Calcolo Esempi

$(1 - x^{2}) \frac{d y}{d x} + x y = 3 x$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Risolvi per $\frac{d y}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$1 \frac{d y}{d x} - x^{2} \frac{d y}{d x} + x y = 3 x$

Passaggio 1.1.1.2

Moltiplica $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} - x^{2} \frac{d y}{d x} + x y = 3 x$

Passaggio 1.1.2

Sottrai $x y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d y}{d x} - x^{2} \frac{d y}{d x} = 3 x - x y$

Passaggio 1.1.3

Scomponi $\frac{d y}{d x}$ da $\frac{d y}{d x} - x^{2} \frac{d y}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Scomponi $\frac{d y}{d x}$ da ${(\frac{d y}{d x})}^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} \cdot 1 - x^{2} \frac{d y}{d x} = 3 x - x y$

Passaggio 1.1.3.2

Scomponi $\frac{d y}{d x}$ da $- x^{2} \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} \cdot 1 + \frac{d y}{d x} (- x^{2}) = 3 x - x y$

Passaggio 1.1.3.3

Scomponi $\frac{d y}{d x}$ da $\frac{d y}{d x} \cdot 1 + \frac{d y}{d x} (- x^{2})$ .

$\frac{d y}{d x} (1 - x^{2}) = 3 x - x y$

Passaggio 1.1.4

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} (1^{2} - x^{2}) = 3 x - x y$

Passaggio 1.1.5

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = x$ .

$\frac{d y}{d x} ((1 + x) (1 - x)) = 3 x - x y$

Passaggio 1.1.5.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$\frac{d y}{d x} (1 + x) (1 - x) = 3 x - x y$

Passaggio 1.1.6

Dividi per $(1 + x) (1 - x)$ ciascun termine in $\frac{d y}{d x} (1 + x) (1 - x) = 3 x - x y$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.1

Dividi per $(1 + x) (1 - x)$ ciascun termine in $\frac{d y}{d x} (1 + x) (1 - x) = 3 x - x y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} = \frac{3 x}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{- x y}{(1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 1.1.6.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.2.1

Elimina il fattore comune di $1 + x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{d y}{d x} (1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} = \frac{3 x}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{- x y}{(1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 1.1.6.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{d y}{d x} (1 - x)}{1 - x} = \frac{3 x}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{- x y}{(1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 1.1.6.2.2

Elimina il fattore comune di $1 - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{d y}{d x} (1 - x)}{1 - x} = \frac{3 x}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{- x y}{(1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 1.1.6.2.2.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{- x y}{(1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 1.1.6.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{(1 + x) (1 - x)} - \frac{x y}{(1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 1.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x - x y}{(1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 1.2.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Scomponi $x$ da $3 x - x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1.1

Scomponi $x$ da $3 x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 3 - x y}{(1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 1.2.2.1.2

Scomponi $x$ da $- x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 3 + x (- 1 y)}{(1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 1.2.2.1.3

Scomponi $x$ da $x \cdot 3 + x (- 1 y)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot (3 - 1 y)}{(1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 1.2.2.1.4

Moltiplica $x$ per $3 - 1 y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (3 - 1 y)}{(1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 1.2.2.2

Riscrivi $- 1 y$ come $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (3 - y)}{(1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 1.3

Raggruppa i fattori.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} (3 - y)$

Passaggio 1.4

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{3 - y}$ .

$\frac{1}{3 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 - y} (\frac{x}{(1 + x) (1 - x)} (3 - y))$

Passaggio 1.5

Elimina il fattore comune di $3 - y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Scomponi $3 - y$ da $\frac{x}{(1 + x) (1 - x)} (3 - y)$ .

$\frac{1}{3 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 - y} ((3 - y) \frac{x}{(1 + x) (1 - x)})$

Passaggio 1.5.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{3 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 - y} ((3 - y) \frac{x}{(1 + x) (1 - x)})$

Passaggio 1.5.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{3 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{(1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 1.6

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{3 - y} d y = \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{3 - y} d y = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sia $u_{1} = 3 - y$ . Allora $d u_{1} = - d y$ , quindi $- d u_{1} = d y$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Sia $u_{1} = 3 - y$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Riscrivi.

$\frac{- 1}{1}$

Passaggio 2.2.1.1.2

Dividi $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{- 1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Passaggio 2.2.2

Suddividi la frazione in frazioni multiple.

$\int - \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Passaggio 2.2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Passaggio 2.2.4

L'integrale di $\frac{1}{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $\ln (| u_{1} |)$ .

$- (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Passaggio 2.2.5

Semplifica.

$- \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Passaggio 2.2.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $3 - y$ .

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Sia $u_{2} = (1 + x) (1 - x)$ . Allora $d u_{2} = - 2 x d x$ , quindi $- \frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Sia $u_{2} = (1 + x) (1 - x)$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.1

Differenzia $(1 + x) (1 - x)$ .

$\frac{d}{d x} [(1 + x) (1 - x)]$

Passaggio 2.3.1.1.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = 1 + x$ e $g (x) = 1 - x$ .

$(1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x] + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Passaggio 2.3.1.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$(1 + x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]) + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Passaggio 2.3.1.1.3.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(1 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Passaggio 2.3.1.1.3.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$(1 + x) \frac{d}{d x} [- x] + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Passaggio 2.3.1.1.3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(1 + x) (- \frac{d}{d x} [x]) + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Passaggio 2.3.1.1.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(1 + x) (- 1 \cdot 1) + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Passaggio 2.3.1.1.3.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.3.6.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$(1 + x) \cdot - 1 + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Passaggio 2.3.1.1.3.6.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $1 + x$ .

$- 1 \cdot (1 + x) + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Passaggio 2.3.1.1.3.6.3

Riscrivi $- 1 (1 + x)$ come $- (1 + x)$ .

$- (1 + x) + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Passaggio 2.3.1.1.3.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (1 + x) + (1 - x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.3.1.1.3.8

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- (1 + x) + (1 - x) (0 + \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.3.1.1.3.9

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [x]$ .

$- (1 + x) + (1 - x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.1.1.3.10

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- (1 + x) + (1 - x) \cdot 1$

Passaggio 2.3.1.1.3.11

Moltiplica $1 - x$ per $1$ .

$- (1 + x) + 1 - x$

Passaggio 2.3.1.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 1 \cdot 1 - x + 1 - x$

Passaggio 2.3.1.1.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.4.2.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1 - x + 1 - x$

Passaggio 2.3.1.1.4.2.2

Somma $- 1$ e $1$ .

$- x + 0 - x$

Passaggio 2.3.1.1.4.2.3

Somma $- x$ e $0$ .

$- x - x$

Passaggio 2.3.1.1.4.2.4

Sottrai $x$ da $- x$ .

$- 2 x$

Passaggio 2.3.1.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Passaggio 2.3.2.2

Moltiplica $\frac{1}{u_{2}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Passaggio 2.3.2.3

Sposta $2$ alla sinistra di $u_{2}$ .

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 2.3.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 2.3.4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Passaggio 2.3.5

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Passaggio 2.3.6

Semplifica.

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Passaggio 2.3.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $(1 + x) (1 - x)$ .

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$- \ln (| 3 - y |) = - \frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

$\ln (| (1 + x) (1 - x) |)$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \ln (| 3 - y |) = - \frac{\ln (| (1 + x) (1 - x) |)}{2} + C$

Passaggio 3.2

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$- \ln (| 3 - y |) + \frac{\ln (| (1 + x) (1 - x) |)}{2} = C$

Passaggio 3.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Espandi $(1 + x) (1 - x)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$- \ln (| 3 - y |) + \frac{\ln (| 1 (1 - x) + x (1 - x) |)}{2} = C$

Passaggio 3.3.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$- \ln (| 3 - y |) + \frac{\ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x) |)}{2} = C$

Passaggio 3.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$- \ln (| 3 - y |) + \frac{\ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) |)}{2} = C$

Passaggio 3.3.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$- \ln (| 3 - y |) + \frac{\ln (| 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) |)}{2} = C$

Passaggio 3.3.2.1.2

Moltiplica $- x$ per $1$ .

$- \ln (| 3 - y |) + \frac{\ln (| 1 - x + x \cdot 1 + x (- x) |)}{2} = C$

Passaggio 3.3.2.1.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$- \ln (| 3 - y |) + \frac{\ln (| 1 - x + x + x (- x) |)}{2} = C$

Passaggio 3.3.2.1.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- \ln (| 3 - y |) + \frac{\ln (| 1 - x + x - x \cdot x |)}{2} = C$

Passaggio 3.3.2.1.5

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.5.1

Sposta $x$ .

$- \ln (| 3 - y |) + \frac{\ln (| 1 - x + x - (x \cdot x) |)}{2} = C$

Passaggio 3.3.2.1.5.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$- \ln (| 3 - y |) + \frac{\ln (| 1 - x + x - x^{2} |)}{2} = C$

Passaggio 3.3.2.2

Somma $- x$ e $x$ .

$- \ln (| 3 - y |) + \frac{\ln (| 1 + 0 - x^{2} |)}{2} = C$

Passaggio 3.3.2.3

Somma $1$ e $0$ .

$- \ln (| 3 - y |) + \frac{\ln (| 1 - x^{2} |)}{2} = C$

Passaggio 3.4

Per scrivere $- \ln (| 3 - y |)$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- \ln (| 3 - y |) \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (| 1 - x^{2} |)}{2} = C$

Passaggio 3.5

$- \ln (| 3 - y |)$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- \ln (| 3 - y |) \cdot 2}{2} + \frac{\ln (| 1 - x^{2} |)}{2} = C$

Passaggio 3.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- \ln (| 3 - y |) \cdot 2 + \ln (| 1 - x^{2} |)}{2} = C$

Passaggio 3.7

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{- 2 \ln (| 3 - y |) + \ln (| 1 - x^{2} |)}{2} = C$

Passaggio 3.8

Scomponi $- 1$ da $- 2 \ln (| 3 - y |)$ .

$\frac{- (2 \ln (| 3 - y |)) + \ln (| 1 - x^{2} |)}{2} = C$

Passaggio 3.9

Scomponi $- 1$ da $\ln (| 1 - x^{2} |)$ .

$\frac{- (2 \ln (| 3 - y |)) - 1 (- \ln (| 1 - x^{2} |))}{2} = C$

Passaggio 3.10

Scomponi $- 1$ da $- (2 \ln (| 3 - y |)) - 1 (- \ln (| 1 - x^{2} |))$ .

$\frac{- (2 \ln (| 3 - y |) - \ln (| 1 - x^{2} |))}{2} = C$

Passaggio 3.11

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.1

Riscrivi $- (2 \ln (| 3 - y |) - \ln (| 1 - x^{2} |))$ come $- 1 (2 \ln (| 3 - y |) - \ln (| 1 - x^{2} |))$ .

$\frac{- 1 (2 \ln (| 3 - y |) - \ln (| 1 - x^{2} |))}{2} = C$

Passaggio 3.11.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2 \ln (| 3 - y |) - \ln (| 1 - x^{2} |)}{2} = C$

Passaggio 3.12

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.1

Semplifica $- \frac{2 \ln (| 3 - y |) - \ln (| 1 - x^{2} |)}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.1.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.1.1.1

Semplifica $2 \ln (| 3 - y |)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$- \frac{\ln ({| 3 - y |}^{2}) - \ln (| 1 - x^{2} |)}{2} = C$

Passaggio 3.12.1.1.2

Rimuovi il valore assoluto in ${| 3 - y |}^{2}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$- \frac{\ln ({(3 - y)}^{2}) - \ln (| 1 - x^{2} |)}{2} = C$

Passaggio 3.12.1.1.3

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \frac{\ln (\frac{{(3 - y)}^{2}}{| 1 - x^{2} |})}{2} = C$

Passaggio 3.12.1.1.4

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.1.1.4.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$- \frac{\ln (\frac{{(3 - y)}^{2}}{| 1^{2} - x^{2} |})}{2} = C$

Passaggio 3.12.1.1.4.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = x$ .

$- \frac{\ln (\frac{{(3 - y)}^{2}}{| (1 + x) (1 - x) |})}{2} = C$

Passaggio 3.12.1.1.4.3

Espandi $(1 + x) (1 - x)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.1.1.4.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{\ln (\frac{{(3 - y)}^{2}}{| 1 (1 - x) + x (1 - x) |})}{2} = C$

Passaggio 3.12.1.1.4.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{\ln (\frac{{(3 - y)}^{2}}{| 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x) |})}{2} = C$

Passaggio 3.12.1.1.4.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{\ln (\frac{{(3 - y)}^{2}}{| 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) |})}{2} = C$

Passaggio 3.12.1.1.4.4

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.1.1.4.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.1.1.4.4.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$- \frac{\ln (\frac{{(3 - y)}^{2}}{| 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) |})}{2} = C$

Passaggio 3.12.1.1.4.4.1.2

Moltiplica $- x$ per $1$ .

$- \frac{\ln (\frac{{(3 - y)}^{2}}{| 1 - x + x \cdot 1 + x (- x) |})}{2} = C$

Passaggio 3.12.1.1.4.4.1.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$- \frac{\ln (\frac{{(3 - y)}^{2}}{| 1 - x + x + x (- x) |})}{2} = C$

Passaggio 3.12.1.1.4.4.1.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- \frac{\ln (\frac{{(3 - y)}^{2}}{| 1 - x + x - x \cdot x |})}{2} = C$

Passaggio 3.12.1.1.4.4.1.5

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.1.1.4.4.1.5.1

Sposta $x$ .

$- \frac{\ln (\frac{{(3 - y)}^{2}}{| 1 - x + x - (x \cdot x) |})}{2} = C$

Passaggio 3.12.1.1.4.4.1.5.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$- \frac{\ln (\frac{{(3 - y)}^{2}}{| 1 - x + x - x^{2} |})}{2} = C$

Passaggio 3.12.1.1.4.4.2

Somma $- x$ e $x$ .

$- \frac{\ln (\frac{{(3 - y)}^{2}}{| 1 + 0 - x^{2} |})}{2} = C$

Passaggio 3.12.1.1.4.4.3

Somma $1$ e $0$ .

$- \frac{\ln (\frac{{(3 - y)}^{2}}{| 1 - x^{2} |})}{2} = C$

Passaggio 3.12.1.1.4.5

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$- \frac{\ln (\frac{{(3 - y)}^{2}}{| 1^{2} - x^{2} |})}{2} = C$

Passaggio 3.12.1.1.4.6

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = x$ .

$- \frac{\ln (\frac{{(3 - y)}^{2}}{| (1 + x) (1 - x) |})}{2} = C$

Passaggio 3.12.1.2

Riscrivi $\frac{\ln (\frac{{(3 - y)}^{2}}{| (1 + x) (1 - x) |})}{2}$ come $\frac{1}{2} \ln (\frac{{(3 - y)}^{2}}{| (1 + x) (1 - x) |})$ .

$- (\frac{1}{2} \ln (\frac{{(3 - y)}^{2}}{| (1 + x) (1 - x) |})) = C$

Passaggio 3.12.1.3

Semplifica $\frac{1}{2} \ln (\frac{{(3 - y)}^{2}}{| (1 + x) (1 - x) |})$ spostando $\frac{1}{2}$ all'interno del logaritmo.

$- \ln ({(\frac{{(3 - y)}^{2}}{| (1 + x) (1 - x) |})}^{\frac{1}{2}}) = C$

Passaggio 3.12.1.4

Applica la regola del prodotto a $\frac{{(3 - y)}^{2}}{| (1 + x) (1 - x) |}$ .

$- \ln (\frac{{({(3 - y)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{| (1 + x) (1 - x) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Passaggio 3.12.1.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.1.5.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(3 - y)}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.1.5.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \ln (\frac{{(3 - y)}^{2 (\frac{1}{2})}}{{| (1 + x) (1 - x) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Passaggio 3.12.1.5.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.1.5.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$- \ln (\frac{{(3 - y)}^{2 (\frac{1}{2})}}{{| (1 + x) (1 - x) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Passaggio 3.12.1.5.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$- \ln (\frac{{(3 - y)}^{1}}{{| (1 + x) (1 - x) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Passaggio 3.12.1.5.2

Semplifica.

$- \ln (\frac{3 - y}{{| (1 + x) (1 - x) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Passaggio 3.12.1.6

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.1.6.1

Espandi $(1 + x) (1 - x)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.1.6.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$- \ln (\frac{3 - y}{{| 1 (1 - x) + x (1 - x) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Passaggio 3.12.1.6.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$- \ln (\frac{3 - y}{{| 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Passaggio 3.12.1.6.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$- \ln (\frac{3 - y}{{| 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Passaggio 3.12.1.6.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.1.6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.1.6.2.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$- \ln (\frac{3 - y}{{| 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Passaggio 3.12.1.6.2.1.2

Moltiplica $- x$ per $1$ .

$- \ln (\frac{3 - y}{{| 1 - x + x \cdot 1 + x (- x) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Passaggio 3.12.1.6.2.1.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$- \ln (\frac{3 - y}{{| 1 - x + x + x (- x) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Passaggio 3.12.1.6.2.1.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- \ln (\frac{3 - y}{{| 1 - x + x - x \cdot x |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Passaggio 3.12.1.6.2.1.5

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.1.6.2.1.5.1

Sposta $x$ .

$- \ln (\frac{3 - y}{{| 1 - x + x - (x \cdot x) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Passaggio 3.12.1.6.2.1.5.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$- \ln (\frac{3 - y}{{| 1 - x + x - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Passaggio 3.12.1.6.2.2

Somma $- x$ e $x$ .

$- \ln (\frac{3 - y}{{| 1 + 0 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Passaggio 3.12.1.6.2.3

Somma $1$ e $0$ .

$- \ln (\frac{3 - y}{{| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Passaggio 3.13

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \ln (\frac{3 - y}{{| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.13.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \ln (\frac{3 - y}{{| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = C$ .

$\frac{- \ln (\frac{3 - y}{{| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}})}{- 1} = \frac{C}{- 1}$

Passaggio 3.13.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.13.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\ln (\frac{3 - y}{{| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}})}{1} = \frac{C}{- 1}$

Passaggio 3.13.2.2

Dividi $\ln (\frac{3 - y}{{| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}})$ per $1$ .

$\ln (\frac{3 - y}{{| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = \frac{C}{- 1}$

Passaggio 3.13.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.13.3.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (\frac{3 - y}{{| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = - 1 \cdot C$

Passaggio 3.13.3.2

Riscrivi $- 1 \cdot C$ come $- C$ .

$\ln (\frac{3 - y}{{| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = - C$

Passaggio 3.14

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (\frac{3 - y}{{| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}})} = e^{- C}$

Passaggio 3.15

Riscrivi $\ln (\frac{3 - y}{{| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = - C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- C} = \frac{3 - y}{{| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.16

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.16.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{3 - y}{{| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}} = e^{- C}$ .

$\frac{3 - y}{{| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}} = e^{- C}$

Passaggio 3.16.2

Moltiplica ogni lato per ${| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 - y}{{| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}} {| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}} = e^{- C} {| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 3.16.3

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.16.3.1

Semplifica $\frac{3 - y}{{| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}} {| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.16.3.1.1

Elimina il fattore comune di ${| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.16.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 - y}{{| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}} {| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}} = e^{- C} {| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 3.16.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$3 - y = e^{- C} {| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 3.16.3.1.2

Riordina $3$ e $- y$ .

$- y + 3 = e^{- C} {| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 3.16.4

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.16.4.1

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- y = e^{- C} {| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}} - 3$

Passaggio 3.16.4.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- y = e^{- C} {| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}} - 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.16.4.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- y = e^{- C} {| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}} - 3$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{e^{- C} {| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Passaggio 3.16.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.16.4.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{y}{1} = \frac{e^{- C} {| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Passaggio 3.16.4.2.2.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{e^{- C} {| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Passaggio 3.16.4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.16.4.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.16.4.2.3.1.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{e^{- C} {| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (e^{- C} {| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{- 3}{- 1}$

Passaggio 3.16.4.2.3.1.2

Riscrivi $- 1 \cdot (e^{- C} {| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}})$ come $- (e^{- C} {| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}})$ .

$y = - (e^{- C} {| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{- 3}{- 1}$

Passaggio 3.16.4.2.3.1.3

Dividi $- 3$ per $- 1$ .

$y = - e^{- C} {| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}} + 3$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = C {| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}} + 3$