Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = \sqrt{y}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale per adattarla al metodo di Bernoulli.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{y}$ come $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = y^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1.2

Scomponi $y$ da $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x} = y^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1.3

Riordina $y$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = y^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2

Per risolvere l'equazione differenziale, sia $v = y^{1 - n}$ , dove $n$ è l'esponente di $y^{\frac{1}{2}}$ .

$v = y^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 3

Risolvi l'equazione per $y$ .

$y = v^{2}$

Passaggio 4

Trova la derivata di $y$ rispetto a $x$ .

$y' = v^{2}$

Passaggio 5

Trova la derivata di $v^{2}$ rispetto a $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la derivata di $v^{2}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{2}]$

Passaggio 5.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $v$ .

$y' = \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [v]$

Passaggio 5.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$y' = 2 u \frac{d}{d x} [v]$

Passaggio 5.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $v$ .

$y' = 2 v \frac{d}{d x} [v]$

Passaggio 5.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [v]$ come $v'$ .

$y' = 2 v v'$

Passaggio 6

Sostituisci $2 v v'$ a $\frac{d y}{d x}$ e $v^{2}$ a $y$ nell'equazione originale $\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 v v' + \frac{1}{x} v^{2} = {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 7

Risolvi l'equazione differenziale sostituita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Riscrivi l'equazione differenziale come $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Dividi per $2 v$ ciascun termine in $2 v \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v^{2} = {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.1

Dividi per $2 v$ ciascun termine in $2 v \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v^{2} = {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 v \frac{d v}{d x}}{2 v} + \frac{\frac{1}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Passaggio 7.1.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.2.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 v \frac{d v}{d x}}{2 v} + \frac{\frac{1}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Passaggio 7.1.1.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{v \frac{d v}{d x}}{v} + \frac{\frac{1}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Passaggio 7.1.1.2.1.2

Elimina il fattore comune di $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{v \frac{d v}{d x}}{v} + \frac{\frac{1}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Passaggio 7.1.1.2.1.2.2

Dividi $\frac{d v}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{\frac{1}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Passaggio 7.1.1.2.1.3

Elimina il fattore comune di $v^{2}$ e $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.2.1.3.1

Scomponi $v$ da $\frac{1}{x} v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v (\frac{1}{x} v)}{2 v} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Passaggio 7.1.1.2.1.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.2.1.3.2.1

Scomponi $v$ da $2 v$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v (\frac{1}{x} v)}{v \cdot 2} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Passaggio 7.1.1.2.1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v (\frac{1}{x} v)}{v \cdot 2} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Passaggio 7.1.1.2.1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d v}{d x} + \frac{\frac{1}{x} v}{2} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Passaggio 7.1.1.2.1.4

$\frac{1}{x}$ e $v$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{\frac{v}{x}}{2} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Passaggio 7.1.1.2.1.5

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} \cdot \frac{1}{2} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Passaggio 7.1.1.2.1.6

Moltiplica $\frac{v}{x}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x \cdot 2} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Passaggio 7.1.1.2.1.7

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Passaggio 7.1.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.3.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.3.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x} = \frac{v^{2 (\frac{1}{2})}}{2 v}$

Passaggio 7.1.1.3.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.3.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x} = \frac{v^{2 (\frac{1}{2})}}{2 v}$

Passaggio 7.1.1.3.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x} = \frac{v^{1}}{2 v}$

Passaggio 7.1.1.3.1.2

Semplifica.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x} = \frac{v}{2 v}$

Passaggio 7.1.1.3.2

Elimina il fattore comune di $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x} = \frac{v}{2 v}$

Passaggio 7.1.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x} = \frac{1}{2}$

Passaggio 7.1.2

Scomponi $v$ da $\frac{v}{2 x}$ .

$\frac{d v}{d x} + v \frac{1}{2 x} = \frac{1}{2}$

Passaggio 7.1.3

Riordina $v$ e $\frac{1}{2 x}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{2 x} v = \frac{1}{2}$

Passaggio 7.2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = \frac{1}{2 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int \frac{1}{2 x} d x}$

Passaggio 7.2.2

Integra $\frac{1}{2 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$e^{\frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 7.2.2.2

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$e^{\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C)}$

Passaggio 7.2.2.3

Semplifica.

$e^{\frac{1}{2} \ln (| x |) + C}$

Passaggio 7.2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{\frac{1}{2} \ln (x)}$

Passaggio 7.2.4

Usa la regola della potenza logaritmica.

$e^{\ln (x^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 7.2.5

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 7.3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $x^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Moltiplica ogni termine per $x^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2 x} v) = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

Passaggio 7.3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.1

$\frac{1}{2 x}$ e $v$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + x^{\frac{1}{2}} \frac{v}{2 x} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

Passaggio 7.3.2.2

$x^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{v}{2 x}$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{x^{\frac{1}{2}} v}{2 x} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

Passaggio 7.3.2.3

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

Passaggio 7.3.2.4

Moltiplica $x$ per $x^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.4.1

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 (x^{- \frac{1}{2}} x)} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

Passaggio 7.3.2.4.2

Moltiplica $x^{- \frac{1}{2}}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.4.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 (x^{- \frac{1}{2}} x^{1})} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

Passaggio 7.3.2.4.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x^{- \frac{1}{2} + 1}} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

Passaggio 7.3.2.4.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

Passaggio 7.3.2.4.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x^{\frac{- 1 + 2}{2}}} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

Passaggio 7.3.2.4.5

Somma $- 1$ e $2$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x^{\frac{1}{2}}} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

Passaggio 7.3.3

$x^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 7.4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} v] = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 7.5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} v] d x = \int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} d x$

Passaggio 7.6

Integra il lato sinistro.

$x^{\frac{1}{2}} v = \int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} d x$

Passaggio 7.7

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.7.1

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{1}{2} \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Passaggio 7.7.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{1}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

Passaggio 7.7.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.7.3.1

Riscrivi $\frac{1}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$ come $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$ .

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 7.7.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.7.3.2.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{2}{3}$ .

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{2}{2 \cdot 3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 7.7.3.2.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{2}{6} x^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 7.7.3.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.7.3.2.3.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{2 (1)}{6} x^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 7.7.3.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.7.3.2.3.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 7.7.3.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 7.7.3.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 7.8

Dividi per $x^{\frac{1}{2}}$ ciascun termine in $x^{\frac{1}{2}} v = \frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.8.1

Dividi per $x^{\frac{1}{2}}$ ciascun termine in $x^{\frac{1}{2}} v = \frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} v}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{\frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 7.8.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.8.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} v}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{\frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 7.8.2.2

Dividi $v$ per $1$ .

$v = \frac{\frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 7.8.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.8.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.8.3.1.1

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$v = \frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 7.8.3.1.2

Moltiplica $x^{\frac{3}{2}}$ per $x^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.8.3.1.2.1

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$v = \frac{1}{3} (x^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}) + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 7.8.3.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$v = \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{2} + \frac{3}{2}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 7.8.3.1.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$v = \frac{1}{3} x^{\frac{- 1 + 3}{2}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 7.8.3.1.2.4

Somma $- 1$ e $3$ .

$v = \frac{1}{3} x^{\frac{2}{2}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 7.8.3.1.2.5

Dividi $2$ per $2$ .

$v = \frac{1}{3} x^{1} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 7.8.3.1.3

Semplifica $\frac{1}{3} x^{1}$ .

$v = \frac{1}{3} x + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 7.8.3.1.4

$\frac{1}{3}$ e $x$ .

$v = \frac{x}{3} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 8

Sostituisci $y^{\frac{1}{2}}$ a $v$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{x}{3} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$