Calcolo Esempi

$\frac{d x}{d y} + 1 = e^{x + y}$

Passaggio 1

Sia $v = e^{x + y}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $e^{x + y}$ con $v$ .

$\frac{d x}{d y} + 1 = v$

Passaggio 2

Trova $\frac{d v}{d y}$ differenziando $e^{x + y}$ .

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = e^{y}$ e $g (y) = x + y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + y$ .

$\frac{d v}{d y} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x + y]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{d v}{d y} = e^{u} \frac{d}{d y} [x + y]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + y$ .

$\frac{d v}{d y} = e^{x + y} \frac{d}{d y} [x + y]$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + y$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d v}{d y} = e^{x + y} (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y])$

Passaggio 2.3

Riscrivi $\frac{d}{d y} [x]$ come $x'$ .

$\frac{d v}{d y} = e^{x + y} (x' + \frac{d}{d y} [y])$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{d v}{d y} = e^{x + y} (x' + 1)$

Passaggio 3

Sostituisci $v$ a $e^{x + y}$ .

$\frac{d v}{d y} = v (x' + 1)$

Passaggio 4

Sostituisci la derivata nell'equazione differenziale.

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Passaggio 4.1

Somma $- 1$ e $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d y}}{v} + 0 = v$

Passaggio 4.2

Somma $\frac{\frac{d v}{d y}}{v}$ e $0$ .

$\frac{\frac{d v}{d y}}{v} = v$

Passaggio 5

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Risolvi per $\frac{d v}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Moltiplica ogni lato per $v$ .

$\frac{\frac{d v}{d y}}{v} v = v \cdot v$

Passaggio 5.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1.1

Elimina il fattore comune di $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{d v}{d y}}{v} v = v \cdot v$

Passaggio 5.1.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d v}{d y} = v \cdot v$

Passaggio 5.1.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.2.1

Moltiplica $v$ per $v$ .

$\frac{d v}{d y} = v^{2}$

Passaggio 5.2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{v^{2}}$ .

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d y} = \frac{1}{v^{2}} v^{2}$

Passaggio 5.3

Elimina il fattore comune di $v^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d y} = \frac{1}{v^{2}} v^{2}$

Passaggio 5.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d y} = 1$

Passaggio 5.4

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{v^{2}} d v = 1 d y$

Passaggio 6

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 6.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{v^{2}} d v = \int d y$

Passaggio 6.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 6.2.1

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 6.2.1.1

Sposta $v^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int {(v^{2})}^{- 1} d v = \int d y$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(v^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 6.2.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int v^{2 \cdot - 1} d v = \int d y$

Passaggio 6.2.1.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\int v^{- 2} d v = \int d y$

Passaggio 6.2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $v^{- 2}$ rispetto a $v$ è $- v^{- 1}$ .

$- v^{- 1} + C_{1} = \int d y$

Passaggio 6.2.3

Riscrivi $- v^{- 1} + C_{1}$ come $- \frac{1}{v} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{v} + C_{1} = \int d y$

Passaggio 6.3

Applica la regola costante.

$- \frac{1}{v} + C_{1} = y + C_{2}$

Passaggio 6.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$- \frac{1}{v} = y + K$

Passaggio 7

Risolvi per $v$ .

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Passaggio 7.1

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

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Passaggio 7.1.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$v, 1, 1$

Passaggio 7.1.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$v$

Passaggio 7.2

Moltiplica per $v$ ciascun termine in $- \frac{1}{v} = y + K$ per eliminare le frazioni.

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Passaggio 7.2.1

Moltiplica ogni termine in $- \frac{1}{v} = y + K$ per $v$ .

$- \frac{1}{v} v = y v + K v$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 7.2.2.1

Elimina il fattore comune di $v$ .

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Passaggio 7.2.2.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{v}$ nel numeratore.

$\frac{- 1}{v} v = y v + K v$

Passaggio 7.2.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1}{v} v = y v + K v$

Passaggio 7.2.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$- 1 = y v + K v$

Passaggio 7.3

Risolvi l'equazione.

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Passaggio 7.3.1

Riscrivi l'equazione come $y v + K v = - 1$ .

$y v + K v = - 1$

Passaggio 7.3.2

Scomponi $v$ da $y v + K v$ .

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Passaggio 7.3.2.1

Scomponi $v$ da $y v$ .

$v y + K v = - 1$

Passaggio 7.3.2.2

Scomponi $v$ da $K v$ .

$v y + v K = - 1$

Passaggio 7.3.2.3

Scomponi $v$ da $v y + v K$ .

$v (y + K) = - 1$

Passaggio 7.3.3

Dividi per $y + K$ ciascun termine in $v (y + K) = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.1

Dividi per $y + K$ ciascun termine in $v (y + K) = - 1$ .

$\frac{v (y + K)}{y + K} = \frac{- 1}{y + K}$

Passaggio 7.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $y + K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{v (y + K)}{y + K} = \frac{- 1}{y + K}$

Passaggio 7.3.3.2.1.2

Dividi $v$ per $1$ .

$v = \frac{- 1}{y + K}$

Passaggio 7.3.3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 7.3.3.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$v = - \frac{1}{y + K}$

Passaggio 8

Sostituisci tutte le occorrenze di $v$ con $e^{x + y}$ .

$e^{x + y} = - \frac{1}{y + K}$

Passaggio 9

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 9.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x + y}) = \ln (- \frac{1}{y + K})$

Passaggio 9.2

Espandi il lato sinistro.

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Passaggio 9.2.1

Espandi $\ln (e^{x + y})$ spostando $x + y$ fuori dal logaritmo.

$(x + y) \ln (e) = \ln (- \frac{1}{y + K})$

Passaggio 9.2.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$(x + y) \cdot 1 = \ln (- \frac{1}{y + K})$

Passaggio 9.2.3

Moltiplica $x + y$ per $1$ .

$x + y = \ln (- \frac{1}{y + K})$

Passaggio 9.3

Sottrai $y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = \ln (- \frac{1}{y + K}) - y$