Calcolo Esempi

${(y \ln (x))}^{- 1} \frac{d y}{d x} = {(\frac{x}{y + 1})}^{2}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Dividi per ${(y \ln (x))}^{- 1}$ ciascun termine in ${(y \ln (x))}^{- 1} \frac{d y}{d x} = {(\frac{x}{y + 1})}^{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Dividi per ${(y \ln (x))}^{- 1}$ ciascun termine in ${(y \ln (x))}^{- 1} \frac{d y}{d x} = {(\frac{x}{y + 1})}^{2}$ .

$\frac{{(y \ln (x))}^{- 1} \frac{d y}{d x}}{{(y \ln (x))}^{- 1}} = \frac{{(\frac{x}{y + 1})}^{2}}{{(y \ln (x))}^{- 1}}$

Passaggio 1.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Elimina il fattore comune di ${(y \ln (x))}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{{(y \ln (x))}^{- 1} \frac{d y}{d x}}{{(y \ln (x))}^{- 1}} = \frac{{(\frac{x}{y + 1})}^{2}}{{(y \ln (x))}^{- 1}}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{{(\frac{x}{y + 1})}^{2}}{{(y \ln (x))}^{- 1}}$

Passaggio 1.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Sposta ${(y \ln (x))}^{- 1}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$\frac{d y}{d x} = {(\frac{x}{y + 1})}^{2} (y \ln (x))$

Passaggio 1.1.3.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{x}{y + 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{{(y + 1)}^{2}} (y \ln (x))$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $\frac{x^{2}}{{(y + 1)}^{2}} (y \ln (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1

$y$ e $\frac{x^{2}}{{(y + 1)}^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y x^{2}}{{(y + 1)}^{2}} \ln (x)$

Passaggio 1.1.3.3.2

$\frac{y x^{2}}{{(y + 1)}^{2}}$ e $\ln (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y x^{2} \ln (x)}{{(y + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2

Raggruppa i fattori.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{{(y + 1)}^{2}} x^{2} \ln (x)$

Passaggio 1.3

Moltiplica ogni lato per $\frac{{(y + 1)}^{2}}{y}$ .

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{{(y + 1)}^{2}}{y} (\frac{y}{{(y + 1)}^{2}} x^{2} \ln (x))$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

$\frac{y}{{(y + 1)}^{2}}$ e $x^{2}$ .

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{{(y + 1)}^{2}}{y} (\frac{y x^{2}}{{(y + 1)}^{2}} \ln (x))$

Passaggio 1.4.2

$\frac{y x^{2}}{{(y + 1)}^{2}}$ e $\ln (x)$ .

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{{(y + 1)}^{2}}{y} \cdot \frac{y x^{2} \ln (x)}{{(y + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.4.3

Combina.

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{{(y + 1)}^{2} (y x^{2} \ln (x))}{y {(y + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.4.4

Elimina il fattore comune di ${(y + 1)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{{(y + 1)}^{2} (y x^{2} \ln (x))}{y {(y + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y x^{2} \ln (x)}{y}$

Passaggio 1.4.5

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y x^{2} \ln (x)}{y}$

Passaggio 1.4.5.2

Dividi $x^{2} \ln (x)$ per $1$ .

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = x^{2} \ln (x)$

Passaggio 1.5

Riscrivi l'equazione.

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{y} d y = x^{2} \ln (x) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{{(y + 1)}^{2}}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Riscrivi ${(y + 1)}^{2}$ come $(y + 1) (y + 1)$ .

$\int \frac{(y + 1) (y + 1)}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

Passaggio 2.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\int \frac{y (y + 1) + 1 (y + 1)}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

Passaggio 2.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\int \frac{y \cdot y + y \cdot 1 + 1 (y + 1)}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

Passaggio 2.2.4

Applica la proprietà distributiva.

$\int \frac{y \cdot y + y \cdot 1 + 1 y + 1 \cdot 1}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

Passaggio 2.2.5

Riordina $y$ e $1$ .

$\int \frac{y \cdot y + 1 \cdot y + 1 y + 1 \cdot 1}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

Passaggio 2.2.6

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\int \frac{y^{1} y + 1 y + 1 y + 1 \cdot 1}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

Passaggio 2.2.7

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\int \frac{y^{1} y^{1} + 1 y + 1 y + 1 \cdot 1}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

Passaggio 2.2.8

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int \frac{y^{1 + 1} + 1 y + 1 y + 1 \cdot 1}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

Passaggio 2.2.9

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.9.1

Somma $1$ e $1$ .

$\int \frac{y^{2} + 1 y + 1 y + 1 \cdot 1}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

Passaggio 2.2.9.2

Moltiplica $y$ per $1$ .

$\int \frac{y^{2} + y + 1 y + 1 \cdot 1}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

Passaggio 2.2.9.3

Moltiplica $y$ per $1$ .

$\int \frac{y^{2} + y + y + 1 \cdot 1}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

Passaggio 2.2.9.4

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\int \frac{y^{2} + y + y + 1}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

Passaggio 2.2.10

Somma $y$ e $y$ .

$\int \frac{y^{2} + 2 y + 1}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

Passaggio 2.2.11

Dividi $y^{2} + 2 y + 1$ per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.11.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$y$

$0$

$y^{2}$

$2 y$

$1$

Passaggio 2.2.11.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $y^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $y$ .

					$y$
	$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$2 y$	+	$1$

Passaggio 2.2.11.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$2 y$	+	$1$
			+	$y^{2}$	+	$0$

Passaggio 2.2.11.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $y^{2} + 0$

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$

Passaggio 2.2.11.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					+	$2 y$

Passaggio 2.2.11.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					+	$2 y$	+	$1$

Passaggio 2.2.11.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $2 y$ per il termine di ordine più alto nel divisore $y$ .

				$y$	+	$2$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					+	$2 y$	+	$1$

Passaggio 2.2.11.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$y$	+	$2$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					+	$2 y$	+	$1$
					+	$2 y$	+	$0$

Passaggio 2.2.11.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $2 y + 0$

				$y$	+	$2$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					+	$2 y$	+	$1$
					-	$2 y$	-	$0$

Passaggio 2.2.11.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$y$	+	$2$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					+	$2 y$	+	$1$
					-	$2 y$	-	$0$
							+	$1$

Passaggio 2.2.11.11

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$\int y + 2 + \frac{1}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

Passaggio 2.2.12

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int y d y + \int 2 d y + \int \frac{1}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

Passaggio 2.2.13

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int 2 d y + \int \frac{1}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

Passaggio 2.2.14

Applica la regola costante.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + 2 y + C_{2} + \int \frac{1}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

Passaggio 2.2.15

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + 2 y + C_{2} + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{2} \ln (x) d x$

Passaggio 2.2.16

Semplifica.

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \int x^{2} \ln (x) d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \ln (x)$ e $d v = x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \ln (x) (\frac{1}{3} x^{3}) - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \ln (x) \frac{x^{3}}{3} - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.3.2.2

$\ln (x)$ e $\frac{x^{3}}{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.3.3

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int x^{3} \frac{1}{x} d x)$

Passaggio 2.3.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1

$x^{3}$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x^{3}}{x} d x)$

Passaggio 2.3.4.2

Elimina il fattore comune di $x^{3}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.2.1

Scomponi $x$ da $x^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x \cdot x^{2}}{x} d x)$

Passaggio 2.3.4.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} d x)$

Passaggio 2.3.4.2.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} d x)$

Passaggio 2.3.4.2.2.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} d x)$

Passaggio 2.3.4.2.2.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x^{2}}{1} d x)$

Passaggio 2.3.4.2.2.5

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int x^{2} d x)$

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \int x^{2} d x$

Passaggio 2.3.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{5})$

Passaggio 2.3.6

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.1

Riscrivi $\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{5})$ come $\frac{1}{3} \ln (x) x^{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C_{5}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{1}{3} \ln (x) x^{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C_{5}$

Passaggio 2.3.6.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.2.1

$\frac{1}{3}$ e $\ln (x)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{\ln (x)}{3} x^{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C_{5}$

Passaggio 2.3.6.2.2

$\frac{\ln (x)}{3}$ e $x^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C_{5}$

Passaggio 2.3.6.2.3

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} x^{3} + C_{5}$

Passaggio 2.3.6.2.4

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{9} x^{3} + C_{5}$

Passaggio 2.3.6.3

$x^{3}$ e $\frac{1}{9}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9} + C_{5}$

Passaggio 2.3.6.4

Riordina i termini.

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{1}{3} \ln (x) x^{3} - \frac{1}{9} x^{3} + C_{5}$

Passaggio 2.3.7

Riordina i termini.

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{5}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) = \frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C$