Calcolo Esempi

$2 x d y = (x + y) d x$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale per adattarla alla tecnica di equazione differenziale esatta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sottrai $(x + y) d x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x d y - (x + y) d x = 0$

Passaggio 1.2

Riscrivi.

$- (x + y) d x + 2 x d y = 0$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = - (x + y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- (x + y)]$

Passaggio 2.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- (x + y)$ rispetto a $y$ è $- \frac{d}{d y} [x + y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [x + y]$

Passaggio 2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + y$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y])$

Passaggio 2.4

Poiché $x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $x$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (0 + \frac{d}{d y} [y])$

Passaggio 2.5

Somma $0$ e $\frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1 \cdot 1$

Passaggio 2.7

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1$

Passaggio 3

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 3.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \cdot 1$

Passaggio 3.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2$

Passaggio 4

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $- 1$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $2$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$- 1 = 2$

Passaggio 4.2

Poiché il lato sinistro non è uguale al lato destro, l'equazione non è un'identità.

$- 1 = 2$ non è un'identità.

Passaggio 5

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci $- 1$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 1 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Passaggio 5.2

Sostituisci $2$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 1 - 2}{N}$

Passaggio 5.3

Sostituisci $2 x$ a $N$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Sostituisci $2 x$ a $N$ .

$\frac{- 1 - 2}{2 x}$

Passaggio 5.3.2

Sottrai $2$ da $- 1$ .

$\frac{- 3}{2 x}$

Passaggio 5.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{3}{2 x}$

Passaggio 5.4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{2 x} d x}$

Passaggio 6

Valuta l'integrale $e^{\int - \frac{3}{2 x} d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{2 x} d x}$

Passaggio 6.2

Poiché $\frac{3}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{3}{2}$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- (\frac{3}{2} \int \frac{1}{x} d x)}$

Passaggio 6.3

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- \frac{3}{2} (\ln (| x |) + C)}$

Passaggio 6.4

Semplifica.

$μ (x, y) = e^{- \frac{3}{2} \ln (| x |)} + C$

Passaggio 6.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Moltiplica $- \frac{3}{2} \ln (| x |)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1.1

Riordina $\ln (| x |)$ e $\frac{3}{2}$ .

$μ (x, y) = e^{- (\frac{3}{2} \ln (| x |))} + C$

Passaggio 6.5.1.2

Semplifica $\frac{3}{2} \ln (| x |)$ spostando $\frac{3}{2}$ all'interno del logaritmo.

$μ (x, y) = e^{- \ln ({| x |}^{\frac{3}{2}})} + C$

Passaggio 6.5.2

Semplifica $- \ln ({| x |}^{\frac{3}{2}})$ spostando $- 1$ all'interno del logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({({| x |}^{\frac{3}{2}})}^{- 1})} + C$

Passaggio 6.5.3

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$μ (x, y) = {({| x |}^{\frac{3}{2}})}^{- 1} + C$

Passaggio 6.5.4

Moltiplica gli esponenti in ${({| x |}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.4.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$μ (x, y) = {| x |}^{\frac{3}{2} \cdot - 1} + C$

Passaggio 6.5.4.2

Moltiplica $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.4.2.1

$\frac{3}{2}$ e $- 1$ .

$μ (x, y) = {| x |}^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} + C$

Passaggio 6.5.4.2.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$μ (x, y) = {| x |}^{\frac{- 3}{2}} + C$

Passaggio 6.5.4.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$μ (x, y) = {| x |}^{- \frac{3}{2}} + C$

Passaggio 6.5.5

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| x |}^{\frac{3}{2}}} + C$

Passaggio 7

Moltiplica entrambi i lati di $- (x + y) d x + 2 x d y = 0$ per il fattore di integrazione $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Moltiplica $- (x + y)$ per $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

$- (x + y) \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} d x + 2 x d y = 0$

Passaggio 7.2

Applica la proprietà distributiva.

$(- x - y) \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} d x + 2 x d y = 0$

Passaggio 7.3

Moltiplica $- x - y$ per $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{- x - y}{x^{\frac{3}{2}}} d x + 2 x d y = 0$

Passaggio 7.4

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$\frac{- (x) - y}{x^{\frac{3}{2}}} d x + 2 x d y = 0$

Passaggio 7.5

Scomponi $- 1$ da $- y$ .

$\frac{- (x) - (y)}{x^{\frac{3}{2}}} d x + 2 x d y = 0$

Passaggio 7.6

Scomponi $- 1$ da $- (x) - (y)$ .

$\frac{- (x + y)}{x^{\frac{3}{2}}} d x + 2 x d y = 0$

Passaggio 7.7

Riscrivi $- (x + y)$ come $- 1 (x + y)$ .

$\frac{- 1 (x + y)}{x^{\frac{3}{2}}} d x + 2 x d y = 0$

Passaggio 7.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}} d x + 2 x d y = 0$

Passaggio 7.9

Moltiplica $2 x$ per $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}} d x + 2 x \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

Passaggio 7.10

Moltiplica $2 x \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.10.1

$2$ e $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}} d x + x \frac{2}{x^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

Passaggio 7.10.2

$x$ e $\frac{2}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}} d x + \frac{x \cdot 2}{x^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

Passaggio 7.11

Sposta $x^{1}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$- \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}} d x + \frac{2}{x^{\frac{3}{2}} x^{- 1}} d y = 0$

Passaggio 7.12

Moltiplica $x^{\frac{3}{2}}$ per $x^{- 1}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.12.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}} d x + \frac{2}{x^{\frac{3}{2} - 1}} d y = 0$

Passaggio 7.12.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}} d x + \frac{2}{x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}} d y = 0$

Passaggio 7.12.3

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}} d x + \frac{2}{x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}} d y = 0$

Passaggio 7.12.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}} d x + \frac{2}{x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}} d y = 0$

Passaggio 7.12.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.12.5.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}} d x + \frac{2}{x^{\frac{3 - 2}{2}}} d y = 0$

Passaggio 7.12.5.2

Sottrai $2$ da $3$ .

$- \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}} d x + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} d y = 0$

Passaggio 8

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} d y$

Passaggio 9

Integra $N (x, y) = \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ per trovare $f (x, y)$ .

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Passaggio 9.1

Applica la regola costante.

$f (x, y) = \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} y + C$

Passaggio 9.2

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ e $y$ .

$f (x, y) = \frac{2 y}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

Passaggio 10

Poiché l'integrale di $g (x)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{2 y}{x^{\frac{1}{2}}} + g (x)$

Passaggio 11

Imposta $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 12

Trova $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Differenzia $f$ rispetto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 y}{x^{\frac{1}{2}}} + g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 12.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{2 y}{x^{\frac{1}{2}}} + g (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{2 y}{x^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 y}{x^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 12.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{2 y}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.1

Poiché $2 y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2 y}{x^{\frac{1}{2}}}$ rispetto a $x$ è $2 y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$2 y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 12.3.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ come ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$2 y \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 12.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 12.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 y (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 12.3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$2 y (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 12.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 y (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 12.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$2 y (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 12.3.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 y (- x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 12.3.5.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.5.2.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$2 y (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 12.3.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$2 y (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 12.3.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$2 y (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 12.3.6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$2 y (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 12.3.7

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 y (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 12.3.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 y (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 12.3.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.9.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$2 y (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 12.3.9.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$2 y (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 12.3.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$2 y (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 12.3.11

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 y (- x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 12.3.12

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $x^{- 1}$ .

$2 y (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 12.3.13

Moltiplica $x^{- \frac{1}{2}}$ per $x^{- 1}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.13.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 y (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 12.3.13.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$2 y (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 12.3.13.3

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 y (- \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 12.3.13.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 y (- \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 12.3.13.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.13.5.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$2 y (- \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 12.3.13.5.2

Sottrai $2$ da $- 1$ .

$2 y (- \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 12.3.13.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$2 y (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 12.3.14

Sposta $x^{- \frac{3}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 y (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 12.3.15

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 y \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 12.3.16

$- 2$ e $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$y \frac{- 2}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 12.3.17

$y$ e $\frac{- 2}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{y \cdot - 2}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 12.3.18

Sposta $- 2$ alla sinistra di $y$ .

$\frac{- 2 \cdot y}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 12.3.19

Scomponi $2$ da $- 2 y$ .

$\frac{2 (- y)}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 12.3.20

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 12.3.20.1

Scomponi $2$ da $2 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 (- y)}{2 (x^{\frac{3}{2}})} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 12.3.20.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (- y)}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 12.3.20.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- y}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 12.3.21

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{y}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 12.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (x)$ è $\frac{d g}{d x}$ .

$- \frac{y}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d g}{d x} = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 12.5

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d x} - \frac{y}{x^{\frac{3}{2}}} = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 13

Risolvi per $\frac{d g}{d x}$ .

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Passaggio 13.1

Risolvi per $\frac{d g}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Semplifica $\frac{d g}{d x} - \frac{y}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

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Passaggio 13.1.1.1

Semplifica i termini.

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Passaggio 13.1.1.1.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y + x + y}{x^{\frac{3}{2}}} = 0$

Passaggio 13.1.1.1.2

Combina i termini opposti in $- y + x + y$ .

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Passaggio 13.1.1.1.2.1

Somma $- y$ e $y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x + 0}{x^{\frac{3}{2}}} = 0$

Passaggio 13.1.1.1.2.2

Somma $x$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x}{x^{\frac{3}{2}}} = 0$

Passaggio 13.1.1.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 13.1.1.2.1

Sposta $x^{1}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}} x^{- 1}} = 0$

Passaggio 13.1.1.2.2

Moltiplica $x^{\frac{3}{2}}$ per $x^{- 1}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 13.1.1.2.2.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d g}{d x} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2} - 1}} = 0$

Passaggio 13.1.1.2.2.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}} = 0$

Passaggio 13.1.1.2.2.3

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}} = 0$

Passaggio 13.1.1.2.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d g}{d x} + \frac{1}{x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}} = 0$

Passaggio 13.1.1.2.2.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 13.1.1.2.2.5.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{1}{x^{\frac{3 - 2}{2}}} = 0$

Passaggio 13.1.1.2.2.5.2

Sottrai $2$ da $3$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Passaggio 13.1.2

Sottrai $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 14

Trova l'antiderivata di $- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ per trovare $g (x)$ .

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Passaggio 14.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d x} = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Passaggio 14.2

Calcola $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Passaggio 14.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$g (x) = - \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Passaggio 14.4

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$g (x) = - \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Passaggio 14.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 14.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (x) = - \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Passaggio 14.5.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$g (x) = - \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Passaggio 14.5.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$g (x) = - \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 14.6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$g (x) = - (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

Passaggio 14.7

Semplifica la risposta.

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Passaggio 14.7.1

Riscrivi $- (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$ come $- 1 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$ .

$g (x) = - 1 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 14.7.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$g (x) = - 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 15

Sostituisci a $g (x)$ in $f (x, y) = \frac{2 y}{x^{\frac{1}{2}}} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{2 y}{x^{\frac{1}{2}}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + C$