Calcolo Esempi

$2 x v d v + (v^{2} - 1) d x = 0$

Passaggio 1

Sottrai $(v^{2} - 1) d x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x v d v = - (v^{2} - 1) d x$

Passaggio 2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{x (v^{2} - 1)}$ .

$\frac{1}{x (v^{2} - 1)} (2 x v) d v = \frac{1}{x (v^{2} - 1)} (- (v^{2} - 1)) d x$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 \frac{1}{x (v^{2} - 1)} (x v) d v = \frac{1}{x (v^{2} - 1)} (- (v^{2} - 1)) d x$

Passaggio 3.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$2 \frac{1}{x (v^{2} - 1^{2})} (x v) d v = \frac{1}{x (v^{2} - 1)} (- (v^{2} - 1)) d x$

Passaggio 3.2.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = v$ e $b = 1$ .

$2 \frac{1}{x (v + 1) (v - 1)} (x v) d v = \frac{1}{x (v^{2} - 1)} (- (v^{2} - 1)) d x$

Passaggio 3.3

$2$ e $\frac{1}{x (v + 1) (v - 1)}$ .

$\frac{2}{x (v + 1) (v - 1)} (x v) d v = \frac{1}{x (v^{2} - 1)} (- (v^{2} - 1)) d x$

Passaggio 3.4

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Scomponi $x$ da $x (v + 1) (v - 1)$ .

$\frac{2}{x ((v + 1) (v - 1))} (x v) d v = \frac{1}{x (v^{2} - 1)} (- (v^{2} - 1)) d x$

Passaggio 3.4.2

Scomponi $x$ da $x v$ .

$\frac{2}{x ((v + 1) (v - 1))} (x (v)) d v = \frac{1}{x (v^{2} - 1)} (- (v^{2} - 1)) d x$

Passaggio 3.4.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{x ((v + 1) (v - 1))} (x v) d v = \frac{1}{x (v^{2} - 1)} (- (v^{2} - 1)) d x$

Passaggio 3.4.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{(v + 1) (v - 1)} v d v = \frac{1}{x (v^{2} - 1)} (- (v^{2} - 1)) d x$

Passaggio 3.5

$\frac{2}{(v + 1) (v - 1)}$ e $v$ .

$\frac{2 v}{(v + 1) (v - 1)} d v = \frac{1}{x (v^{2} - 1)} (- (v^{2} - 1)) d x$

Passaggio 3.6

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{2 v}{(v + 1) (v - 1)} d v = - \frac{1}{x (v^{2} - 1)} (v^{2} - 1) d x$

Passaggio 3.7

Elimina il fattore comune di $v^{2} - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{x (v^{2} - 1)}$ nel numeratore.

$\frac{2 v}{(v + 1) (v - 1)} d v = \frac{- 1}{x (v^{2} - 1)} (v^{2} - 1) d x$

Passaggio 3.7.2

Scomponi $v^{2} - 1$ da $x (v^{2} - 1)$ .

$\frac{2 v}{(v + 1) (v - 1)} d v = \frac{- 1}{(v^{2} - 1) x} (v^{2} - 1) d x$

Passaggio 3.7.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 v}{(v + 1) (v - 1)} d v = \frac{- 1}{(v^{2} - 1) x} (v^{2} - 1) d x$

Passaggio 3.7.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 v}{(v + 1) (v - 1)} d v = \frac{- 1}{x} d x$

Passaggio 3.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{2 v}{(v + 1) (v - 1)} d v = - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{2 v}{(v + 1) (v - 1)} d v = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $v$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int \frac{v}{(v + 1) (v - 1)} d v = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.2.2

Sia $u = (v + 1) (v - 1)$ . Allora $d u = 2 v d v$ , quindi $\frac{1}{2} d u = v d v$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Sia $u = (v + 1) (v - 1)$ . Trova $\frac{d u}{d v}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Differenzia $(v + 1) (v - 1)$ .

$\frac{d}{d v} [(v + 1) (v - 1)]$

Passaggio 4.2.2.1.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d v} [f (v) g (v)]$ è $f (v) \frac{d}{d v} [g (v)] + g (v) \frac{d}{d v} [f (v)]$ dove $f (v) = v + 1$ e $g (v) = v - 1$ .

$(v + 1) \frac{d}{d v} [v - 1] + (v - 1) \frac{d}{d v} [v + 1]$

Passaggio 4.2.2.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $v - 1$ rispetto a $v$ è $\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [- 1]$ .

$(v + 1) (\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [- 1]) + (v - 1) \frac{d}{d v} [v + 1]$

Passaggio 4.2.2.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ è $n v^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(v + 1) (1 + \frac{d}{d v} [- 1]) + (v - 1) \frac{d}{d v} [v + 1]$

Passaggio 4.2.2.1.3.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $v$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $v$ è $0$ .

$(v + 1) (1 + 0) + (v - 1) \frac{d}{d v} [v + 1]$

Passaggio 4.2.2.1.3.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.3.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$(v + 1) \cdot 1 + (v - 1) \frac{d}{d v} [v + 1]$

Passaggio 4.2.2.1.3.4.2

Moltiplica $v + 1$ per $1$ .

$v + 1 + (v - 1) \frac{d}{d v} [v + 1]$

Passaggio 4.2.2.1.3.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $v + 1$ rispetto a $v$ è $\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [1]$ .

$v + 1 + (v - 1) (\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [1])$

Passaggio 4.2.2.1.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ è $n v^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$v + 1 + (v - 1) (1 + \frac{d}{d v} [1])$

Passaggio 4.2.2.1.3.7

Poiché $1$ è costante rispetto a $v$ , la derivata di $1$ rispetto a $v$ è $0$ .

$v + 1 + (v - 1) (1 + 0)$

Passaggio 4.2.2.1.3.8

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.3.8.1

Somma $1$ e $0$ .

$v + 1 + (v - 1) \cdot 1$

Passaggio 4.2.2.1.3.8.2

Moltiplica $v - 1$ per $1$ .

$v + 1 + v - 1$

Passaggio 4.2.2.1.3.8.3

Somma $v$ e $v$ .

$2 v + 1 - 1$

Passaggio 4.2.2.1.3.8.4

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.3.8.4.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$2 v + 0$

Passaggio 4.2.2.1.3.8.4.2

Somma $2 v$ e $0$ .

$2 v$

Passaggio 4.2.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.2.3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u$ .

$2 \int \frac{1}{2 u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.2.4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.1

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.2.5.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.2.5.2.2

Riscrivi l'espressione.

$1 \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.2.5.3

Moltiplica $\int \frac{1}{u} d u$ per $1$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.2.6

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.2.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $(v + 1) (v - 1)$ .

$\ln (| (v + 1) (v - 1) |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\ln (| (v + 1) (v - 1) |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.3.2

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$\ln (| (v + 1) (v - 1) |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Passaggio 4.3.3

Semplifica.

$\ln (| (v + 1) (v - 1) |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Passaggio 4.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| (v + 1) (v - 1) |) = - \ln (| x |) + C$

Passaggio 5

Risolvi per $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (| (v + 1) (v - 1) |) + \ln (| x |) = C$

Passaggio 5.2

Usa la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| (v + 1) (v - 1) | | x |) = C$

Passaggio 5.3

Espandi $(v + 1) (v - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (| v (v - 1) + 1 (v - 1) | | x |) = C$

Passaggio 5.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (| v \cdot v + v \cdot - 1 + 1 (v - 1) | | x |) = C$

Passaggio 5.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (| v \cdot v + v \cdot - 1 + 1 v + 1 \cdot - 1 | | x |) = C$

Passaggio 5.4

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.1

Moltiplica $v$ per $v$ .

$\ln (| v^{2} + v \cdot - 1 + 1 v + 1 \cdot - 1 | | x |) = C$

Passaggio 5.4.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $v$ .

$\ln (| v^{2} - 1 \cdot v + 1 v + 1 \cdot - 1 | | x |) = C$

Passaggio 5.4.1.3

Riscrivi $- 1 v$ come $- v$ .

$\ln (| v^{2} - v + 1 v + 1 \cdot - 1 | | x |) = C$

Passaggio 5.4.1.4

Moltiplica $v$ per $1$ .

$\ln (| v^{2} - v + v + 1 \cdot - 1 | | x |) = C$

Passaggio 5.4.1.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\ln (| v^{2} - v + v - 1 | | x |) = C$

Passaggio 5.4.2

Somma $- v$ e $v$ .

$\ln (| v^{2} + 0 - 1 | | x |) = C$

Passaggio 5.4.3

Somma $v^{2}$ e $0$ .

$\ln (| v^{2} - 1 | | x |) = C$

Passaggio 5.5

Per moltiplicare dei valori assoluti, moltiplica i termini all'interno di ciascun valore assoluto.

$\ln (| (v^{2} - 1) x |) = C$

Passaggio 5.6

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (| v^{2} x - 1 x |) = C$

Passaggio 5.7

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$\ln (| v^{2} x - x |) = C$

Passaggio 5.8

Per risolvere per $v$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| v^{2} x - x |)} = e^{C}$

Passaggio 5.9

Riscrivi $\ln (| v^{2} x - x |) = C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | v^{2} x - x |$

Passaggio 5.10

Risolvi per $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.10.1

Riscrivi l'equazione come $| v^{2} x - x | = e^{C}$ .

$| v^{2} x - x | = e^{C}$

Passaggio 5.10.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$v^{2} x - x = \pm e^{C}$

Passaggio 5.10.3

Somma $x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$v^{2} x = \pm e^{C} + x$

Passaggio 5.10.4

Dividi per $x$ ciascun termine in $v^{2} x = \pm e^{C} + x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.10.4.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $v^{2} x = \pm e^{C} + x$ .

$\frac{v^{2} x}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{x}{x}$

Passaggio 5.10.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.10.4.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.10.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{v^{2} x}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{x}{x}$

Passaggio 5.10.4.2.1.2

Dividi $v^{2}$ per $1$ .

$v^{2} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{x}{x}$

Passaggio 5.10.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.10.4.3.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.10.4.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$v^{2} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{x}{x}$

Passaggio 5.10.4.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$v^{2} = \frac{\pm e^{C}}{x} + 1$

Passaggio 5.10.5

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$v = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{C}}{x} + 1}$

Passaggio 5.10.6

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{\pm e^{C}}{x} + 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.10.6.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$v = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{x}{x}}$

Passaggio 5.10.6.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$v = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{C} + x}{x}}$

Passaggio 5.10.6.3

Riscrivi $\sqrt{\frac{\pm e^{C} + x}{x}}$ come $\frac{\sqrt{\pm e^{C} + x}}{\sqrt{x}}$ .

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} + x}}{\sqrt{x}}$

Passaggio 5.10.6.4

Moltiplica $\frac{\sqrt{\pm e^{C} + x}}{\sqrt{x}}$ per $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} + x}}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

Passaggio 5.10.6.5

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.10.6.5.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{\pm e^{C} + x}}{\sqrt{x}}$ per $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} + x} \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}$

Passaggio 5.10.6.5.2

Eleva $\sqrt{x}$ alla potenza di $1$ .

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} + x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}}$

Passaggio 5.10.6.5.3

Eleva $\sqrt{x}$ alla potenza di $1$ .

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} + x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}}$

Passaggio 5.10.6.5.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} + x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

Passaggio 5.10.6.5.5

Somma $1$ e $1$ .

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} + x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Passaggio 5.10.6.5.6

Riscrivi ${\sqrt{x}}^{2}$ come $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.10.6.5.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} + x} \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 5.10.6.5.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} + x} \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 5.10.6.5.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} + x} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 5.10.6.5.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.10.6.5.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} + x} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 5.10.6.5.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} + x} \sqrt{x}}{x^{1}}$

Passaggio 5.10.6.5.6.5

Semplifica.

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} + x} \sqrt{x}}{x}$

Passaggio 5.10.6.6

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$v = \pm \frac{\sqrt{(\pm e^{C} + x) x}}{x}$

Passaggio 5.10.6.7

Riordina i fattori in $\pm \frac{\sqrt{(\pm e^{C} + x) x}}{x}$ .

$v = \pm \frac{\sqrt{x (\pm e^{C} + x)}}{x}$

Passaggio 6

Semplifica la costante dell'integrazione.

$v = \pm \frac{\sqrt{x (C + x)}}{x}$