Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 (3 - y)}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{3 - y}$ .

$\frac{1}{3 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 - y} \cdot \frac{4 (3 - y)}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $3 - y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Scomponi $3 - y$ da $4 (3 - y)$ .

$\frac{1}{3 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 - y} \cdot \frac{(3 - y) \cdot 4}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{3 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 - y} \cdot \frac{(3 - y) \cdot 4}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{3 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{4}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{3 - y} d y = \frac{4}{{(1 - x)}^{2}} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{3 - y} d y = \int \frac{4}{{(1 - x)}^{2}} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sia $u_{1} = 3 - y$ . Allora $d u_{1} = - d y$ , quindi $- d u_{1} = d y$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Sia $u_{1} = 3 - y$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Riscrivi.

$\frac{- 1}{1}$

Passaggio 2.2.1.1.2

Dividi $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{- 1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{4}{{(1 - x)}^{2}} d x$

Passaggio 2.2.2

Suddividi la frazione in frazioni multiple.

$\int - \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{4}{{(1 - x)}^{2}} d x$

Passaggio 2.2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{4}{{(1 - x)}^{2}} d x$

Passaggio 2.2.4

L'integrale di $\frac{1}{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $\ln (| u_{1} |)$ .

$- (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{4}{{(1 - x)}^{2}} d x$

Passaggio 2.2.5

Semplifica.

$- \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{4}{{(1 - x)}^{2}} d x$

Passaggio 2.2.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $3 - y$ .

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = \int \frac{4}{{(1 - x)}^{2}} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = 4 \int \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} d x$

Passaggio 2.3.2

Sia $u_{2} = 1 - x$ . Allora $d u_{2} = - d x$ , quindi $- d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Sia $u_{2} = 1 - x$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Riscrivi.

$\frac{- 1}{1}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Dividi $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 2.3.2.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = 4 \int \frac{- 1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Passaggio 2.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = 4 \int - \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Passaggio 2.3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = 4 (- \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2})$

Passaggio 2.3.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = - 4 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Passaggio 2.3.5.2

Sposta ${u_{2}}^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = - 4 \int {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

Passaggio 2.3.5.3

Moltiplica gli esponenti in ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = - 4 \int {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

Passaggio 2.3.5.3.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = - 4 \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Passaggio 2.3.6

Secondo la regola della potenza, l'intero di ${u_{2}}^{- 2}$ rispetto a $u_{2}$ è $- {u_{2}}^{- 1}$ .

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = - 4 (- {u_{2}}^{- 1} + C_{2})$

Passaggio 2.3.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.1

Riscrivi $- 4 (- {u_{2}}^{- 1} + C_{2})$ come $- 4 (- \frac{1}{u_{2}}) + C_{2}$ .

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = - 4 (- \frac{1}{u_{2}}) + C_{2}$

Passaggio 2.3.7.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = 4 \frac{1}{u_{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.7.2.2

$4$ e $\frac{1}{u_{2}}$ .

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = \frac{4}{u_{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $1 - x$ .

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = \frac{4}{1 - x} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$- \ln (| 3 - y |) = \frac{4}{1 - x} + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \ln (| 3 - y |) = \frac{4}{1 - x} + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \ln (| 3 - y |) = \frac{4}{1 - x} + C$ .

$\frac{- \ln (| 3 - y |)}{- 1} = \frac{\frac{4}{1 - x}}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\ln (| 3 - y |)}{1} = \frac{\frac{4}{1 - x}}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Passaggio 3.1.2.2

Dividi $\ln (| 3 - y |)$ per $1$ .

$\ln (| 3 - y |) = \frac{\frac{4}{1 - x}}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Passaggio 3.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\ln (| 3 - y |) = \frac{\frac{4}{1 - x} + C}{- 1}$

Passaggio 3.1.3.2

Per scrivere $C$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$\ln (| 3 - y |) = \frac{\frac{4}{1 - x} + \frac{C (1 - x)}{1 - x}}{- 1}$

Passaggio 3.1.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\ln (| 3 - y |) = \frac{\frac{4 + C (1 - x)}{1 - x}}{- 1}$

Passaggio 3.1.3.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (| 3 - y |) = \frac{\frac{4 + C \cdot 1 + C (- x)}{1 - x}}{- 1}$

Passaggio 3.1.3.4.2

Moltiplica $C$ per $1$ .

$\ln (| 3 - y |) = \frac{\frac{4 + C + C (- x)}{1 - x}}{- 1}$

Passaggio 3.1.3.4.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\ln (| 3 - y |) = \frac{\frac{4 + C - C x}{1 - x}}{- 1}$

Passaggio 3.1.3.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.5.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{\frac{4 + C - C x}{1 - x}}{- 1}$ .

$\ln (| 3 - y |) = - 1 \cdot \frac{4 + C - C x}{1 - x}$

Passaggio 3.1.3.5.2

Riscrivi $- 1 \cdot \frac{4 + C - C x}{1 - x}$ come $- \frac{4 + C - C x}{1 - x}$ .

$\ln (| 3 - y |) = - \frac{4 + C - C x}{1 - x}$

Passaggio 3.2

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| 3 - y |)} = e^{- \frac{4 + C - C x}{1 - x}}$

Passaggio 3.3

Riscrivi $\ln (| 3 - y |) = - \frac{4 + C - C x}{1 - x}$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{4 + C - C x}{1 - x}} = | 3 - y |$

Passaggio 3.4

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Riscrivi l'equazione come $| 3 - y | = e^{- \frac{4 + C - C x}{1 - x}}$ .

$| 3 - y | = e^{- \frac{4 + C - C x}{1 - x}}$

Passaggio 3.4.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$3 - y = \pm e^{- \frac{4 + C - C x}{1 - x}}$

Passaggio 3.4.3

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- y = \pm e^{- \frac{4 + C - C x}{1 - x}} - 3$

Passaggio 3.4.3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.2.1

Dividi la frazione $\frac{4 + C - C x}{1 - x}$ in due frazioni.

$- y = \pm e^{- (\frac{4 + C}{1 - x} + \frac{- C x}{1 - x})} - 3$

Passaggio 3.4.3.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.2.2.1

Dividi la frazione $\frac{4 + C}{1 - x}$ in due frazioni.

$- y = \pm e^{- (\frac{4}{1 - x} + \frac{C}{1 - x} + \frac{- C x}{1 - x})} - 3$

Passaggio 3.4.3.2.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- y = \pm e^{- (\frac{4}{1 - x} + \frac{C}{1 - x} - \frac{C x}{1 - x})} - 3$

Passaggio 3.4.3.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$- y = \pm e^{- \frac{4}{1 - x} - \frac{C}{1 - x} - - \frac{C x}{1 - x}} - 3$

Passaggio 3.4.3.2.4

Moltiplica $- - \frac{C x}{1 - x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.2.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- y = \pm e^{- \frac{4}{1 - x} - \frac{C}{1 - x} + 1 \frac{C x}{1 - x}} - 3$

Passaggio 3.4.3.2.4.2

Moltiplica $\frac{C x}{1 - x}$ per $1$ .

$- y = \pm e^{- \frac{4}{1 - x} - \frac{C}{1 - x} + \frac{C x}{1 - x}} - 3$

Passaggio 3.4.4

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- y = \pm e^{- \frac{4}{1 - x} - \frac{C}{1 - x} + \frac{C x}{1 - x}} - 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- y = \pm e^{- \frac{4}{1 - x} - \frac{C}{1 - x} + \frac{C x}{1 - x}} - 3$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\pm e^{- \frac{4}{1 - x} - \frac{C}{1 - x} + \frac{C x}{1 - x}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Passaggio 3.4.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{y}{1} = \frac{\pm e^{- \frac{4}{1 - x} - \frac{C}{1 - x} + \frac{C x}{1 - x}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Passaggio 3.4.4.2.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\pm e^{- \frac{4}{1 - x} - \frac{C}{1 - x} + \frac{C x}{1 - x}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Passaggio 3.4.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.3.1

Per scrivere $\frac{\pm e^{- \frac{4}{1 - x} - \frac{C}{1 - x} + \frac{C x}{1 - x}}}{- 1}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{\pm e^{- \frac{4}{1 - x} - \frac{C}{1 - x} + \frac{C x}{1 - x}}}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Passaggio 3.4.4.3.2

Per scrivere $\frac{- 3}{- 1}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{\pm e^{- \frac{4}{1 - x} - \frac{C}{1 - x} + \frac{C x}{1 - x}}}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1} + \frac{- 3}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 3.4.4.3.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $1$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.3.3.1

Moltiplica $\frac{\pm e^{- \frac{4}{1 - x} - \frac{C}{1 - x} + \frac{C x}{1 - x}}}{- 1}$ per $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{(\pm e^{- \frac{4}{1 - x} - \frac{C}{1 - x} + \frac{C x}{1 - x}}) \cdot - 1}{- - 1} + \frac{- 3}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 3.4.4.3.3.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y = \frac{(\pm e^{- \frac{4}{1 - x} - \frac{C}{1 - x} + \frac{C x}{1 - x}}) \cdot - 1}{1} + \frac{- 3}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 3.4.4.3.3.3

Moltiplica $\frac{- 3}{- 1}$ per $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{(\pm e^{- \frac{4}{1 - x} - \frac{C}{1 - x} + \frac{C x}{1 - x}}) \cdot - 1}{1} + \frac{- 3 \cdot - 1}{- - 1}$

Passaggio 3.4.4.3.3.4

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y = \frac{(\pm e^{- \frac{4}{1 - x} - \frac{C}{1 - x} + \frac{C x}{1 - x}}) \cdot - 1}{1} + \frac{- 3 \cdot - 1}{1}$

Passaggio 3.4.4.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{(\pm e^{- \frac{4}{1 - x} - \frac{C}{1 - x} + \frac{C x}{1 - x}}) \cdot - 1 - 3 \cdot - 1}{1}$

Passaggio 3.4.4.3.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.3.5.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{(\pm e^{\frac{- 4 - C}{1 - x} + \frac{C x}{1 - x}}) \cdot - 1 - 3 \cdot - 1}{1}$

Passaggio 3.4.4.3.5.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{(\pm e^{\frac{- 4 - C + C x}{1 - x}}) \cdot - 1 - 3 \cdot - 1}{1}$

Passaggio 3.4.4.3.5.3

Sposta $- 1$ alla sinistra di $\pm e^{\frac{- 4 - C + C x}{1 - x}}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot (\pm e^{\frac{- 4 - C + C x}{1 - x}}) - 3 \cdot - 1}{1}$

Passaggio 3.4.4.3.5.4

Riscrivi $- 1 (\pm e^{\frac{- 4 - C + C x}{1 - x}})$ come $- (\pm e^{\frac{- 4 - C + C x}{1 - x}})$ .

$y = \frac{- (\pm e^{\frac{- 4 - C + C x}{1 - x}}) - 3 \cdot - 1}{1}$

Passaggio 3.4.4.3.5.5

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$y = \frac{- (\pm e^{\frac{- 4 - C + C x}{1 - x}}) + 3}{1}$

Passaggio 3.4.4.3.6

Dividi $- (\pm e^{\frac{- 4 - C + C x}{1 - x}}) + 3$ per $1$ .

$y = - (\pm e^{\frac{- 4 - C + C x}{1 - x}}) + 3$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = - (\pm e^{\frac{C + C x}{1 - x}}) + 3$