Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = c_{1} x^{2} + c_{2} e^{2 x}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = (c_{1} x^{2} + c_{2} e^{2 x}) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int c_{1} x^{2} + c_{2} e^{2 x} d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int c_{1} x^{2} + c_{2} e^{2 x} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$y + C_{1} = \int c_{1} x^{2} d x + \int c_{2} e^{2 x} d x$

Passaggio 2.3.2

Poiché $c_{1}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $c_{1}$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = c_{1} \int x^{2} d x + \int c_{2} e^{2 x} d x$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = c_{1} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int c_{2} e^{2 x} d x$

Passaggio 2.3.4

Poiché $c_{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $c_{2}$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = c_{1} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + c_{2} \int e^{2 x} d x$

Passaggio 2.3.5

Sia $u = 2 x$ . Allora $d u = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.3.5.1

Sia $u = 2 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.3.5.1.1

Differenzia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 2.3.5.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.5.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 2.3.5.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 2.3.5.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = c_{1} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + c_{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2.3.6

Semplifica.

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Passaggio 2.3.6.1

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$y + C_{1} = c_{1} (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) + c_{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2.3.6.2

$e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = c_{1} (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) + c_{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Passaggio 2.3.7

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = c_{1} (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) + c_{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Passaggio 2.3.8

$\frac{1}{2}$ e $c_{2}$ .

$y + C_{1} = c_{1} (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) + \frac{c_{2}}{2} \int e^{u} d u$

Passaggio 2.3.9

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$y + C_{1} = c_{1} (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) + \frac{c_{2}}{2} (e^{u} + C_{3})$

Passaggio 2.3.10

Semplifica.

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Passaggio 2.3.10.1

Semplifica.

$y + C_{1} = \frac{c_{1} x^{3}}{3} + \frac{c_{2}}{2} e^{u} + C_{4}$

Passaggio 2.3.10.2

$\frac{c_{2}}{2}$ e $e^{u}$ .

$y + C_{1} = \frac{c_{1} x^{3}}{3} + \frac{c_{2} e^{u}}{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.11

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} c_{1} x^{3} + \frac{1}{2} c_{2} e^{2 x} + C_{4}$

Passaggio 2.3.12

Riordina i termini.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} c_{1} + \frac{1}{2} e^{2 x} c_{2} + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = \frac{1}{3} x^{3} c_{1} + \frac{1}{2} e^{2 x} c_{2} + K$