Calcolo Esempi

cari $\frac{d y}{d x}$ jika $4 x y - 3 y = 1$

Passaggio 1

Scrivi il problema come espressione matematica.

$\frac{d y}{d x} \cdot 4 x y - 3 y = 1$

Passaggio 2

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Risolvi per $\frac{d y}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Sposta $4$ alla sinistra di $\frac{d y}{d x}$ .

$4 \frac{d y}{d x} x y - 3 y = 1$

Passaggio 2.1.2

Somma $3 y$ a entrambi i lati dell'equazione.

$4 \frac{d y}{d x} x y = 1 + 3 y$

Passaggio 2.1.3

Dividi per $4 x y$ ciascun termine in $4 \frac{d y}{d x} x y = 1 + 3 y$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Dividi per $4 x y$ ciascun termine in $4 \frac{d y}{d x} x y = 1 + 3 y$ .

$\frac{4 \frac{d y}{d x} x y}{4 x y} = \frac{1}{4 x y} + \frac{3 y}{4 x y}$

Passaggio 2.1.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 \frac{d y}{d x} x y}{4 x y} = \frac{1}{4 x y} + \frac{3 y}{4 x y}$

Passaggio 2.1.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{d y}{d x} x y}{x y} = \frac{1}{4 x y} + \frac{3 y}{4 x y}$

Passaggio 2.1.3.2.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{d y}{d x} x y}{x y} = \frac{1}{4 x y} + \frac{3 y}{4 x y}$

Passaggio 2.1.3.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{d y}{d x} y}{y} = \frac{1}{4 x y} + \frac{3 y}{4 x y}$

Passaggio 2.1.3.2.3

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{d y}{d x} y}{y} = \frac{1}{4 x y} + \frac{3 y}{4 x y}$

Passaggio 2.1.3.2.3.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 x y} + \frac{3 y}{4 x y}$

Passaggio 2.1.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.3.1

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 x y} + \frac{3 y}{4 x y}$

Passaggio 2.1.3.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 x y} + \frac{3}{4 x}$

Passaggio 2.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Per scrivere $\frac{3}{4 x}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 x y} + \frac{3}{4 x} \cdot \frac{y}{y}$

Passaggio 2.2.2

Moltiplica $\frac{3}{4 x}$ per $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 x y} + \frac{3 y}{4 x y}$

Passaggio 2.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + 3 y}{4 x y}$

Passaggio 2.3

Raggruppa i fattori.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + 3 y}{4 y} \cdot \frac{1}{x}$

Passaggio 2.4

Moltiplica ogni lato per $\frac{4 y}{1 + 3 y}$ .

$\frac{4 y}{1 + 3 y} \frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{1 + 3 y} (\frac{1 + 3 y}{4 y} \cdot \frac{1}{x})$

Passaggio 2.5

Semplifica.

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Passaggio 2.5.1

Moltiplica $\frac{1 + 3 y}{4 y}$ per $\frac{1}{x}$ .

$\frac{4 y}{1 + 3 y} \frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{1 + 3 y} \cdot \frac{1 + 3 y}{4 y x}$

Passaggio 2.5.2

Elimina il fattore comune di $4 y$ .

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Passaggio 2.5.2.1

Scomponi $4 y$ da $4 y x$ .

$\frac{4 y}{1 + 3 y} \frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{1 + 3 y} \cdot \frac{1 + 3 y}{4 y (x)}$

Passaggio 2.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 y}{1 + 3 y} \frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{1 + 3 y} \cdot \frac{1 + 3 y}{4 y x}$

Passaggio 2.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4 y}{1 + 3 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + 3 y} \cdot \frac{1 + 3 y}{x}$

Passaggio 2.5.3

Elimina il fattore comune di $1 + 3 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 y}{1 + 3 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + 3 y} \cdot \frac{1 + 3 y}{x}$

Passaggio 2.5.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4 y}{1 + 3 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Passaggio 2.6

Riscrivi l'equazione.

$\frac{4 y}{1 + 3 y} d y = \frac{1}{x} d x$

Passaggio 3

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 3.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{4 y}{1 + 3 y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 3.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 3.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $y$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$4 \int \frac{y}{1 + 3 y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 3.2.2

Riordina $1$ e $3 y$ .

$4 \int \frac{y}{3 y + 1} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 3.2.3

Dividi $y$ per $3 y + 1$ .

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Passaggio 3.2.3.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$3 y$

$1$

$y$

$0$

Passaggio 3.2.3.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $y$ per il termine di ordine più alto nel divisore $3 y$ .

					$\frac{1}{3}$
	$3 y$	+	$1$		$y$	+	$0$

Passaggio 3.2.3.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$\frac{1}{3}$
$3 y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			+	$y$	+	$\frac{1}{3}$

Passaggio 3.2.3.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $y + \frac{1}{3}$

				$\frac{1}{3}$
$3 y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$\frac{1}{3}$

Passaggio 3.2.3.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$\frac{1}{3}$
$3 y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$\frac{1}{3}$
					-	$\frac{1}{3}$

Passaggio 3.2.3.6

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$4 \int \frac{1}{3} - \frac{1}{3 (3 y + 1)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 3.2.4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$4 (\int \frac{1}{3} d y + \int - \frac{1}{3 (3 y + 1)} d y) = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 3.2.5

Applica la regola costante.

$4 (\frac{1}{3} y + C_{1} + \int - \frac{1}{3 (3 y + 1)} d y) = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 3.2.6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$4 (\frac{1}{3} y + C_{1} - \int \frac{1}{3 (3 y + 1)} d y) = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 3.2.7

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $y$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$4 (\frac{1}{3} y + C_{1} - (\frac{1}{3} \int \frac{1}{3 y + 1} d y)) = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 3.2.8

$\frac{1}{3}$ e $y$ .

$4 (\frac{y}{3} + C_{1} - \frac{1}{3} \int \frac{1}{3 y + 1} d y) = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 3.2.9

Sia $u = 3 y + 1$ . Allora $d u = 3 d y$ , quindi $\frac{1}{3} d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 3.2.9.1

Sia $u = 3 y + 1$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

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Passaggio 3.2.9.1.1

Differenzia $3 y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [3 y + 1]$

Passaggio 3.2.9.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 y + 1$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 3.2.9.1.3

Calcola $\frac{d}{d y} [3 y]$ .

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Passaggio 3.2.9.1.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $3 y$ rispetto a $y$ è $3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$3 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 3.2.9.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 3.2.9.1.3.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3 + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 3.2.9.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.9.1.4.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$3 + 0$

Passaggio 3.2.9.1.4.2

Somma $3$ e $0$ .

$3$

Passaggio 3.2.9.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$4 (\frac{y}{3} + C_{1} - \frac{1}{3} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 3.2.10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.10.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{3}$ .

$4 (\frac{y}{3} + C_{1} - \frac{1}{3} \int \frac{1}{u \cdot 3} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 3.2.10.2

Sposta $3$ alla sinistra di $u$ .

$4 (\frac{y}{3} + C_{1} - \frac{1}{3} \int \frac{1}{3 u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 3.2.11

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$4 (\frac{y}{3} + C_{1} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u)) = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 3.2.12

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.12.1

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{1}{3}$ .

$4 (\frac{y}{3} + C_{1} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 3.2.12.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$4 (\frac{y}{3} + C_{1} - \frac{1}{9} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 3.2.13

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$4 (\frac{y}{3} + C_{1} - \frac{1}{9} (\ln (| u |) + C_{2})) = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 3.2.14

Semplifica.

$4 (\frac{1}{3} y - \frac{1}{9} \ln (| u |)) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 3.2.15

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 y + 1$ .

$4 (\frac{1}{3} y - \frac{1}{9} \ln (| 3 y + 1 |)) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 3.3

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$4 (\frac{1}{3} y - \frac{1}{9} \ln (| 3 y + 1 |)) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4}$

Passaggio 3.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$4 (\frac{1}{3} y - \frac{1}{9} \ln (| 3 y + 1 |)) = \ln (| x |) + C$