Calcolo Esempi

$(6 x - 5) \frac{d x}{d y} = \frac{- 3 x^{2} + 5 x + 1}{y}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{- 3 x^{2} + 5 x + 1}$ .

$\frac{1}{- 3 x^{2} + 5 x + 1} ((6 x - 5) \frac{d x}{d y}) = \frac{1}{- 3 x^{2} + 5 x + 1} \cdot \frac{- 3 x^{2} + 5 x + 1}{y}$

Passaggio 1.2

Semplifica.

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Passaggio 1.2.1

Moltiplica $\frac{1}{- 3 x^{2} + 5 x + 1}$ per $\frac{- 3 x^{2} + 5 x + 1}{y}$ .

$\frac{1}{- 3 x^{2} + 5 x + 1} ((6 x - 5) \frac{d x}{d y}) = \frac{- 3 x^{2} + 5 x + 1}{(- 3 x^{2} + 5 x + 1) y}$

Passaggio 1.2.2

Elimina il fattore comune di $- 3 x^{2} + 5 x + 1$ .

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Passaggio 1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{- 3 x^{2} + 5 x + 1} ((6 x - 5) \frac{d x}{d y}) = \frac{- 3 x^{2} + 5 x + 1}{(- 3 x^{2} + 5 x + 1) y}$

Passaggio 1.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{- 3 x^{2} + 5 x + 1} ((6 x - 5) \frac{d x}{d y}) = \frac{1}{y}$

Passaggio 1.3

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$\frac{1}{- 3 x^{2} + 5 x + 1} (6 x - 5) \frac{d x}{d y} = \frac{1}{y}$

Passaggio 1.4

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{- 3 x^{2} + 5 x + 1} (6 x - 5) d x = \frac{1}{y} d y$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{- 3 x^{2} + 5 x + 1} (6 x - 5) d x = \int \frac{1}{y} d y$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Sia $u = - 3 x^{2} + 5 x + 1$ . Allora $d u = (- 6 x + 5) d x$ , quindi $- d u = (6 x - 5) d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.2.1.1

Sia $u = - 3 x^{2} + 5 x + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.2.1.1.1

Differenzia $- 3 x^{2} + 5 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2} + 5 x + 1]$

Passaggio 2.2.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 3 x^{2} + 5 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2.1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.3.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2.1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2.1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$- 6 x + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2.1.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.4.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 x + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2.1.1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 6 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2.1.1.4.3

Moltiplica $5$ per $1$ .

$- 6 x + 5 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2.1.1.5

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 2.2.1.1.5.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 6 x + 5 + 0$

Passaggio 2.2.1.1.5.2

Somma $- 6 x + 5$ e $0$ .

$- 6 x + 5$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int \frac{1}{y} d y$

Passaggio 2.2.2

Suddividi la frazione in frazioni multiple.

$\int - \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{y} d y$

Passaggio 2.2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{y} d y$

Passaggio 2.2.4

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{y} d y$

Passaggio 2.2.5

Semplifica.

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y$

Passaggio 2.2.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- 3 x^{2} + 5 x + 1$ .

$- \ln (| - 3 x^{2} + 5 x + 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y$

Passaggio 2.3

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$- \ln (| - 3 x^{2} + 5 x + 1 |) + C_{1} = \ln (| y |) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$- \ln (| - 3 x^{2} + 5 x + 1 |) = \ln (| y |) + C$