Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} + \frac{5 x^{2}}{e^{3 x^{3}}} y = 0$

Passaggio 1

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = \frac{5 x^{2}}{e^{3 x^{3}}}$ .

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Passaggio 1.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int \frac{5 x^{2}}{e^{3 x^{3}}} d x}$

Passaggio 1.2

Integra $\frac{5 x^{2}}{e^{3 x^{3}}}$ .

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Passaggio 1.2.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , sposta $5$ fuori dall'integrale.

$e^{5 \int \frac{x^{2}}{e^{3 x^{3}}} d x}$

Passaggio 1.2.2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.2.2.1

Nega l'esponente di $e^{3 x^{3}}$ e rimuovilo dal denominatore.

$e^{5 \int x^{2} {(e^{3 x^{3}})}^{- 1} d x}$

Passaggio 1.2.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{3 x^{3}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 1.2.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{5 \int x^{2} e^{3 x^{3} \cdot - 1} d x}$

Passaggio 1.2.2.2.2

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$e^{5 \int x^{2} e^{- 3 x^{3}} d x}$

Passaggio 1.2.3

Sia $u_{2} = e^{- 3 x^{3}}$ . Allora $d u_{2} = - 9 x^{2} e^{- 3 x^{3}} d x$ , quindi $- \frac{1}{9} d u_{2} = x^{2} e^{- 3 x^{3}} d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 1.2.3.1

Sia $u_{2} = e^{- 3 x^{3}}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Passaggio 1.2.3.1.1

Differenzia $e^{- 3 x^{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- 3 x^{3}}]$

Passaggio 1.2.3.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 3 x^{3}$ .

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Passaggio 1.2.3.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $- 3 x^{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

Passaggio 1.2.3.1.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

Passaggio 1.2.3.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $- 3 x^{3}$ .

$e^{- 3 x^{3}} \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

Passaggio 1.2.3.1.3

Differenzia.

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Passaggio 1.2.3.1.3.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$e^{- 3 x^{3}} (- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 1.2.3.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$e^{- 3 x^{3}} (- 3 (3 x^{2}))$

Passaggio 1.2.3.1.3.3

Moltiplica $3$ per $- 3$ .

$e^{- 3 x^{3}} (- 9 x^{2})$

Passaggio 1.2.3.1.4

Semplifica.

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Passaggio 1.2.3.1.4.1

Riordina i fattori di $e^{- 3 x^{3}} (- 9 x^{2})$ .

$- 9 e^{- 3 x^{3}} x^{2}$

Passaggio 1.2.3.1.4.2

Riordina i fattori in $- 9 e^{- 3 x^{3}} x^{2}$ .

$- 9 x^{2} e^{- 3 x^{3}}$

Passaggio 1.2.3.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$e^{5 \int \frac{1}{- 9} d u_{2}}$

Passaggio 1.2.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$e^{5 \int - \frac{1}{9} d u_{2}}$

Passaggio 1.2.5

Applica la regola costante.

$e^{5 (- \frac{1}{9} u_{2} + C)}$

Passaggio 1.2.6

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.2.6.1

Semplifica.

$e^{5 (- \frac{1}{9} u_{2}) + C}$

Passaggio 1.2.6.2

Semplifica.

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Passaggio 1.2.6.2.1

$u_{2}$ e $\frac{1}{9}$ .

$e^{5 (- \frac{u_{2}}{9}) + C}$

Passaggio 1.2.6.2.2

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$e^{- 5 \frac{u_{2}}{9} + C}$

Passaggio 1.2.6.2.3

$- 5$ e $\frac{u_{2}}{9}$ .

$e^{\frac{- 5 u_{2}}{9} + C}$

Passaggio 1.2.6.2.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$e^{- \frac{5 u_{2}}{9} + C}$

Passaggio 1.2.6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $e^{- 3 x^{3}}$ .

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9} + C}$

Passaggio 1.2.6.4

Riordina i termini.

$e^{- \frac{5}{9} e^{- 3 x^{3}} + C}$

Passaggio 1.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{- \frac{5}{9} e^{- 3 x^{3}}}$

Passaggio 1.4

$e^{- 3 x^{3}}$ e $\frac{5}{9}$ .

$e^{- \frac{e^{- 3 x^{3}} \cdot 5}{9}}$

Passaggio 1.5

Sposta $5$ alla sinistra di $e^{- 3 x^{3}}$ .

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}$

Passaggio 2

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}$ .

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Passaggio 2.1

Moltiplica ogni termine per $e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}$ .

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \frac{d y}{d x} + e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} (\frac{5 x^{2}}{e^{3 x^{3}}} y) = e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \cdot 0$

Passaggio 2.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.2.1

$\frac{5 x^{2}}{e^{3 x^{3}}}$ e $y$ .

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \frac{d y}{d x} + e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \frac{5 x^{2} y}{e^{3 x^{3}}} = e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \cdot 0$

Passaggio 2.2.2

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}$ e $\frac{5 x^{2} y}{e^{3 x^{3}}}$ .

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} (5 x^{2} y)}{e^{3 x^{3}}} = e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \cdot 0$

Passaggio 2.2.3

Elimina il fattore comune di $e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}$ e $e^{3 x^{3}}$ .

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Passaggio 2.2.3.1

Scomponi $e^{3 x^{3}}$ da $e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} (5 x^{2} y)$ .

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{3 x^{3}} (e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9} - 3 x^{3}} (5 x^{2} y))}{e^{3 x^{3}}} = e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \cdot 0$

Passaggio 2.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 2.2.3.2.1

Moltiplica per $1$ .

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{3 x^{3}} (e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9} - 3 x^{3}} (5 x^{2} y))}{e^{3 x^{3}} \cdot 1} = e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \cdot 0$

Passaggio 2.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{3 x^{3}} (e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9} - 3 x^{3}} (5 x^{2} y))}{e^{3 x^{3}} \cdot 1} = e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \cdot 0$

Passaggio 2.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9} - 3 x^{3}} (5 x^{2} y)}{1} = e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \cdot 0$

Passaggio 2.2.3.2.4

Dividi $e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9} - 3 x^{3}} (5 x^{2} y)$ per $1$ .

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \frac{d y}{d x} + e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9} - 3 x^{3}} (5 x^{2} y) = e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \cdot 0$

Passaggio 2.2.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \frac{d y}{d x} + 5 e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9} - 3 x^{3}} (x^{2} y) = e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \cdot 0$

Passaggio 2.3

Moltiplica $e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}$ per $0$ .

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \frac{d y}{d x} + 5 e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9} - 3 x^{3}} (x^{2} y) = 0$

Passaggio 2.4

Riordina i fattori in $e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \frac{d y}{d x} + 5 e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9} - 3 x^{3}} (x^{2} y) = 0$ .

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \frac{d y}{d x} + 5 x^{2} y e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9} - 3 x^{3}} = 0$

Passaggio 3

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} y] = 0$

Passaggio 4

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} y] d x = \int 0 d x$

Passaggio 5

Integra il lato sinistro.

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} y = \int 0 d x$

Passaggio 6

Integra il lato destro.

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Passaggio 6.1

L'integrale di $0$ rispetto a $x$ è $0$ .

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} y = 0 + C$

Passaggio 6.2

Somma $0$ e $C$ .

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} y = C$

Passaggio 7

Dividi per $e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}$ ciascun termine in $e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} y = C$ e semplifica.

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Passaggio 7.1

Dividi per $e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}$ ciascun termine in $e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} y = C$ .

$\frac{e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} y}{e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}} = \frac{C}{e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 7.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}$ .

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Passaggio 7.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} y}{e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}} = \frac{C}{e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}}$

Passaggio 7.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{C}{e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}}$