{d g}{d y} = x y (x + 3 y + 2)$

Passaggio 8.5.3.7.2

Somma $x y^{2}$ e $2 x y^{2}$ .

$3 x y^{2} + x^{2} y + 2 x y + \frac{d g}{d y} = x y (x + 3 y + 2)$

Passaggio 8.5.4

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x + x^{2} y + 2 x y = x y (x + 3 y + 2)$

Passaggio 9

Risolvi per $\frac{d g}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Risolvi per $\frac{d g}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Semplifica $x y (x + 3 y + 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1.1

Riscrivi.

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x + x^{2} y + 2 x y = 0 + 0 + x y (x + 3 y + 2)$

Passaggio 9.1.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x + x^{2} y + 2 x y = x y (x + 3 y + 2)$

Passaggio 9.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x + x^{2} y + 2 x y = x y x + x y (3 y) + x y \cdot 2$

Passaggio 9.1.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1.4.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1.4.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x + x^{2} y + 2 x y = x \cdot x y + x y (3 y) + x y \cdot 2$

Passaggio 9.1.1.4.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x + x^{2} y + 2 x y = x^{2} y + x y (3 y) + x y \cdot 2$

Passaggio 9.1.1.4.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x + x^{2} y + 2 x y = x^{2} y + 3 x y \cdot y + x y \cdot 2$

Passaggio 9.1.1.4.3

Sposta $2$ alla sinistra di $x y$ .

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x + x^{2} y + 2 x y = x^{2} y + 3 x y \cdot y + 2 \cdot (x y)$

Passaggio 9.1.1.5

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1.5.1

Sposta $y$ .

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x + x^{2} y + 2 x y = x^{2} y + 3 x (y \cdot y) + 2 \cdot (x y)$

Passaggio 9.1.1.5.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x + x^{2} y + 2 x y = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 \cdot (x y)$

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x + x^{2} y + 2 x y = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y$

Passaggio 9.1.2

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d g}{d y}$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 9.1.2.1

Sottrai $3 y^{2} x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y + 2 x y = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y - 3 y^{2} x$

Passaggio 9.1.2.2

Sottrai $x^{2} y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d y} + 2 x y = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y - 3 y^{2} x - x^{2} y$

Passaggio 9.1.2.3

Sottrai $2 x y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d y} = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y - 3 y^{2} x - x^{2} y - 2 x y$

Passaggio 9.1.2.4

Combina i termini opposti in $x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y - 3 y^{2} x - x^{2} y - 2 x y$ .

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Passaggio 9.1.2.4.1

Riordina i fattori nei termini di $3 x y^{2}$ e $- 3 y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d y} = x^{2} y + 3 y^{2} x + 2 x y - 3 y^{2} x - x^{2} y - 2 x y$

Passaggio 9.1.2.4.2

Sottrai $3 y^{2} x$ da $3 y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d y} = x^{2} y + 2 x y + 0 - x^{2} y - 2 x y$

Passaggio 9.1.2.4.3

Somma $x^{2} y + 2 x y$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = x^{2} y + 2 x y - x^{2} y - 2 x y$

Passaggio 9.1.2.4.4

Sottrai $x^{2} y$ da $x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 x y + 0 - 2 x y$

Passaggio 9.1.2.4.5

Somma $2 x y$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 x y - 2 x y$

Passaggio 9.1.2.4.6

Sottrai $2 x y$ da $2 x y$ .

$\frac{d g}{d y} = 0$

Passaggio 10

Trova l'antiderivata di $0$ per trovare $g (y)$ .

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Passaggio 10.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d y} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

Passaggio 10.2

Calcola $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 0 d y$

Passaggio 10.3

L'integrale di $0$ rispetto a $y$ è $0$ .

$g (y) = 0 + C$

Passaggio 10.4

Somma $0$ e $C$ .

$g (y) = C$

Passaggio 11

Sostituisci a $g (y)$ in $f (x, y) = y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + y x + x) + g (y)$ .

$f (x, y) = y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + y x + x) + C$

Passaggio 12

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 12.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$f (x, y) = y^{2} (\frac{x^{2}}{2} + y x + x) + C$

Passaggio 12.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (x, y) = y^{2} \frac{x^{2}}{2} + y^{2} (y x) + y^{2} x + C$

Passaggio 12.3

Semplifica.

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Passaggio 12.3.1

$y^{2}$ e $\frac{x^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + y^{2} (y x) + y^{2} x + C$

Passaggio 12.3.2

Moltiplica $y^{2}$ per $y$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 12.3.2.1

Sposta $y$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + y \cdot y^{2} x + y^{2} x + C$

Passaggio 12.3.2.2

Moltiplica $y$ per $y^{2}$ .

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Passaggio 12.3.2.2.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + y^{1} y^{2} x + y^{2} x + C$

Passaggio 12.3.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + y^{1 + 2} x + y^{2} x + C$

Passaggio 12.3.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + y^{3} x + y^{2} x + C$