Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} - x y + y^{2}}{x y}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale come una funzione di $\frac{y}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Dividi $\frac{x^{2} - x y + y^{2}}{x y}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Dividi la frazione $\frac{x^{2} - x y + y^{2}}{x y}$ in due frazioni.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} - x y}{x y} + \frac{y^{2}}{x y}$

Passaggio 1.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.1

Scomponi $x$ da $x^{2} - x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.1.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x - x y}{x y} + \frac{y^{2}}{x y}$

Passaggio 1.1.2.1.1.2

Scomponi $x$ da $- x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x + x (- 1 y)}{x y} + \frac{y^{2}}{x y}$

Passaggio 1.1.2.1.1.3

Scomponi $x$ da $x \cdot x + x (- 1 y)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (x - 1 y)}{x y} + \frac{y^{2}}{x y}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Riscrivi $- 1 y$ come $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (x - y)}{x y} + \frac{y^{2}}{x y}$

Passaggio 1.1.2.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (x - y)}{x y} + \frac{y^{2}}{x y}$

Passaggio 1.1.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x - y}{y} + \frac{y^{2}}{x y}$

Passaggio 1.1.2.3

Dividi la frazione $\frac{x - y}{y}$ in due frazioni.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} + \frac{- y}{y} + \frac{y^{2}}{x y}$

Passaggio 1.1.2.4

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} + \frac{- y}{y} + \frac{y^{2}}{x y}$

Passaggio 1.1.2.4.2

Dividi $- 1$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} - 1 + \frac{y^{2}}{x y}$

Passaggio 1.1.2.5

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ e $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.1

Scomponi $y$ da $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} - 1 + \frac{y \cdot y}{x y}$

Passaggio 1.1.2.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.2.1

Scomponi $y$ da $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} - 1 + \frac{y \cdot y}{y x}$

Passaggio 1.1.2.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} - 1 + \frac{y \cdot y}{y x}$

Passaggio 1.1.2.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} - 1 + \frac{y}{x}$

Passaggio 1.2

Riscrivi $\frac{x}{y}$ come ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = {(\frac{y}{x})}^{- 1} - 1 + \frac{y}{x}$

Passaggio 2

Sia $V = \frac{y}{x}$ . Sostituisci $V$ a $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V^{- 1} - 1 + V$

Passaggio 3

Risolvi $V = \frac{y}{x}$ per $y$ .

$y = V x$

Passaggio 4

Usa la regola del prodotto per trovare la derivata di $y = V x$ rispetto a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Passaggio 5

Sostituisci $x \frac{d V}{d x} + V$ a $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V^{- 1} - 1 + V$

Passaggio 6

Risolvi l'equazione differenziale sostituita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Risolvi per $\frac{d V}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1}{V} - 1 + V$

Passaggio 6.1.1.2

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d V}{d x}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.2.1

Sottrai $V$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} - 1 + V - V$

Passaggio 6.1.1.2.2

Combina i termini opposti in $\frac{1}{V} - 1 + V - V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.2.2.1

Sottrai $V$ da $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} - 1 + 0$

Passaggio 6.1.1.2.2.2

Somma $\frac{1}{V} - 1$ e $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} - 1$

Passaggio 6.1.1.3

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} - 1$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{V}}{x} + \frac{- 1}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{V}}{x} + \frac{- 1}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.2.1.2

Dividi $\frac{d V}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{V}}{x} + \frac{- 1}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.3.1.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} \cdot \frac{1}{x} + \frac{- 1}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.1.2

Moltiplica $\frac{1}{V}$ per $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x} + \frac{- 1}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x} - \frac{1}{x}$

Passaggio 6.1.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1

Per scrivere $- \frac{1}{x}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{V}{V}$

Passaggio 6.1.2.2

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $V x$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.2.1

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x} - \frac{V}{x V}$

Passaggio 6.1.2.2.2

Riordina i fattori di $x V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x} - \frac{V}{V x}$

Passaggio 6.1.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 - V}{V x}$

Passaggio 6.1.3

Raggruppa i fattori.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 - V}{V} \cdot \frac{1}{x}$

Passaggio 6.1.4

Moltiplica ogni lato per $\frac{V}{1 - V}$ .

$\frac{V}{1 - V} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 - V} (\frac{1 - V}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Passaggio 6.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.5.1

Moltiplica $\frac{1 - V}{V}$ per $\frac{1}{x}$ .

$\frac{V}{1 - V} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 - V} \cdot \frac{1 - V}{V x}$

Passaggio 6.1.5.2

Elimina il fattore comune di $V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.5.2.1

Scomponi $V$ da $V x$ .

$\frac{V}{1 - V} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 - V} \cdot \frac{1 - V}{V (x)}$

Passaggio 6.1.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{V}{1 - V} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 - V} \cdot \frac{1 - V}{V x}$

Passaggio 6.1.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{V}{1 - V} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{1 - V} \cdot \frac{1 - V}{x}$

Passaggio 6.1.5.3

Elimina il fattore comune di $1 - V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.5.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{V}{1 - V} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{1 - V} \cdot \frac{1 - V}{x}$

Passaggio 6.1.5.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{V}{1 - V} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Passaggio 6.1.6

Riscrivi l'equazione.

$\frac{V}{1 - V} d V = \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{V}{1 - V} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Riordina $1$ e $- V$ .

$\int \frac{V}{- V + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.2

Dividi $V$ per $- V + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$V$

$1$

$V$

$0$

Passaggio 6.2.2.2.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $V$ per il termine di ordine più alto nel divisore $- V$ .

				-	$1$
-	$V$	+	$1$		$V$	+	$0$

Passaggio 6.2.2.2.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				-	$1$
-	$V$	+	$1$		$V$	+	$0$
				+	$V$	-	$1$

Passaggio 6.2.2.2.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $V - 1$

				-	$1$
-	$V$	+	$1$		$V$	+	$0$
				-	$V$	+	$1$

Passaggio 6.2.2.2.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				-	$1$
-	$V$	+	$1$		$V$	+	$0$
				-	$V$	+	$1$
						+	$1$

Passaggio 6.2.2.2.6

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$\int - 1 + \frac{1}{- V + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int - 1 d V + \int \frac{1}{- V + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.4

Applica la regola costante.

$- V + C_{1} + \int \frac{1}{- V + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.5

Sia $u = - V + 1$ . Allora $d u = - d V$ , quindi $- d u = d V$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.5.1

Sia $u = - V + 1$ . Trova $\frac{d u}{d V}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.5.1.1

Riscrivi.

$\frac{- 1}{1}$

Passaggio 6.2.2.5.1.2

Dividi $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 6.2.2.5.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$- V + C_{1} + \int \frac{- 1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- V + C_{1} + \int - \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- V + C_{1} - \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.8

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$- V + C_{1} - (\ln (| u |) + C_{2}) = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.9

Semplifica.

$- V - \ln (| u |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.10

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- V + 1$ .

$- V - \ln (| - V + 1 |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.3

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$- V - \ln (| - V + 1 |) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4}$

Passaggio 6.2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$- V - \ln (| - V + 1 |) = \ln (| x |) + C$

Passaggio 7

Sostituisci $\frac{y}{x}$ a $V$ .

$- \frac{y}{x} - \ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = \ln (| x |) + C$

Passaggio 8

Risolvi $- \frac{y}{x} - \ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = \ln (| x |) + C$ per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$- \ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) - \ln (| x |) = \frac{y}{x} + C$

Passaggio 8.2

Somma $\ln (| x |)$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- \ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = \frac{y}{x} + C + \ln (| x |)$

Passaggio 8.3

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = \frac{y}{x} + C + \ln (| x |)$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = \frac{y}{x} + C + \ln (| x |)$ .

$\frac{- \ln (| - \frac{y}{x} + 1 |)}{- 1} = \frac{\frac{y}{x}}{- 1} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Passaggio 8.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |)}{1} = \frac{\frac{y}{x}}{- 1} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Passaggio 8.3.2.2

Dividi $\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |)$ per $1$ .

$\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = \frac{\frac{y}{x}}{- 1} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Passaggio 8.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.3.1.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{\frac{y}{x}}{- 1}$ .

$\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = - 1 \cdot \frac{y}{x} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Passaggio 8.3.3.1.2

Riscrivi $- 1 \cdot \frac{y}{x}$ come $- \frac{y}{x}$ .

$\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = - \frac{y}{x} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Passaggio 8.3.3.1.3

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = - \frac{y}{x} - 1 \cdot C + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Passaggio 8.3.3.1.4

Riscrivi $- 1 \cdot C$ come $- C$ .

$\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = - \frac{y}{x} - C + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Passaggio 8.3.3.1.5

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{\ln (| x |)}{- 1}$ .

$\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = - \frac{y}{x} - C - 1 \cdot \ln (| x |)$

Passaggio 8.3.3.1.6

Riscrivi $- 1 \cdot \ln (| x |)$ come $- \ln (| x |)$ .

$\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = - \frac{y}{x} - C - \ln (| x |)$

Passaggio 8.4

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) + \ln (| x |) = - \frac{y}{x} - C$

Passaggio 8.5

Usa la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| - \frac{y}{x} + 1 | | x |) = - \frac{y}{x} - C$

Passaggio 8.6

Per moltiplicare dei valori assoluti, moltiplica i termini all'interno di ciascun valore assoluto.

$\ln (| (- \frac{y}{x} + 1) x |) = - \frac{y}{x} - C$

Passaggio 8.7

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (| - \frac{y}{x} \cdot x + 1 x |) = - \frac{y}{x} - C$

Passaggio 8.8

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.8.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{y}{x}$ nel numeratore.

$\ln (| \frac{- y}{x} \cdot x + 1 x |) = - \frac{y}{x} - C$

Passaggio 8.8.2

Elimina il fattore comune.

$\ln (| \frac{- y}{x} \cdot x + 1 x |) = - \frac{y}{x} - C$

Passaggio 8.8.3

Riscrivi l'espressione.

$\ln (| - y + 1 x |) = - \frac{y}{x} - C$

Passaggio 8.9

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\ln (| - y + x |) = - \frac{y}{x} - C$