Calcolo Esempi

$x (v^{2} - 1) d v + (v^{3} - 3 v) d x = 0$

Passaggio 1

Sottrai $(v^{3} - 3 v) d x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x (v^{2} - 1) d v = - (v^{3} - 3 v) d x$

Passaggio 2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{x (v^{3} - 3 v)}$ .

$\frac{1}{x (v^{3} - 3 v)} (x (v^{2} - 1)) d v = \frac{1}{x (v^{3} - 3 v)} (- (v^{3} - 3 v)) d x$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{x (v^{3} - 3 v)} (x (v^{2} - 1)) d v = \frac{1}{x (v^{3} - 3 v)} (- (v^{3} - 3 v)) d x$

Passaggio 3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{v^{3} - 3 v} (v^{2} - 1) d v = \frac{1}{x (v^{3} - 3 v)} (- (v^{3} - 3 v)) d x$

Passaggio 3.2

Scomponi $v$ da $v^{3} - 3 v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Scomponi $v$ da $v^{3}$ .

$\frac{1}{v \cdot v^{2} - 3 v} (v^{2} - 1) d v = \frac{1}{x (v^{3} - 3 v)} (- (v^{3} - 3 v)) d x$

Passaggio 3.2.2

Scomponi $v$ da $- 3 v$ .

$\frac{1}{v \cdot v^{2} + v \cdot - 3} (v^{2} - 1) d v = \frac{1}{x (v^{3} - 3 v)} (- (v^{3} - 3 v)) d x$

Passaggio 3.2.3

Scomponi $v$ da $v \cdot v^{2} + v \cdot - 3$ .

$\frac{1}{v (v^{2} - 3)} (v^{2} - 1) d v = \frac{1}{x (v^{3} - 3 v)} (- (v^{3} - 3 v)) d x$

Passaggio 3.3

Moltiplica $\frac{1}{v (v^{2} - 3)}$ per $v^{2} - 1$ .

$\frac{v^{2} - 1}{v (v^{2} - 3)} d v = \frac{1}{x (v^{3} - 3 v)} (- (v^{3} - 3 v)) d x$

Passaggio 3.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{v^{2} - 1^{2}}{v (v^{2} - 3)} d v = \frac{1}{x (v^{3} - 3 v)} (- (v^{3} - 3 v)) d x$

Passaggio 3.4.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = v$ e $b = 1$ .

$\frac{(v + 1) (v - 1)}{v (v^{2} - 3)} d v = \frac{1}{x (v^{3} - 3 v)} (- (v^{3} - 3 v)) d x$

Passaggio 3.5

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{(v + 1) (v - 1)}{v (v^{2} - 3)} d v = - \frac{1}{x (v^{3} - 3 v)} (v^{3} - 3 v) d x$

Passaggio 3.6

Elimina il fattore comune di $v^{3} - 3 v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{x (v^{3} - 3 v)}$ nel numeratore.

$\frac{(v + 1) (v - 1)}{v (v^{2} - 3)} d v = \frac{- 1}{x (v^{3} - 3 v)} (v^{3} - 3 v) d x$

Passaggio 3.6.2

Scomponi $v^{3} - 3 v$ da $x (v^{3} - 3 v)$ .

$\frac{(v + 1) (v - 1)}{v (v^{2} - 3)} d v = \frac{- 1}{(v^{3} - 3 v) x} (v^{3} - 3 v) d x$

Passaggio 3.6.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{(v + 1) (v - 1)}{v (v^{2} - 3)} d v = \frac{- 1}{(v^{3} - 3 v) x} (v^{3} - 3 v) d x$

Passaggio 3.6.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(v + 1) (v - 1)}{v (v^{2} - 3)} d v = \frac{- 1}{x} d x$

Passaggio 3.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{(v + 1) (v - 1)}{v (v^{2} - 3)} d v = - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{(v + 1) (v - 1)}{v (v^{2} - 3)} d v = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1.1

Per ogni fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore è di 2° ordine, sono necessari $2$ termini nel numeratore. Il numero di termini richiesti nel numeratore è sempre uguale all'ordine del fattore nel denominatore.

$\frac{A}{v} + \frac{B v + C}{v^{2} - 3}$

Passaggio 4.2.1.1.2

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $v (v^{2} - 3)$ .

$\frac{(v + 1) (v - 1) (v (v^{2} - 3))}{v (v^{2} - 3)} = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

Passaggio 4.2.1.1.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1.3.1

Elimina il fattore comune di $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(v + 1) (v - 1) (v (v^{2} - 3))}{v (v^{2} - 3)} = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

Passaggio 4.2.1.1.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(v + 1) (v - 1) (v^{2} - 3)}{v^{2} - 3} = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

Passaggio 4.2.1.1.3.2

Elimina il fattore comune di $v^{2} - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(v + 1) (v - 1) (v^{2} - 3)}{v^{2} - 3} = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

Passaggio 4.2.1.1.3.2.2

Dividi $(v + 1) (v - 1)$ per $1$ .

$(v + 1) (v - 1) = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

Passaggio 4.2.1.1.4

Espandi $(v + 1) (v - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$v (v - 1) + 1 (v - 1) = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

Passaggio 4.2.1.1.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$v \cdot v + v \cdot - 1 + 1 (v - 1) = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

Passaggio 4.2.1.1.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$v \cdot v + v \cdot - 1 + 1 v + 1 \cdot - 1 = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

Passaggio 4.2.1.1.5

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1.5.1.1

Moltiplica $v$ per $v$ .

$v^{2} + v \cdot - 1 + 1 v + 1 \cdot - 1 = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

Passaggio 4.2.1.1.5.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $v$ .

$v^{2} - 1 \cdot v + 1 v + 1 \cdot - 1 = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

Passaggio 4.2.1.1.5.1.3

Riscrivi $- 1 v$ come $- v$ .

$v^{2} - v + 1 v + 1 \cdot - 1 = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

Passaggio 4.2.1.1.5.1.4

Moltiplica $v$ per $1$ .

$v^{2} - v + v + 1 \cdot - 1 = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

Passaggio 4.2.1.1.5.1.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$v^{2} - v + v - 1 = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

Passaggio 4.2.1.1.5.2

Somma $- v$ e $v$ .

$v^{2} + 0 - 1 = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

Passaggio 4.2.1.1.5.3

Somma $v^{2}$ e $0$ .

$v^{2} - 1 = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

Passaggio 4.2.1.1.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1.6.1

Elimina il fattore comune di $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1.6.1.1

Elimina il fattore comune.

$v^{2} - 1 = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

Passaggio 4.2.1.1.6.1.2

Dividi $A (v^{2} - 3)$ per $1$ .

$v^{2} - 1 = A (v^{2} - 3) + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

Passaggio 4.2.1.1.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$v^{2} - 1 = A v^{2} + A \cdot - 3 + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

Passaggio 4.2.1.1.6.3

Sposta $- 3$ alla sinistra di $A$ .

$v^{2} - 1 = A v^{2} - 3 \cdot A + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

Passaggio 4.2.1.1.6.4

Elimina il fattore comune di $v^{2} - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$v^{2} - 1 = A v^{2} - 3 A + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

Passaggio 4.2.1.1.6.4.2

Dividi $(B v + C) (v)$ per $1$ .

$v^{2} - 1 = A v^{2} - 3 A + (B v + C) (v)$

Passaggio 4.2.1.1.6.5

Applica la proprietà distributiva.

$v^{2} - 1 = A v^{2} - 3 A + B v \cdot v + C v$

Passaggio 4.2.1.1.6.6

Moltiplica $v$ per $v$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1.6.6.1

Sposta $v$ .

$v^{2} - 1 = A v^{2} - 3 A + B (v \cdot v) + C v$

Passaggio 4.2.1.1.6.6.2

Moltiplica $v$ per $v$ .

$v^{2} - 1 = A v^{2} - 3 A + B v^{2} + C v$

Passaggio 4.2.1.1.7

Sposta $- 3 A$ .

$v^{2} - 1 = A v^{2} + B v^{2} + C v - 3 A$

Passaggio 4.2.1.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $v^{2}$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = A + B$

Passaggio 4.2.1.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $v$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = C$

Passaggio 4.2.1.2.3

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $v$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$- 1 = - 3 A$

Passaggio 4.2.1.2.4

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$1 = A + B$

$0 = C$

$- 1 = - 3 A$

$1 = A + B$

$0 = C$

$- 1 = - 3 A$

Passaggio 4.2.1.3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.3.1

Riscrivi l'equazione come $C = 0$ .

$C = 0$

$1 = A + B$

$- 1 = - 3 A$

Passaggio 4.2.1.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ con $0$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.3.2.1

Riscrivi l'equazione come $- 3 A = - 1$ .

$- 3 A = - 1$

$C = 0$

$1 = A + B$

Passaggio 4.2.1.3.2.2

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 A = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.3.2.2.1

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 A = - 1$ .

$\frac{- 3 A}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

Passaggio 4.2.1.3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.3.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.3.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 3 A}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

Passaggio 4.2.1.3.2.2.2.1.2

Dividi $A$ per $1$ .

$A = \frac{- 1}{- 3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

$A = \frac{- 1}{- 3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

$A = \frac{- 1}{- 3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

Passaggio 4.2.1.3.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.3.2.2.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

Passaggio 4.2.1.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $\frac{1}{3}$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.3.3.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $1 = A + B$ con $\frac{1}{3}$ .

$1 = (\frac{1}{3}) + B$

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

Passaggio 4.2.1.3.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.3.3.2.1

Rimuovi le parentesi.

$1 = \frac{1}{3} + B$

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

$1 = \frac{1}{3} + B$

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

$1 = \frac{1}{3} + B$

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

Passaggio 4.2.1.3.4

Risolvi per $B$ in $1 = \frac{1}{3} + B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.3.4.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{1}{3} + B = 1$ .

$\frac{1}{3} + B = 1$

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

Passaggio 4.2.1.3.4.2

Sposta tutti i termini non contenenti $B$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.3.4.2.1

Sottrai $\frac{1}{3}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$B = 1 - \frac{1}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

Passaggio 4.2.1.3.4.2.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$B = \frac{3}{3} - \frac{1}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

Passaggio 4.2.1.3.4.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$B = \frac{3 - 1}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

Passaggio 4.2.1.3.4.2.4

Sottrai $1$ da $3$ .

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

Passaggio 4.2.1.3.5

Risolvi il sistema di equazioni.

$B = \frac{2}{3} A = \frac{1}{3} C = 0$

Passaggio 4.2.1.3.6

Elenca tutte le soluzioni.

$B = \frac{2}{3}, A = \frac{1}{3}, C = 0$

Passaggio 4.2.1.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{v} + \frac{B v + C}{v^{2} - 3}$ con i valori trovati per $A$ , $B$ e $C$ .

$\frac{\frac{1}{3}}{v} + \frac{\frac{2}{3 v} + 0}{v^{2} - 3}$

Passaggio 4.2.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.5.1

Rimuovi le parentesi.

$\frac{\frac{1}{3}}{v} + \frac{(\frac{2}{3}) v + 0}{v^{2} - 3}$

Passaggio 4.2.1.5.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.5.2.1

$\frac{2}{3}$ e $v$ .

$\frac{\frac{1}{3}}{v} + \frac{\frac{2 v}{3} + 0}{v^{2} - 3}$

Passaggio 4.2.1.5.2.2

Somma $\frac{2 v}{3}$ e $0$ .

$\frac{\frac{1}{3}}{v} + \frac{\frac{2 v}{3}}{v^{2} - 3}$

Passaggio 4.2.1.5.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{\frac{1}{3}}{v} + \frac{2 v}{3} \cdot \frac{1}{v^{2} - 3}$

Passaggio 4.2.1.5.4

Moltiplica $\frac{2 v}{3}$ per $\frac{1}{v^{2} - 3}$ .

$\frac{\frac{1}{3}}{v} + \frac{2 v}{3 (v^{2} - 3)}$

Passaggio 4.2.1.5.5

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{v} + \frac{2 v}{3 (v^{2} - 3)}$

Passaggio 4.2.1.5.6

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{1}{v}$ .

$\int \frac{1}{3 v} + \frac{2 v}{3 (v^{2} - 3)} d v = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.2.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{1}{3 v} d v + \int \frac{2 v}{3 (v^{2} - 3)} d v = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.2.3

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $v$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{v} d v + \int \frac{2 v}{3 (v^{2} - 3)} d v = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.2.4

L'integrale di $\frac{1}{v}$ rispetto a $v$ è $\ln (| v |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| v |) + C_{1}) + \int \frac{2 v}{3 (v^{2} - 3)} d v = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.2.5

Poiché $\frac{2}{3}$ è costante rispetto a $v$ , sposta $\frac{2}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} (\ln (| v |) + C_{1}) + \frac{2}{3} \int \frac{v}{v^{2} - 3} d v = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.2.6

Sia $u = v^{2} - 3$ . Allora $d u = 2 v d v$ , quindi $\frac{1}{2} d u = v d v$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.6.1

Sia $u = v^{2} - 3$ . Trova $\frac{d u}{d v}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.6.1.1

Differenzia $v^{2} - 3$ .

$\frac{d}{d v} [v^{2} - 3]$

Passaggio 4.2.6.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $v^{2} - 3$ rispetto a $v$ è $\frac{d}{d v} [v^{2}] + \frac{d}{d v} [- 3]$ .

$\frac{d}{d v} [v^{2}] + \frac{d}{d v} [- 3]$

Passaggio 4.2.6.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ è $n v^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 v + \frac{d}{d v} [- 3]$

Passaggio 4.2.6.1.4

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $v$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $v$ è $0$ .

$2 v + 0$

Passaggio 4.2.6.1.5

Somma $2 v$ e $0$ .

$2 v$

Passaggio 4.2.6.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| v |) + C_{1}) + \frac{2}{3} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.2.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.7.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| v |) + C_{1}) + \frac{2}{3} \int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.2.7.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| v |) + C_{1}) + \frac{2}{3} \int \frac{1}{2 u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.2.8

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} (\ln (| v |) + C_{1}) + \frac{2}{3} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.2.9

Semplifica.

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Passaggio 4.2.9.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| v |) + C_{1}) + \frac{2}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.2.9.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| v |) + C_{1}) + \frac{2}{6} \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.2.9.3

Elimina il fattore comune di $2$ e $6$ .

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Passaggio 4.2.9.3.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| v |) + C_{1}) + \frac{2 (1)}{6} \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.2.9.3.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 4.2.9.3.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| v |) + C_{1}) + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.2.9.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{3} (\ln (| v |) + C_{1}) + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.2.9.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{3} (\ln (| v |) + C_{1}) + \frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.2.10

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| v |) + C_{1}) + \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{2}) = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.2.11

Semplifica.

$\frac{1}{3} \ln (| v |) + \frac{1}{3} \ln (| u |) + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.2.12

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $v^{2} - 3$ .

$\frac{1}{3} \ln (| v |) + \frac{1}{3} \ln (| v^{2} - 3 |) + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 4.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} \ln (| v |) + \frac{1}{3} \ln (| v^{2} - 3 |) + C_{3} = - \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.3.2

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{3} \ln (| v |) + \frac{1}{3} \ln (| v^{2} - 3 |) + C_{3} = - (\ln (| x |) + C_{4})$

Passaggio 4.3.3

Semplifica.

$\frac{1}{3} \ln (| v |) + \frac{1}{3} \ln (| v^{2} - 3 |) + C_{3} = - \ln (| x |) + C_{4}$

Passaggio 4.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\frac{1}{3} \ln (| v |) + \frac{1}{3} \ln (| v^{2} - 3 |) = - \ln (| x |) + C$