Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} - \frac{2 y}{x} = 2 y^{3}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale per adattarla al metodo di Bernoulli.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scomponi $y$ da $- \frac{2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{2}{x}) = 2 y^{3}$

Passaggio 1.2

Riordina $y$ e $- \frac{2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{2}{x} y = 2 y^{3}$

Passaggio 2

Per risolvere l'equazione differenziale, sia $v = y^{1 - n}$ , dove $n$ è l'esponente di $y^{3}$ .

$v = y^{- 2}$

Passaggio 3

Risolvi l'equazione per $y$ .

$y = v^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 4

Trova la derivata di $y$ rispetto a $x$ .

$y' = v^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 5

Trova la derivata di $v^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la derivata di $v^{- \frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- \frac{1}{2}}]$

Passaggio 5.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 5.3

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 1$ e $g (x) = v^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{{(v^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 5.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{{(v^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 5.4.2

Moltiplica gli esponenti in ${(v^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 5.4.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 5.4.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{1}}$

Passaggio 5.5

Semplifica.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Passaggio 5.6

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Passaggio 5.6.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.1

Moltiplica $v^{\frac{1}{2}}$ per $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Passaggio 5.6.2.2

Sottrai $\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]$ da $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Passaggio 5.6.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Passaggio 5.7

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $v$ .

$y' = - \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Passaggio 5.7.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Passaggio 5.7.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $v$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Passaggio 5.8

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Passaggio 5.9

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Passaggio 5.10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Passaggio 5.11

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.11.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Passaggio 5.11.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Passaggio 5.12

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Passaggio 5.13

$\frac{1}{2}$ e $v^{- \frac{1}{2}}$ .

$y' = - \frac{\frac{v^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Passaggio 5.14

Sposta $v^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Passaggio 5.15

Riscrivi $\frac{d}{d x} [v]$ come $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}} v'}{v}$

Passaggio 5.16

$\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}}$ e $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}}{v}$

Passaggio 5.17

Riscrivi $\frac{\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}}{v}$ come un prodotto.

$y' = - (\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{v})$

Passaggio 5.18

Moltiplica $\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}$ per $\frac{1}{v}$ .

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}} v}$

Passaggio 5.19

Eleva $v$ alla potenza di $1$ .

$y' = - \frac{v'}{2 (v^{1} v^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 5.20

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y' = - \frac{v'}{2 v^{1 + \frac{1}{2}}}$

Passaggio 5.21

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Passaggio 5.22

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Passaggio 5.23

Somma $2$ e $1$ .

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 6

Sostituisci $- \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}}$ a $\frac{d y}{d x}$ e $v^{- \frac{1}{2}}$ a $y$ nell'equazione originale $\frac{d y}{d x} - \frac{2}{x} y = 2 y^{3}$ .

$- \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}} - \frac{2}{x} v^{- \frac{1}{2}} = 2 {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$

Passaggio 7

Risolvi l'equazione differenziale sostituita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Riscrivi l'equazione differenziale come $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Moltiplica per $- (2 v^{\frac{3}{2}})$ ciascun termine in $- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} - \frac{2}{x} v^{- \frac{1}{2}} = 2 {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.1

Moltiplica ogni termine in $- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} - \frac{2}{x} v^{- \frac{1}{2}} = 2 {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$ per $- (2 v^{\frac{3}{2}})$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) - \frac{2}{x} v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = 2 {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Passaggio 7.1.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.2.1.1

Elimina il fattore comune di $2 v^{\frac{3}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.2.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}}$ nel numeratore.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) - \frac{2}{x} v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = 2 {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Passaggio 7.1.1.2.1.1.2

Scomponi $2 v^{\frac{3}{2}}$ da $- (2 v^{\frac{3}{2}})$ .

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}} (- 1)) - \frac{2}{x} v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = 2 {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Passaggio 7.1.1.2.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}} \cdot - 1) - \frac{2}{x} v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = 2 {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Passaggio 7.1.1.2.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 - \frac{2}{x} v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = 2 {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Passaggio 7.1.1.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} - \frac{2}{x} v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = 2 {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Passaggio 7.1.1.2.1.3

Moltiplica $\frac{d v}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2}{x} v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = 2 {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Passaggio 7.1.1.2.1.4

Moltiplica $v^{- \frac{1}{2}}$ per $v^{\frac{3}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.2.1.4.1

Sposta $v^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2}{x} (v^{\frac{3}{2}} v^{- \frac{1}{2}}) (- 1 \cdot (2)) = 2 {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Passaggio 7.1.1.2.1.4.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d v}{d x} - \frac{2}{x} v^{\frac{3}{2} - \frac{1}{2}} (- 1 \cdot (2)) = 2 {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Passaggio 7.1.1.2.1.4.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d v}{d x} - \frac{2}{x} v^{\frac{3 - 1}{2}} (- 1 \cdot (2)) = 2 {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Passaggio 7.1.1.2.1.4.4

Sottrai $1$ da $3$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2}{x} v^{\frac{2}{2}} (- 1 \cdot (2)) = 2 {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Passaggio 7.1.1.2.1.4.5

Dividi $2$ per $2$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2}{x} v^{1} (- 1 \cdot (2)) = 2 {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Passaggio 7.1.1.2.1.5

Semplifica $- \frac{2}{x} v^{1} (- 1 \cdot (2))$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2}{x} v (- 1 \cdot (2)) = 2 {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Passaggio 7.1.1.2.1.6

$v$ e $\frac{2}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v \cdot 2}{x} (- 1 \cdot (2)) = 2 {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Passaggio 7.1.1.2.1.7

Sposta $2$ alla sinistra di $v$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 \cdot v}{x} (- 1 \cdot (2)) = 2 {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Passaggio 7.1.1.2.1.8

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} \cdot - 2 = 2 {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Passaggio 7.1.1.2.1.9

Moltiplica $- \frac{2 v}{x} \cdot - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.2.1.9.1

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} + 2 \frac{2 v}{x} = 2 {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Passaggio 7.1.1.2.1.9.2

$2$ e $\frac{2 v}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{2 (2 v)}{x} = 2 {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Passaggio 7.1.1.2.1.9.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{4 v}{x} = 2 {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Passaggio 7.1.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.3.1

Moltiplica gli esponenti in ${(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.3.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{4 v}{x} = 2 v^{- \frac{1}{2} \cdot 3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Passaggio 7.1.1.3.1.2

Moltiplica $- \frac{1}{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.3.1.2.1

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{4 v}{x} = 2 v^{- 3 (\frac{1}{2})} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Passaggio 7.1.1.3.1.2.2

$- 3$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{4 v}{x} = 2 v^{\frac{- 3}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Passaggio 7.1.1.3.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d v}{d x} + \frac{4 v}{x} = 2 v^{- \frac{3}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Passaggio 7.1.1.3.2

Moltiplica $v^{- \frac{3}{2}}$ per $v^{\frac{3}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.3.2.1

Sposta $v^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{4 v}{x} = 2 (v^{\frac{3}{2}} v^{- \frac{3}{2}}) (- 1 \cdot (2))$

Passaggio 7.1.1.3.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d v}{d x} + \frac{4 v}{x} = 2 v^{\frac{3}{2} - \frac{3}{2}} (- 1 \cdot (2))$

Passaggio 7.1.1.3.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d v}{d x} + \frac{4 v}{x} = 2 v^{\frac{3 - 3}{2}} (- 1 \cdot (2))$

Passaggio 7.1.1.3.2.4

Sottrai $3$ da $3$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{4 v}{x} = 2 v^{\frac{0}{2}} (- 1 \cdot (2))$

Passaggio 7.1.1.3.2.5

Dividi $0$ per $2$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{4 v}{x} = 2 v^{0} (- 1 \cdot (2))$

Passaggio 7.1.1.3.3

Semplifica $2 v^{0} (- 1 \cdot (2))$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{4 v}{x} = 2 (- 1 \cdot (2))$

Passaggio 7.1.1.3.4

Moltiplica $2 (- 1 \cdot (2))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.3.4.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{4 v}{x} = 2 \cdot - 2$

Passaggio 7.1.1.3.4.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{4 v}{x} = - 4$

Passaggio 7.1.2

Scomponi $v$ da $\frac{4 v}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + v \frac{4}{x} = - 4$

Passaggio 7.1.3

Riordina $v$ e $\frac{4}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{4}{x} v = - 4$

Passaggio 7.2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = \frac{4}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int \frac{4}{x} d x}$

Passaggio 7.2.2

Integra $\frac{4}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$e^{4 \int \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 7.2.2.2

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$e^{4 (\ln (| x |) + C)}$

Passaggio 7.2.2.3

Semplifica.

$e^{4 \ln (| x |) + C}$

Passaggio 7.2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{4 \ln (x)}$

Passaggio 7.2.4

Usa la regola della potenza logaritmica.

$e^{\ln (x^{4})}$

Passaggio 7.2.5

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$x^{4}$

Passaggio 7.3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Moltiplica ogni termine per $x^{4}$ .

$x^{4} \frac{d v}{d x} + x^{4} (\frac{4}{x} v) = x^{4} \cdot - 4$

Passaggio 7.3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.1

$\frac{4}{x}$ e $v$ .

$x^{4} \frac{d v}{d x} + x^{4} \frac{4 v}{x} = x^{4} \cdot - 4$

Passaggio 7.3.2.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.2.1

Scomponi $x$ da $x^{4}$ .

$x^{4} \frac{d v}{d x} + x \cdot x^{3} \frac{4 v}{x} = x^{4} \cdot - 4$

Passaggio 7.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$x^{4} \frac{d v}{d x} + x \cdot x^{3} \frac{4 v}{x} = x^{4} \cdot - 4$

Passaggio 7.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x^{4} \frac{d v}{d x} + x^{3} (4 v) = x^{4} \cdot - 4$

Passaggio 7.3.2.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x^{4} \frac{d v}{d x} + 4 x^{3} v = x^{4} \cdot - 4$

Passaggio 7.3.3

Sposta $- 4$ alla sinistra di $x^{4}$ .

$x^{4} \frac{d v}{d x} + 4 x^{3} v = - 4 x^{4}$

Passaggio 7.4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [x^{4} v] = - 4 x^{4}$

Passaggio 7.5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [x^{4} v] d x = \int - 4 x^{4} d x$

Passaggio 7.6

Integra il lato sinistro.

$x^{4} v = \int - 4 x^{4} d x$

Passaggio 7.7

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.7.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 4$ fuori dall'integrale.

$x^{4} v = - 4 \int x^{4} d x$

Passaggio 7.7.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$x^{4} v = - 4 (\frac{1}{5} x^{5} + C)$

Passaggio 7.7.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.7.3.1

Riscrivi $- 4 (\frac{1}{5} x^{5} + C)$ come $- 4 (\frac{1}{5}) x^{5} + C$ .

$x^{4} v = - 4 (\frac{1}{5}) x^{5} + C$

Passaggio 7.7.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.7.3.2.1

$- 4$ e $\frac{1}{5}$ .

$x^{4} v = \frac{- 4}{5} x^{5} + C$

Passaggio 7.7.3.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x^{4} v = - \frac{4}{5} x^{5} + C$

Passaggio 7.8

Dividi per $x^{4}$ ciascun termine in $x^{4} v = - \frac{4}{5} x^{5} + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.8.1

Dividi per $x^{4}$ ciascun termine in $x^{4} v = - \frac{4}{5} x^{5} + C$ .

$\frac{x^{4} v}{x^{4}} = \frac{- \frac{4}{5} x^{5}}{x^{4}} + \frac{C}{x^{4}}$

Passaggio 7.8.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.8.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{4} v}{x^{4}} = \frac{- \frac{4}{5} x^{5}}{x^{4}} + \frac{C}{x^{4}}$

Passaggio 7.8.2.1.2

Dividi $v$ per $1$ .

$v = \frac{- \frac{4}{5} x^{5}}{x^{4}} + \frac{C}{x^{4}}$

Passaggio 7.8.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.8.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.8.3.1.1

Elimina il fattore comune di $x^{5}$ e $x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.8.3.1.1.1

Scomponi $x^{4}$ da $- \frac{4}{5} x^{5}$ .

$v = \frac{x^{4} (- \frac{4}{5} x)}{x^{4}} + \frac{C}{x^{4}}$

Passaggio 7.8.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.8.3.1.1.2.1

Moltiplica per $1$ .

$v = \frac{x^{4} (- \frac{4}{5} x)}{x^{4} \cdot 1} + \frac{C}{x^{4}}$

Passaggio 7.8.3.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$v = \frac{x^{4} (- \frac{4}{5} x)}{x^{4} \cdot 1} + \frac{C}{x^{4}}$

Passaggio 7.8.3.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$v = \frac{- \frac{4}{5} x}{1} + \frac{C}{x^{4}}$

Passaggio 7.8.3.1.1.2.4

Dividi $- \frac{4}{5} x$ per $1$ .

$v = - \frac{4}{5} x + \frac{C}{x^{4}}$

Passaggio 7.8.3.1.2

$x$ e $\frac{4}{5}$ .

$v = - \frac{x \cdot 4}{5} + \frac{C}{x^{4}}$

Passaggio 7.8.3.1.3

Sposta $4$ alla sinistra di $x$ .

$v = - \frac{4 x}{5} + \frac{C}{x^{4}}$

Passaggio 8

Sostituisci $y^{- 2}$ a $v$ .

$y^{- 2} = - \frac{4 x}{5} + \frac{C}{x^{4}}$