Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \csc (\frac{y}{x})$

Passaggio 1

Sia $V = \frac{y}{x}$ . Sostituisci $V$ a $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V + \csc (V)$

Passaggio 2

Risolvi $V = \frac{y}{x}$ per $y$ .

$y = V x$

Passaggio 3

Usa la regola del prodotto per trovare la derivata di $y = V x$ rispetto a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Passaggio 4

Sostituisci $x \frac{d V}{d x} + V$ a $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \csc (V)$

Passaggio 5

Risolvi l'equazione differenziale sostituita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Risolvi per $\frac{d V}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.1

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d V}{d x}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.1.1

Sottrai $V$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x \frac{d V}{d x} = V + \csc (V) - V$

Passaggio 5.1.1.1.2

Combina i termini opposti in $V + \csc (V) - V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.1.2.1

Sottrai $V$ da $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = 0 + \csc (V)$

Passaggio 5.1.1.1.2.2

Somma $0$ e $\csc (V)$ .

$x \frac{d V}{d x} = \csc (V)$

Passaggio 5.1.1.2

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d V}{d x} = \csc (V)$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.2.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d V}{d x} = \csc (V)$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\csc (V)}{x}$

Passaggio 5.1.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\csc (V)}{x}$

Passaggio 5.1.1.2.2.1.2

Dividi $\frac{d V}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\csc (V)}{x}$

Passaggio 5.1.2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{\csc (V)}$ .

$\frac{1}{\csc (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\csc (V)} \cdot \frac{\csc (V)}{x}$

Passaggio 5.1.3

Elimina il fattore comune di $\csc (V)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{\csc (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\csc (V)} \cdot \frac{\csc (V)}{x}$

Passaggio 5.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{\csc (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Passaggio 5.1.4

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{\csc (V)} d V = \frac{1}{x} d x$

Passaggio 5.2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{\csc (V)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 5.2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Riscrivi $\csc (V)$ in termini di seno e coseno.

$\int \frac{1}{\frac{1}{\sin (V)}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 5.2.2.1.2

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{\sin (V)}$ .

$\int 1 \sin (V) d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 5.2.2.1.3

Moltiplica $\sin (V)$ per $1$ .

$\int \sin (V) d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 5.2.2.2

L'integrale di $\sin (V)$ rispetto a $V$ è $- \cos (V)$ .

$- \cos (V) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 5.2.3

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$- \cos (V) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Passaggio 5.2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$- \cos (V) = \ln (| x |) + C$

Passaggio 5.3

Risolvi per $V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \cos (V) = \ln (| x |) + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \cos (V) = \ln (| x |) + C$ .

$\frac{- \cos (V)}{- 1} = \frac{\ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Passaggio 5.3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\cos (V)}{1} = \frac{\ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Passaggio 5.3.1.2.2

Dividi $\cos (V)$ per $1$ .

$\cos (V) = \frac{\ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Passaggio 5.3.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.3.1.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{\ln (| x |)}{- 1}$ .

$\cos (V) = - 1 \cdot \ln (| x |) + \frac{C}{- 1}$

Passaggio 5.3.1.3.1.2

Riscrivi $- 1 \cdot \ln (| x |)$ come $- \ln (| x |)$ .

$\cos (V) = - \ln (| x |) + \frac{C}{- 1}$

Passaggio 5.3.1.3.1.3

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{C}{- 1}$ .

$\cos (V) = - \ln (| x |) - 1 \cdot C$

Passaggio 5.3.1.3.1.4

Riscrivi $- 1 \cdot C$ come $- C$ .

$\cos (V) = - \ln (| x |) - C$

Passaggio 5.3.2

Trova il valore dell'incognita $V$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$V = \arccos (- \ln (| x |) - C)$

Passaggio 5.4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$V = \arccos (- \ln (| x |) + C)$

Passaggio 6

Sostituisci $\frac{y}{x}$ a $V$ .

$\frac{y}{x} = \arccos (- \ln (| x |) + C)$

Passaggio 7

Risolvi $\frac{y}{x} = \arccos (- \ln (| x |) + C)$ per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Moltiplica ogni lato per $x$ .

$\frac{y}{x} x = \arccos (- \ln (| x |) + C) x$

Passaggio 7.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y}{x} x = \arccos (- \ln (| x |) + C) x$

Passaggio 7.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \arccos (- \ln (| x |) + C) x$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Riordina i fattori in $\arccos (- \ln (| x |) + C) x$ .

$y = x \arccos (- \ln (| x |) + C)$