Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} (2 x + 2)}{x^{2}}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Raggruppa i fattori.

$\frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{2 x + 2}{x^{2}}$

Passaggio 1.2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} \frac{2 x + 2}{x^{2}})$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Scomponi $y^{2}$ da $y^{2} \frac{2 x + 2}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} (\frac{2 x + 2}{x^{2}}))$

Passaggio 1.3.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} \frac{2 x + 2}{x^{2}})$

Passaggio 1.3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 x + 2}{x^{2}}$

Passaggio 1.3.2

Scomponi $2$ da $2 x + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 (x) + 2}{x^{2}}$

Passaggio 1.3.2.2

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 (x) + 2 (1)}{x^{2}}$

Passaggio 1.3.2.3

Scomponi $2$ da $2 (x) + 2 (1)$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 (x + 1)}{x^{2}}$

Passaggio 1.4

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{2 (x + 1)}{x^{2}} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int \frac{2 (x + 1)}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Sposta $y^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int \frac{2 (x + 1)}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int \frac{2 (x + 1)}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.1.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int \frac{2 (x + 1)}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{- 2}$ rispetto a $y$ è $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int \frac{2 (x + 1)}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi $- y^{- 1} + C_{1}$ come $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{2 (x + 1)}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.3.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Sposta $x^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 \int (x + 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Passaggio 2.3.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 \int (x + 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

Passaggio 2.3.2.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 \int (x + 1) x^{- 2} d x$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $(x + 1) x^{- 2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 \int x \cdot x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

Passaggio 2.3.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1

Moltiplica $x$ per $x^{- 2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1.1

Moltiplica $x$ per $x^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 \int x^{1} x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

Passaggio 2.3.4.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 \int x^{1 - 2} + 1 x^{- 2} d x$

Passaggio 2.3.4.1.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 \int x^{- 1} + 1 x^{- 2} d x$

Passaggio 2.3.4.2

Moltiplica $x^{- 2}$ per $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 \int x^{- 1} + x^{- 2} d x$

Passaggio 2.3.5

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 (\int x^{- 1} d x + \int x^{- 2} d x)$

Passaggio 2.3.6

L'integrale di $x^{- 1}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 (\ln (| x |) + C_{2} + \int x^{- 2} d x)$

Passaggio 2.3.7

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- 2}$ rispetto a $x$ è $- x^{- 1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 (\ln (| x |) + C_{2} - x^{- 1} + C_{3})$

Passaggio 2.3.8

Semplifica.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 (\ln (| x |) - \frac{1}{x}) + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$- \frac{1}{y} = 2 (\ln (| x |) - \frac{1}{x}) + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Scomponi ogni termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Per scrivere $\ln (| x |)$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$- \frac{1}{y} = 2 (\frac{\ln (| x |) x}{x} - \frac{1}{x}) + C$

Passaggio 3.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{1}{y} = 2 \frac{\ln (| x |) x - 1}{x} + C$

Passaggio 3.1.3

$2$ e $\frac{\ln (| x |) x - 1}{x}$ .

$- \frac{1}{y} = \frac{2 (\ln (| x |) x - 1)}{x} + C$

Passaggio 3.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$y, x, 1$

Passaggio 3.2.2

Poiché $y, x, 1$ contiene sia numeri che variabili, ci sono due passaggi per trovare il minimo comune multiplo. Trova il minimo comune multiplo per la parte numerica $1, 1, 1$ , quindi trova il minimo comune multiplo per la parte variabile $y^{1}, x^{1}$ .

Passaggio 3.2.3

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 3.2.4

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 3.2.5

Il minimo comune multiplo di $1, 1, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$1$

Passaggio 3.2.6

Il fattore di $y^{1}$ è $y$ stesso.

$y^{1} = y$

$y$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 3.2.7

Il fattore di $x^{1}$ è $x$ stesso.

$x^{1} = x$

$x$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 3.2.8

Il minimo comune multiplo (mcm) di $y^{1}, x^{1}$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$y x$

Passaggio 3.3

Moltiplica per $y x$ ciascun termine in $- \frac{1}{y} = \frac{2 (\ln (| x |) x - 1)}{x} + C$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Moltiplica ogni termine in $- \frac{1}{y} = \frac{2 (\ln (| x |) x - 1)}{x} + C$ per $y x$ .

$- \frac{1}{y} (y x) = \frac{2 (\ln (| x |) x - 1)}{x} (y x) + C (y x)$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{y}$ nel numeratore.

$\frac{- 1}{y} (y x) = \frac{2 (\ln (| x |) x - 1)}{x} (y x) + C (y x)$

Passaggio 3.3.2.1.2

Scomponi $y$ da $y x$ .

$\frac{- 1}{y} (y (x)) = \frac{2 (\ln (| x |) x - 1)}{x} (y x) + C (y x)$

Passaggio 3.3.2.1.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1}{y} (y x) = \frac{2 (\ln (| x |) x - 1)}{x} (y x) + C (y x)$

Passaggio 3.3.2.1.4

Riscrivi l'espressione.

$- x = \frac{2 (\ln (| x |) x - 1)}{x} (y x) + C (y x)$

Passaggio 3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.1.1

Scomponi $x$ da $y x$ .

$- x = \frac{2 (\ln (| x |) x - 1)}{x} (x y) + C (y x)$

Passaggio 3.3.3.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$- x = \frac{2 (\ln (| x |) x - 1)}{x} (x y) + C (y x)$

Passaggio 3.3.3.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$- x = 2 (\ln (| x |) x - 1) y + C (y x)$

Passaggio 3.3.3.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$- x = (2 (\ln (| x |) x) + 2 \cdot - 1) y + C (y x)$

Passaggio 3.3.3.1.3

Moltiplica $2 (\ln (| x |) x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.3.1

Riordina $\ln (| x |)$ e $2$ .

$- x = (2 \cdot \ln (| x |) x + 2 \cdot - 1) y + C (y x)$

Passaggio 3.3.3.1.3.2

Semplifica $2 \cdot \ln (| x |)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$- x = (\ln ({| x |}^{2}) x + 2 \cdot - 1) y + C (y x)$

Passaggio 3.3.3.1.4

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- x = (\ln ({| x |}^{2}) x - 2) y + C (y x)$

Passaggio 3.3.3.1.5

Rimuovi il valore assoluto in ${| x |}^{2}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$- x = (\ln (x^{2}) x - 2) y + C (y x)$

Passaggio 3.3.3.1.6

Applica la proprietà distributiva.

$- x = \ln (x^{2}) x y - 2 y + C y x$

Passaggio 3.3.3.2

Riordina i fattori in $\ln (x^{2}) x y - 2 y + C y x$ .

$- x = x y \ln (x^{2}) - 2 y + C y x$

Passaggio 3.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Riscrivi l'equazione come $x y \ln (x^{2}) - 2 y + C y x = - x$ .

$x y \ln (x^{2}) - 2 y + C y x = - x$

Passaggio 3.4.2

Scomponi $y$ da $x y \ln (x^{2}) - 2 y + C y x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Scomponi $y$ da $x y \ln (x^{2})$ .

$y (x \ln (x^{2})) - 2 y + C y x = - x$

Passaggio 3.4.2.2

Scomponi $y$ da $- 2 y$ .

$y (x \ln (x^{2})) + y \cdot - 2 + C y x = - x$

Passaggio 3.4.2.3

Scomponi $y$ da $C y x$ .

$y (x \ln (x^{2})) + y \cdot - 2 + y (C x) = - x$

Passaggio 3.4.2.4

Scomponi $y$ da $y (x \ln (x^{2})) + y \cdot - 2$ .

$y (x \ln (x^{2}) - 2) + y (C x) = - x$

Passaggio 3.4.2.5

Scomponi $y$ da $y (x \ln (x^{2}) - 2) + y (C x)$ .

$y (x \ln (x^{2}) - 2 + C x) = - x$

Passaggio 3.4.3

Dividi per $x \ln (x^{2}) - 2 + C x$ ciascun termine in $y (x \ln (x^{2}) - 2 + C x) = - x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

Dividi per $x \ln (x^{2}) - 2 + C x$ ciascun termine in $y (x \ln (x^{2}) - 2 + C x) = - x$ .

$\frac{y (x \ln (x^{2}) - 2 + C x)}{x \ln (x^{2}) - 2 + C x} = \frac{- x}{x \ln (x^{2}) - 2 + C x}$

Passaggio 3.4.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.2.1

Elimina il fattore comune di $x \ln (x^{2}) - 2 + C x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y (x \ln (x^{2}) - 2 + C x)}{x \ln (x^{2}) - 2 + C x} = \frac{- x}{x \ln (x^{2}) - 2 + C x}$

Passaggio 3.4.3.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{- x}{x \ln (x^{2}) - 2 + C x}$

Passaggio 3.4.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{x}{x \ln (x^{2}) - 2 + C x}$