Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = (1 + y^{2}) \tan (x)$ , $y (0) = \sqrt{3}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{1 + y^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) \tan (x))$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $1 + y^{2}$ .

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Passaggio 1.2.1

Scomponi $1 + y^{2}$ da $(1 + y^{2}) \tan (x)$ .

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) (\tan (x)))$

Passaggio 1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) \tan (x))$

Passaggio 1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \tan (x)$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = \tan (x) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int \tan (x) d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int \tan (x) d x$

Passaggio 2.2.2

L'integrale di $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ rispetto a $y$ è $\arctan (y) + C_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int \tan (x) d x$

Passaggio 2.3

L'integrale di $\tan (x)$ rispetto a $x$ è $\ln (| \sec (x) |)$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \ln (| \sec (x) |) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\arctan (y) = \ln (| \sec (x) |) + C$

Passaggio 3

Trova l'arcotangente inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $y$ da dentro l'arcotangente.

$y = \tan (\ln (| \sec (x) |) + C)$

Passaggio 4

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $C$ sostituendo $x$ con $0$ e $y$ con $\sqrt{3}$ in $y = \tan (\ln (| \sec (x) |) + C)$ .

$\sqrt{3} = \tan (\ln (| \sec (0) |) + C)$

Passaggio 5

Risolvi per $C$ .

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Passaggio 5.1

Riscrivi l'equazione come $\tan (\ln (| \sec (0) |) + C) = \sqrt{3}$ .

$\tan (\ln (| \sec (0) |) + C) = \sqrt{3}$

Passaggio 5.2

Trova il valore dell'incognita $C$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$| \sec (0) | = \arctan (\sqrt{3})$

Passaggio 5.3

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.3.1

Semplifica $| \sec (0) |$ .

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Passaggio 5.3.1.1

Il valore esatto di $\sec (0)$ è $1$ .

$| 1 | = \arctan (\sqrt{3})$

Passaggio 5.3.1.2

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$1 = \arctan (\sqrt{3})$

Passaggio 5.4

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.4.1

Il valore esatto di $\arctan (\sqrt{3})$ è $\frac{π}{3}$ .

$1 = \frac{π}{3}$

Passaggio 5.5

Dividi $3.14159265$ per $3$ .

$1 = 1.04719755$

Passaggio 5.6

Poiché $1 \neq 1.04719755$ , non ci sono soluzioni.

Nessuna soluzione

Passaggio 5.7

La funzione tangente è positiva nel primo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, aggiungi l'angolo di riferimento da $π$ per determinare la soluzione nel quarto quadrante.

$1 = π + \frac{π}{3}$

Passaggio 5.8

Risolvi per $C$ .

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Passaggio 5.8.1

Semplifica $(3.14159265) + \frac{3.14159265}{3}$ .

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Passaggio 5.8.1.1

Dividi $3.14159265$ per $3$ .

$1 = 3.14159265 + 1.04719755$

Passaggio 5.8.1.2

Somma $3.14159265$ e $1.04719755$ .

$1 = 4.1887902$

Passaggio 5.8.2

Poiché $1 \neq 4.1887902$ , non ci sono soluzioni.

$Nessuna soluzione$