Calcolo Esempi

$d x + e^{- 5 x} d y = 0$

Passaggio 1

Sottrai $d x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$e^{- 5 x} d y = - d x$

Passaggio 2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{e^{- 5 x}}$ .

$\frac{1}{e^{- 5 x}} e^{- 5 x} d y = \frac{1}{e^{- 5 x}} \cdot - 1 d x$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Elimina il fattore comune di $e^{- 5 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{e^{- 5 x}} e^{- 5 x} d y = \frac{1}{e^{- 5 x}} \cdot - 1 d x$

Passaggio 3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$1 d y = \frac{1}{e^{- 5 x}} \cdot - 1 d x$

Passaggio 3.2

$\frac{1}{e^{- 5 x}}$ e $- 1$ .

$1 d y = \frac{- 1}{e^{- 5 x}} d x$

Passaggio 3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$1 d y = - \frac{1}{e^{- 5 x}} d x$

Passaggio 4

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int - \frac{1}{e^{- 5 x}} d x$

Passaggio 4.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int - \frac{1}{e^{- 5 x}} d x$

Passaggio 4.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = - \int \frac{1}{e^{- 5 x}} d x$

Passaggio 4.3.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Nega l'esponente di $e^{- 5 x}$ e rimuovilo dal denominatore.

$y + C_{1} = - \int 1 {(e^{- 5 x})}^{- 1} d x$

Passaggio 4.3.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{- 5 x})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = - \int 1 e^{- 5 x \cdot - 1} d x$

Passaggio 4.3.2.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 5$ .

$y + C_{1} = - \int 1 e^{5 x} d x$

Passaggio 4.3.2.2.2

Moltiplica $e^{5 x}$ per $1$ .

$y + C_{1} = - \int e^{5 x} d x$

Passaggio 4.3.3

Sia $u = 5 x$ . Allora $d u = 5 d x$ , quindi $\frac{1}{5} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Sia $u = 5 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1.1

Differenzia $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Passaggio 4.3.3.1.2

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.3.3.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Passaggio 4.3.3.1.4

Moltiplica $5$ per $1$ .

$5$

Passaggio 4.3.3.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = - \int e^{u} \frac{1}{5} d u$

Passaggio 4.3.4

$e^{u}$ e $\frac{1}{5}$ .

$y + C_{1} = - \int \frac{e^{u}}{5} d u$

Passaggio 4.3.5

Poiché $\frac{1}{5}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{5}$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = - (\frac{1}{5} \int e^{u} d u)$

Passaggio 4.3.6

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{5} (e^{u} + C_{2})$

Passaggio 4.3.7

Semplifica.

$y + C_{1} = - \frac{1}{5} e^{u} + C_{2}$

Passaggio 4.3.8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $5 x$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{5} e^{5 x} + C_{2}$

Passaggio 4.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = - \frac{1}{5} e^{5 x} + K$