Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{y^{2}}{x^{2}} - 1}$

Passaggio 1

Riscrivi $\frac{y^{2}}{x^{2}}$ come ${(\frac{y}{x})}^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{{(\frac{y}{x})}^{2} - 1}$

Passaggio 2

Sia $V = \frac{y}{x}$ . Sostituisci $V$ a $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V + \sqrt{V^{2} - 1}$

Passaggio 3

Risolvi $V = \frac{y}{x}$ per $y$ .

$y = V x$

Passaggio 4

Usa la regola del prodotto per trovare la derivata di $y = V x$ rispetto a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Passaggio 5

Sostituisci $x \frac{d V}{d x} + V$ a $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{V^{2} - 1}$

Passaggio 6

Risolvi l'equazione differenziale sostituita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Risolvi per $\frac{d V}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{V^{2} - 1^{2}}$

Passaggio 6.1.1.1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = V$ e $b = 1$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)}$

Passaggio 6.1.1.2

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d V}{d x}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.2.1

Sottrai $V$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x \frac{d V}{d x} = V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} - V$

Passaggio 6.1.1.2.2

Combina i termini opposti in $V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} - V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.2.2.1

Sottrai $V$ da $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = 0 + \sqrt{(V + 1) (V - 1)}$

Passaggio 6.1.1.2.2.2

Somma $0$ e $\sqrt{(V + 1) (V - 1)}$ .

$x \frac{d V}{d x} = \sqrt{(V + 1) (V - 1)}$

Passaggio 6.1.1.3

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d V}{d x} = \sqrt{(V + 1) (V - 1)}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d V}{d x} = \sqrt{(V + 1) (V - 1)}$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.2.1.2

Dividi $\frac{d V}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}}{x}$

Passaggio 6.1.2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}} \cdot \frac{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}}{x}$

Passaggio 6.1.3

Elimina il fattore comune di $\sqrt{(V + 1) (V - 1)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}} \cdot \frac{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}}{x}$

Passaggio 6.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Passaggio 6.1.4

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}} d V = \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Completa il quadrato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1.1

Espandi $(V + 1) (V - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$V (V - 1) + 1 (V - 1)$

Passaggio 6.2.2.1.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$V \cdot V + V \cdot - 1 + 1 (V - 1)$

Passaggio 6.2.2.1.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$V \cdot V + V \cdot - 1 + 1 V + 1 \cdot - 1$

Passaggio 6.2.2.1.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1.2.1.1

Moltiplica $V$ per $V$ .

$V^{2} + V \cdot - 1 + 1 V + 1 \cdot - 1$

Passaggio 6.2.2.1.1.2.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $V$ .

$V^{2} - 1 \cdot V + 1 V + 1 \cdot - 1$

Passaggio 6.2.2.1.1.2.1.3

Riscrivi $- 1 V$ come $- V$ .

$V^{2} - V + 1 V + 1 \cdot - 1$

Passaggio 6.2.2.1.1.2.1.4

Moltiplica $V$ per $1$ .

$V^{2} - V + V + 1 \cdot - 1$

Passaggio 6.2.2.1.1.2.1.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$V^{2} - V + V - 1$

Passaggio 6.2.2.1.1.2.2

Somma $- V$ e $V$ .

$V^{2} + 0 - 1$

Passaggio 6.2.2.1.1.2.3

Somma $V^{2}$ e $0$ .

$V^{2} - 1$

Passaggio 6.2.2.1.2

usa la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 1$

$b = 0$

$c = - 1$

Passaggio 6.2.2.1.3

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 6.2.2.1.4

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.4.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.2.2.1.4.2

Elimina il fattore comune di $0$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.4.2.1

Scomponi $2$ da $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.2.2.1.4.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.4.2.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 (1)}$

Passaggio 6.2.2.1.4.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.2.2.1.4.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{0}{1}$

Passaggio 6.2.2.1.4.2.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$d = 0$

Passaggio 6.2.2.1.5

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.5.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 1 - \frac{0^{2}}{4 \cdot 1}$

Passaggio 6.2.2.1.5.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.5.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$e = - 1 - \frac{0}{4 \cdot 1}$

Passaggio 6.2.2.1.5.2.1.2

Moltiplica $4$ per $1$ .

$e = - 1 - \frac{0}{4}$

Passaggio 6.2.2.1.5.2.1.3

Dividi $0$ per $4$ .

$e = - 1 - 0$

Passaggio 6.2.2.1.5.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$e = - 1 + 0$

Passaggio 6.2.2.1.5.2.2

Somma $- 1$ e $0$ .

$e = - 1$

Passaggio 6.2.2.1.6

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella formula del vertice di ${(V + 0)}^{2} - 1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(V + 0)}^{2} - 1}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.2

Sia $u = V + 0$ . Allora $d u = d V$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.1

Sia $u = V + 0$ . Trova $\frac{d u}{d V}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.1.1

Differenzia $V + 0$ .

$\frac{d}{d V} [V + 0]$

Passaggio 6.2.2.2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $V + 0$ rispetto a $V$ è $\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [0]$ .

$\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [0]$

Passaggio 6.2.2.2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ è $n V^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d V} [0]$

Passaggio 6.2.2.2.1.4

Poiché $0$ è costante rispetto a $V$ , la derivata di $0$ rispetto a $V$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 6.2.2.2.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 6.2.2.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u^{2} - 1}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3

Sia $u = \sec (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d u = \sec (t) \tan (t) d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sec (t) \tan (t)$ è positivo.

$\int \frac{1}{\sqrt{\sec^{2} (t) - 1}} (\sec (t) \tan (t)) d t = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.4

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.4.1

Semplifica $\sqrt{\sec^{2} (t) - 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.4.1.1

Applica l'identità pitagorica.

$\int \frac{1}{\sqrt{\tan^{2} (t)}} (\sec (t) \tan (t)) d t = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.4.1.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\int \frac{1}{\tan (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.4.2

Elimina il fattore comune di $\tan (t)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.4.2.1

Scomponi $\tan (t)$ da $\sec (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{1}{\tan (t)} (\tan (t) \sec (t)) d t = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{1}{\tan (t)} (\tan (t) \sec (t)) d t = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\int \sec (t) d t = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.5

L'integrale di $\sec (t)$ rispetto a $t$ è $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.6

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.6.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $t$ con $arcsec (u)$ .

$\ln (| \sec (arcsec (u)) + \tan (arcsec (u)) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.6.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $V + 0$ .

$\ln (| \sec (arcsec (V + 0)) + \tan (arcsec (V + 0)) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.7.1

Somma $V$ e $0$ .

$\ln (| \sec (arcsec (V)) + \tan (arcsec (V + 0)) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.7.2

Somma $V$ e $0$ .

$\ln (| \sec (arcsec (V)) + \tan (arcsec (V)) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.3

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$\ln (| \sec (arcsec (V)) + \tan (arcsec (V)) |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Passaggio 6.2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| \sec (arcsec (V)) + \tan (arcsec (V)) |) = \ln (| x |) + C$

Passaggio 6.3

Risolvi per $V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (| \sec (arcsec (V)) + \tan (arcsec (V)) |) - \ln (| x |) = C$

Passaggio 6.3.2

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| \sec (arcsec (V)) + \tan (arcsec (V)) |}{| x |}) = C$

Passaggio 6.3.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Le funzioni secante e arcosecante sono inverse.

$\ln (\frac{| V + \tan (arcsec (V)) |}{| x |}) = C$

Passaggio 6.3.3.2

Disegna un triangolo sul piano con i vertici $(1, \sqrt{V^{2} - 1^{2}})$ , $(1, 0)$ e l'origine. Poi $arcsec (V)$ è l'angolo tra l'asse x positivo e il raggio che inizia dall'origine e passa attraverso $(1, \sqrt{V^{2} - 1^{2}})$ . Perciò, $\tan (arcsec (V))$ è $\sqrt{V^{2} - 1}$ .

$\ln (\frac{| V + \sqrt{V^{2} - 1} |}{| x |}) = C$

Passaggio 6.3.3.3

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\ln (\frac{| V + \sqrt{V^{2} - 1^{2}} |}{| x |}) = C$

Passaggio 6.3.3.4

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = V$ e $b = 1$ .

$\ln (\frac{| V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} |}{| x |}) = C$

Passaggio 6.3.4

Per risolvere per $V$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (\frac{| V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} |}{| x |})} = e^{C}$

Passaggio 6.3.5

Riscrivi $\ln (\frac{| V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} |}{| x |}) = C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} |}{| x |}$

Passaggio 6.3.6

Risolvi per $V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.6.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{| V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} |}{| x |} = e^{C}$ .

$\frac{| V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} |}{| x |} = e^{C}$

Passaggio 6.3.6.2

Moltiplica ogni lato per $| x |$ .

$\frac{| V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

Passaggio 6.3.6.3

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.6.3.1

Elimina il fattore comune di $| x |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.6.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{| V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

Passaggio 6.3.6.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$| V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} | = e^{C} | x |$

Passaggio 6.3.6.4

Risolvi per $V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.6.4.1

Riordina i fattori in $e^{C} | x |$ .

$| V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} | = | x | e^{C}$

Passaggio 6.3.6.4.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} = \pm | x | e^{C}$

Passaggio 6.3.6.4.3

Risolvi per $\sqrt{(V + 1) (V - 1)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.6.4.3.1

Riordina i fattori in $\pm | x | e^{C}$ .

$V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} = \pm e^{C} | x |$

Passaggio 6.3.6.4.3.2

Sottrai $V$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\sqrt{(V + 1) (V - 1)} = \pm e^{C} | x | - V$

Passaggio 6.3.6.4.4

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{(V + 1) (V - 1)}}^{2} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Passaggio 6.3.6.4.5

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.6.4.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{(V + 1) (V - 1)}$ come ${((V + 1) (V - 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({((V + 1) (V - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Passaggio 6.3.6.4.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.6.4.5.2.1

Semplifica ${({((V + 1) (V - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.6.4.5.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({((V + 1) (V - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.6.4.5.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${((V + 1) (V - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Passaggio 6.3.6.4.5.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.6.4.5.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${((V + 1) (V - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Passaggio 6.3.6.4.5.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${((V + 1) (V - 1))}^{1} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Passaggio 6.3.6.4.5.2.1.2

Espandi $(V + 1) (V - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.6.4.5.2.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

${(V (V - 1) + 1 (V - 1))}^{1} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Passaggio 6.3.6.4.5.2.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

${(V \cdot V + V \cdot - 1 + 1 (V - 1))}^{1} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Passaggio 6.3.6.4.5.2.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

${(V \cdot V + V \cdot - 1 + 1 V + 1 \cdot - 1)}^{1} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Passaggio 6.3.6.4.5.2.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.6.4.5.2.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.6.4.5.2.1.3.1.1

Moltiplica $V$ per $V$ .

${(V^{2} + V \cdot - 1 + 1 V + 1 \cdot - 1)}^{1} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Passaggio 6.3.6.4.5.2.1.3.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $V$ .

${(V^{2} - 1 \cdot V + 1 V + 1 \cdot - 1)}^{1} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Passaggio 6.3.6.4.5.2.1.3.1.3

Riscrivi $- 1 V$ come $- V$ .

${(V^{2} - V + 1 V + 1 \cdot - 1)}^{1} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Passaggio 6.3.6.4.5.2.1.3.1.4

Moltiplica $V$ per $1$ .

${(V^{2} - V + V + 1 \cdot - 1)}^{1} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Passaggio 6.3.6.4.5.2.1.3.1.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

${(V^{2} - V + V - 1)}^{1} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Passaggio 6.3.6.4.5.2.1.3.2

Somma $- V$ e $V$ .

${(V^{2} + 0 - 1)}^{1} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Passaggio 6.3.6.4.5.2.1.3.3

Somma $V^{2}$ e $0$ .

${(V^{2} - 1)}^{1} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Passaggio 6.3.6.4.5.2.1.4

Semplifica.

$V^{2} - 1 = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

Passaggio 6.3.6.4.5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.6.4.5.3.1

Semplifica ${(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.6.4.5.3.1.1

Riscrivi ${(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$ come $(\pm e^{C} | x | - V) (\pm e^{C} | x | - V)$ .

$V^{2} - 1 = (\pm e^{C} | x | - V) (\pm e^{C} | x | - V)$

Passaggio 6.3.6.4.5.3.1.2

Espandi $(\pm e^{C} | x | - V) (\pm e^{C} | x | - V)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.6.4.5.3.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$V^{2} - 1 = (\pm e^{C} | x |) (\pm e^{C} | x | - V) - V (\pm e^{C} | x | - V)$

Passaggio 6.3.6.4.5.3.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$V^{2} - 1 = (\pm e^{C} | x |) (\pm e^{C} | x |) + (\pm e^{C} | x |) (- V) - V (\pm e^{C} | x | - V)$

Passaggio 6.3.6.4.5.3.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$V^{2} - 1 = (\pm e^{C} | x |) (\pm e^{C} | x |) + (\pm e^{C} | x |) (- V) - V (\pm e^{C} | x |) - V (- V)$

Passaggio 6.3.6.4.5.3.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.6.4.5.3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.6.4.5.3.1.3.1.1

Moltiplica $(\pm e^{C} | x |) (\pm e^{C} | x |)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.6.4.5.3.1.3.1.1.1

Eleva $\pm e^{C} | x |$ alla potenza di $1$ .

$V^{2} - 1 = {(\pm e^{C} | x |)}^{1} (\pm e^{C} | x |) + (\pm e^{C} | x |) (- V) - V (\pm e^{C} | x |) - V (- V)$

Passaggio 6.3.6.4.5.3.1.3.1.1.2

Eleva $\pm e^{C} | x |$ alla potenza di $1$ .

$V^{2} - 1 = {(\pm e^{C} | x |)}^{1} {(\pm e^{C} | x |)}^{1} + (\pm e^{C} | x |) (- V) - V (\pm e^{C} | x |) - V (- V)$

Passaggio 6.3.6.4.5.3.1.3.1.1.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$V^{2} - 1 = {(\pm e^{C} | x |)}^{1 + 1} + (\pm e^{C} | x |) (- V) - V (\pm e^{C} | x |) - V (- V)$

Passaggio 6.3.6.4.5.3.1.3.1.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$V^{2} - 1 = {(\pm e^{C} | x |)}^{2} + (\pm e^{C} | x |) (- V) - V (\pm e^{C} | x |) - V (- V)$

Passaggio 6.3.6.4.5.3.1.3.1.2

Remove the plus-minus sign on $\pm e^{C} | x |$ because it is raised to an even power.

$V^{2} - 1 = {(e^{C} | x |)}^{2} + (\pm e^{C} | x |) (- V) - V (\pm e^{C} | x |) - V (- V)$

Passaggio 6.3.6.4.5.3.1.3.1.3

Applica la regola del prodotto a $e^{C} | x |$ .

$V^{2} - 1 = {(e^{C})}^{2} {| x |}^{2} + (\pm e^{C} | x |) (- V) - V (\pm e^{C} | x |) - V (- V)$

Passaggio 6.3.6.4.5.3.1.3.1.4

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{C})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.6.4.5.3.1.3.1.4.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V^{2} - 1 = e^{C \cdot 2} {| x |}^{2} + (\pm e^{C} | x |) (- V) - V (\pm e^{C} | x |) - V (- V)$

Passaggio 6.3.6.4.5.3.1.3.1.4.2

Sposta $2$ alla sinistra di $C$ .

$V^{2} - 1 = e^{2 C} {| x |}^{2} + (\pm e^{C} | x |) (- V) - V (\pm e^{C} | x |) - V (- V)$

Passaggio 6.3.6.4.5.3.1.3.1.5

Rimuovi il valore assoluto in ${| x |}^{2}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$V^{2} - 1 = e^{2 C} x^{2} + (\pm e^{C} | x |) (- V) - V (\pm e^{C} | x |) - V (- V)$

Passaggio 6.3.6.4.5.3.1.3.1.6

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$V^{2} - 1 = e^{2 C} x^{2} - (\pm e^{C} | x |) V - V (\pm e^{C} | x |) - V (- V)$

Passaggio 6.3.6.4.5.3.1.3.1.7

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$V^{2} - 1 = e^{2 C} x^{2} - (\pm e^{C} | x |) V - V (\pm e^{C} | x |) - 1 \cdot - 1 V \cdot V$

Passaggio 6.3.6.4.5.3.1.3.1.8

Moltiplica $V$ per $V$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.6.4.5.3.1.3.1.8.1

Sposta $V$ .

$V^{2} - 1 = e^{2 C} x^{2} - (\pm e^{C} | x |) V - V (\pm e^{C} | x |) - 1 \cdot - 1 (V \cdot V)$

Passaggio 6.3.6.4.5.3.1.3.1.8.2

Moltiplica $V$ per $V$ .

$V^{2} - 1 = e^{2 C} x^{2} - (\pm e^{C} | x |) V - V (\pm e^{C} | x |) - 1 \cdot - 1 V^{2}$

Passaggio 6.3.6.4.5.3.1.3.1.9

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$V^{2} - 1 = e^{2 C} x^{2} - (\pm e^{C} | x |) V - V (\pm e^{C} | x |) + 1 V^{2}$

Passaggio 6.3.6.4.5.3.1.3.1.10

Moltiplica $V^{2}$ per $1$ .

$V^{2} - 1 = e^{2 C} x^{2} - (\pm e^{C} | x |) V - V (\pm e^{C} | x |) + V^{2}$

Passaggio 6.3.6.4.5.3.1.3.2

Sottrai $V (\pm e^{C} | x |)$ da $- (\pm e^{C} | x |) V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.6.4.5.3.1.3.2.1

Sposta $\pm e^{C} | x |$ .

$V^{2} - 1 = e^{2 C} x^{2} - 1 V (\pm e^{C} | x |) - V (\pm e^{C} | x |) + V^{2}$

Passaggio 6.3.6.4.5.3.1.3.2.2

Sottrai $V (\pm e^{C} | x |)$ da $- 1 V (\pm e^{C} | x |)$ .

$V^{2} - 1 = e^{2 C} x^{2} - 2 V (\pm e^{C} | x |) + V^{2}$

Passaggio 6.3.6.4.5.3.1.4

Riordina i fattori in $e^{2 C} x^{2} - 2 V (\pm e^{C} | x |) + V^{2}$ .

$V^{2} - 1 = x^{2} e^{2 C} - 2 V (\pm e^{C} | x |) + V^{2}$

Passaggio 6.3.6.4.6

Risolvi per $V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.6.4.6.1

Poiché $V$ si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$x^{2} e^{2 C} - 2 V (\pm e^{C} | x |) + V^{2} = V^{2} - 1$

Passaggio 6.3.6.4.6.2

Sposta tutti i termini contenenti $V$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.6.4.6.2.1

Sottrai $V^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} e^{2 C} - 2 V (\pm e^{C} | x |) + V^{2} - V^{2} = - 1$

Passaggio 6.3.6.4.6.2.2

Combina i termini opposti in $x^{2} e^{2 C} - 2 V (\pm e^{C} | x |) + V^{2} - V^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.6.4.6.2.2.1

Sottrai $V^{2}$ da $V^{2}$ .

$x^{2} e^{2 C} - 2 V (\pm e^{C} | x |) + 0 = - 1$

Passaggio 6.3.6.4.6.2.2.2

Somma $x^{2} e^{2 C} - 2 V (\pm e^{C} | x |)$ e $0$ .

$x^{2} e^{2 C} - 2 V (\pm e^{C} | x |) = - 1$

Passaggio 6.3.6.4.6.3

Sottrai $x^{2} e^{2 C}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 V (\pm e^{C} | x |) = - 1 - x^{2} e^{2 C}$

Passaggio 6.3.6.4.6.4

Dividi per $- 2 (\pm e^{C} | x |)$ ciascun termine in $- 2 V (\pm e^{C} | x |) = - 1 - x^{2} e^{2 C}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.6.4.6.4.1

Dividi per $- 2 (\pm e^{C} | x |)$ ciascun termine in $- 2 V (\pm e^{C} | x |) = - 1 - x^{2} e^{2 C}$ .

$\frac{- 2 V (\pm e^{C} | x |)}{- 2 (\pm e^{C} | x |)} = \frac{- 1}{- 2 (\pm e^{C} | x |)} + \frac{- x^{2} e^{2 C}}{- 2 (\pm e^{C} | x |)}$

Passaggio 6.3.6.4.6.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.6.4.6.4.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.6.4.6.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 V (\pm e^{C} | x |)}{- 2 (\pm e^{C} | x |)} = \frac{- 1}{- 2 (\pm e^{C} | x |)} + \frac{- x^{2} e^{2 C}}{- 2 (\pm e^{C} | x |)}$

Passaggio 6.3.6.4.6.4.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{V (\pm e^{C} | x |)}{\pm e^{C} | x |} = \frac{- 1}{- 2 (\pm e^{C} | x |)} + \frac{- x^{2} e^{2 C}}{- 2 (\pm e^{C} | x |)}$

Passaggio 6.3.6.4.6.4.2.2

Elimina il fattore comune di $\pm e^{C} | x |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.6.4.6.4.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{V (\pm e^{C} | x |)}{\pm e^{C} | x |} = \frac{- 1}{- 2 (\pm e^{C} | x |)} + \frac{- x^{2} e^{2 C}}{- 2 (\pm e^{C} | x |)}$

Passaggio 6.3.6.4.6.4.2.2.2

Dividi $V$ per $1$ .

$V = \frac{- 1}{- 2 (\pm e^{C} | x |)} + \frac{- x^{2} e^{2 C}}{- 2 (\pm e^{C} | x |)}$

Passaggio 6.3.6.4.6.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.6.4.6.4.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.6.4.6.4.3.1.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$V = \frac{1}{2 (\pm e^{C} | x |)} + \frac{- x^{2} e^{2 C}}{- 2 (\pm e^{C} | x |)}$

Passaggio 6.3.6.4.6.4.3.1.2

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$V = \frac{1}{2 (\pm e^{C} | x |)} + \frac{x^{2} e^{2 C}}{2 (\pm e^{C} | x |)}$

Passaggio 6.4

Raggruppa i termini costanti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Semplifica la costante dell'integrazione.

$V = \frac{1}{2 (\pm C | x |)} + \frac{x^{2} C}{2 (\pm C | x |)}$

Passaggio 6.4.2

Combina costanti con il più o il meno.

$V = \frac{1}{2 (C | x |)} + \frac{x^{2} C}{2 (\pm C | x |)}$

Passaggio 6.4.3

Combina costanti con il più o il meno.

$V = \frac{1}{2 (C | x |)} + \frac{x^{2} C}{2 (C | x |)}$

Passaggio 7

Sostituisci $\frac{y}{x}$ a $V$ .

$\frac{y}{x} = \frac{1}{2 (C | x |)} + \frac{x^{2} C}{2 (C | x |)}$

Passaggio 8

Risolvi $\frac{y}{x} = \frac{1}{2 (C | x |)} + \frac{x^{2} C}{2 (C | x |)}$ per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Moltiplica ogni lato per $x$ .

$\frac{y}{x} x = (\frac{1}{2 C | x |} + \frac{x^{2} C}{2 C | x |}) x$

Passaggio 8.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y}{x} x = (\frac{1}{2 C | x |} + \frac{x^{2} C}{2 C | x |}) x$

Passaggio 8.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y = (\frac{1}{2 C | x |} + \frac{x^{2} C}{2 C | x |}) x$

Passaggio 8.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Semplifica $(\frac{1}{2 C | x |} + \frac{x^{2} C}{2 C | x |}) x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1.1

Elimina il fattore comune di $C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$y = (\frac{1}{2 C | x |} + \frac{x^{2} C}{2 C | x |}) x$

Passaggio 8.2.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y = (\frac{1}{2 C | x |} + \frac{x^{2}}{2 | x |}) x$

Passaggio 8.2.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{1}{2 C | x |} x + \frac{x^{2}}{2 | x |} x$

Passaggio 8.2.2.1.3

$\frac{1}{2 C | x |}$ e $x$ .

$y = \frac{x}{2 C | x |} + \frac{x^{2}}{2 | x |} x$

Passaggio 8.2.2.1.4

Moltiplica $\frac{x^{2}}{2 | x |} x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1.4.1

$\frac{x^{2}}{2 | x |}$ e $x$ .

$y = \frac{x}{2 C | x |} + \frac{x^{2} x}{2 | x |}$

Passaggio 8.2.2.1.4.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1.4.2.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1.4.2.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$y = \frac{x}{2 C | x |} + \frac{x^{2} x^{1}}{2 | x |}$

Passaggio 8.2.2.1.4.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = \frac{x}{2 C | x |} + \frac{x^{2 + 1}}{2 | x |}$

Passaggio 8.2.2.1.4.2.2

Somma $2$ e $1$ .

$y = \frac{x}{2 C | x |} + \frac{x^{3}}{2 | x |}$