Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 \sqrt{x}} + 3$ , $y (9) = 1$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = (\frac{1}{2 \sqrt{x}} + 3) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int \frac{1}{2 \sqrt{x}} + 3 d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 \sqrt{x}} + 3 d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x + \int 3 d x$

Passaggio 2.3.2

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x + \int 3 d x$

Passaggio 2.3.3

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 2.3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \int 3 d x$

Passaggio 2.3.3.2

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x + \int 3 d x$

Passaggio 2.3.3.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 2.3.3.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x + \int 3 d x$

Passaggio 2.3.3.3.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int x^{\frac{- 1}{2}} d x + \int 3 d x$

Passaggio 2.3.3.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int 3 d x$

Passaggio 2.3.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}) + \int 3 d x$

Passaggio 2.3.5

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}) + 3 x + C_{3}$

Passaggio 2.3.6

Semplifica.

$y + C_{1} = x^{\frac{1}{2}} + 3 x + C_{4}$

Passaggio 2.3.7

Riordina i termini.

$y + C_{1} = 3 x + x^{\frac{1}{2}} + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = 3 x + x^{\frac{1}{2}} + K$

Passaggio 3

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $K$ sostituendo $x$ con $9$ e $y$ con $1$ in $y = 3 x + x^{\frac{1}{2}} + K$ .

$1 = 3 \cdot 9 + 9^{\frac{1}{2}} + K$

Passaggio 4

Risolvi per $K$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $3 \cdot 9 + 9^{\frac{1}{2}} + K = 1$ .

$3 \cdot 9 + 9^{\frac{1}{2}} + K = 1$

Passaggio 4.2

Semplifica $3 \cdot 9 + 9^{\frac{1}{2}} + K$ .

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Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.1

Moltiplica $3$ per $9$ .

$27 + 9^{\frac{1}{2}} + K = 1$

Passaggio 4.2.1.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$27 + {(3^{2})}^{\frac{1}{2}} + K = 1$

Passaggio 4.2.1.3

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 + 3^{2 (\frac{1}{2})} + K = 1$

Passaggio 4.2.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.2.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$27 + 3^{2 (\frac{1}{2})} + K = 1$

Passaggio 4.2.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$27 + 3^{1} + K = 1$

Passaggio 4.2.1.5

Calcola l'esponente.

$27 + 3 + K = 1$

Passaggio 4.2.2

Somma $27$ e $3$ .

$30 + K = 1$

Passaggio 4.3

Sposta tutti i termini non contenenti $K$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.3.1

Sottrai $30$ da entrambi i lati dell'equazione.

$K = 1 - 30$

Passaggio 4.3.2

Sottrai $30$ da $1$ .

$K = - 29$

Passaggio 5

Sostituisci $- 29$ a $K$ in $y = 3 x + x^{\frac{1}{2}} + K$ e semplifica.

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Passaggio 5.1

Sostituisci $- 29$ a $K$ .

$y = 3 x + x^{\frac{1}{2}} - 29$