Calcolo Esempi

$x \frac{d y}{d x} + y = 3 x^{2}$

Passaggio 1

Verifica se il lato sinistro dell'equazione sia il risultato della derivata del termine $x y$ .

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Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

Passaggio 1.4

Sostituisci $\frac{d y}{d x}$ a $y'$ .

$x \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

Passaggio 1.5

Riordina $y$ e $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

Passaggio 1.6

Moltiplica $y$ per $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + y$

Passaggio 2

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [x y] = 3 x^{2}$

Passaggio 3

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int 3 x^{2} d x$

Passaggio 4

Integra il lato sinistro.

$x y = \int 3 x^{2} d x$

Passaggio 5

Integra il lato destro.

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Passaggio 5.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$x y = 3 \int x^{2} d x$

Passaggio 5.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$x y = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Passaggio 5.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Riscrivi $3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ come $3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$ .

$x y = 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Passaggio 5.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

$3$ e $\frac{1}{3}$ .

$x y = \frac{3}{3} x^{3} + C$

Passaggio 5.3.2.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$x y = \frac{3}{3} x^{3} + C$

Passaggio 5.3.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x y = 1 x^{3} + C$

Passaggio 5.3.2.3

Moltiplica $x^{3}$ per $1$ .

$x y = x^{3} + C$

Passaggio 6

Dividi per $x$ ciascun termine in $x y = x^{3} + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $x y = x^{3} + C$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{x^{3}}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 6.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x y}{x} = \frac{x^{3}}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 6.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 6.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Elimina il fattore comune di $x^{3}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1

Scomponi $x$ da $x^{3}$ .

$y = \frac{x \cdot x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 6.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$y = \frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} + \frac{C}{x}$

Passaggio 6.3.1.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$y = \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Passaggio 6.3.1.2.3

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Passaggio 6.3.1.2.4

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{x^{2}}{1} + \frac{C}{x}$

Passaggio 6.3.1.2.5

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$y = x^{2} + \frac{C}{x}$