Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \sec^{2} (x) {(2 + y)}^{2}$ , $y (π) = - 5$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{{(2 + y)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(2 + y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(2 + y)}^{2}} (\sec^{2} (x) {(2 + y)}^{2})$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di ${(2 + y)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Scomponi ${(2 + y)}^{2}$ da $\sec^{2} (x) {(2 + y)}^{2}$ .

$\frac{1}{{(2 + y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(2 + y)}^{2}} ({(2 + y)}^{2} \sec^{2} (x))$

Passaggio 1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{{(2 + y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(2 + y)}^{2}} ({(2 + y)}^{2} \sec^{2} (x))$

Passaggio 1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{{(2 + y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \sec^{2} (x)$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{{(2 + y)}^{2}} d y = \sec^{2} (x) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{{(2 + y)}^{2}} d y = \int \sec^{2} (x) d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sia $u = 2 + y$ . Allora $d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Sia $u = 2 + y$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Differenzia $2 + y$ .

$\frac{d}{d y} [2 + y]$

Passaggio 2.2.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 + y$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 2.2.1.1.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2$ rispetto a $y$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 2.2.1.1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 + 1$

Passaggio 2.2.1.1.5

Somma $0$ e $1$ .

$1$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{2}} d u = \int \sec^{2} (x) d x$

Passaggio 2.2.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Sposta $u^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int {(u^{2})}^{- 1} d u = \int \sec^{2} (x) d x$

Passaggio 2.2.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{2 \cdot - 1} d u = \int \sec^{2} (x) d x$

Passaggio 2.2.2.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\int u^{- 2} d u = \int \sec^{2} (x) d x$

Passaggio 2.2.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{- 2}$ rispetto a $u$ è $- u^{- 1}$ .

$- u^{- 1} + C_{1} = \int \sec^{2} (x) d x$

Passaggio 2.2.4

Riscrivi $- u^{- 1} + C_{1}$ come $- \frac{1}{u} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{u} + C_{1} = \int \sec^{2} (x) d x$

Passaggio 2.2.5

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 + y$ .

$- \frac{1}{2 + y} + C_{1} = \int \sec^{2} (x) d x$

Passaggio 2.3

Poiché la derivata di $\tan (x)$ è $\sec^{2} (x)$ , l'integrale di $\sec^{2} (x)$ è $\tan (x)$ .

$- \frac{1}{2 + y} + C_{1} = \tan (x) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$- \frac{1}{2 + y} = \tan (x) + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$2 + y, 1, 1$

Passaggio 3.1.2

Rimuovi le parentesi.

$2 + y, 1, 1$

Passaggio 3.1.3

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$2 + y$

Passaggio 3.2

Moltiplica per $2 + y$ ciascun termine in $- \frac{1}{2 + y} = \tan (x) + K$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Moltiplica ogni termine in $- \frac{1}{2 + y} = \tan (x) + K$ per $2 + y$ .

$- \frac{1}{2 + y} (2 + y) = \tan (x) (2 + y) + K (2 + y)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2 + y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{2 + y}$ nel numeratore.

$\frac{- 1}{2 + y} (2 + y) = \tan (x) (2 + y) + K (2 + y)$

Passaggio 3.2.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1}{2 + y} (2 + y) = \tan (x) (2 + y) + K (2 + y)$

Passaggio 3.2.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$- 1 = \tan (x) (2 + y) + K (2 + y)$

Passaggio 3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 1 = \tan (x) \cdot 2 + \tan (x) y + K (2 + y)$

Passaggio 3.2.3.1.2

Sposta $2$ alla sinistra di $\tan (x)$ .

$- 1 = 2 \cdot \tan (x) + \tan (x) y + K (2 + y)$

Passaggio 3.2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$- 1 = 2 \tan (x) + \tan (x) y + K \cdot 2 + K y$

Passaggio 3.2.3.1.4

Sposta $2$ alla sinistra di $K$ .

$- 1 = 2 \tan (x) + \tan (x) y + 2 K + K y$

Passaggio 3.2.3.2

Riordina i fattori in $2 \tan (x) + \tan (x) y + 2 K + K y$ .

$- 1 = 2 \tan (x) + y \tan (x) + 2 K + K y$

Passaggio 3.3

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'equazione come $2 \tan (x) + y \tan (x) + 2 K + K y = - 1$ .

$2 \tan (x) + y \tan (x) + 2 K + K y = - 1$

Passaggio 3.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Sottrai $2 \tan (x)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y \tan (x) + 2 K + K y = - 1 - 2 \tan (x)$

Passaggio 3.3.2.2

Sottrai $2 K$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y \tan (x) + K y = - 1 - 2 \tan (x) - 2 K$

Passaggio 3.3.3

Scomponi $y$ da $y \tan (x) + K y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Scomponi $y$ da $y \tan (x)$ .

$y (\tan (x)) + K y = - 1 - 2 \tan (x) - 2 K$

Passaggio 3.3.3.2

Scomponi $y$ da $K y$ .

$y (\tan (x)) + y K = - 1 - 2 \tan (x) - 2 K$

Passaggio 3.3.3.3

Scomponi $y$ da $y (\tan (x)) + y K$ .

$y (\tan (x) + K) = - 1 - 2 \tan (x) - 2 K$

Passaggio 3.3.4

Dividi per $\tan (x) + K$ ciascun termine in $y (\tan (x) + K) = - 1 - 2 \tan (x) - 2 K$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.1

Dividi per $\tan (x) + K$ ciascun termine in $y (\tan (x) + K) = - 1 - 2 \tan (x) - 2 K$ .

$\frac{y (\tan (x) + K)}{\tan (x) + K} = \frac{- 1}{\tan (x) + K} + \frac{- 2 \tan (x)}{\tan (x) + K} + \frac{- 2 K}{\tan (x) + K}$

Passaggio 3.3.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.2.1

Elimina il fattore comune di $\tan (x) + K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y (\tan (x) + K)}{\tan (x) + K} = \frac{- 1}{\tan (x) + K} + \frac{- 2 \tan (x)}{\tan (x) + K} + \frac{- 2 K}{\tan (x) + K}$

Passaggio 3.3.4.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{- 1}{\tan (x) + K} + \frac{- 2 \tan (x)}{\tan (x) + K} + \frac{- 2 K}{\tan (x) + K}$

Passaggio 3.3.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.3.1

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.3.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.3.1.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{1}{\tan (x) + K} + \frac{- 2 \tan (x)}{\tan (x) + K} + \frac{- 2 K}{\tan (x) + K}$

Passaggio 3.3.4.3.1.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{1}{\tan (x) + K} - \frac{2 \tan (x)}{\tan (x) + K} + \frac{- 2 K}{\tan (x) + K}$

Passaggio 3.3.4.3.1.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{1}{\tan (x) + K} - \frac{2 \tan (x)}{\tan (x) + K} - \frac{2 K}{\tan (x) + K}$

Passaggio 3.3.4.3.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{- 1 - 2 \tan (x)}{\tan (x) + K} - \frac{2 K}{\tan (x) + K}$

Passaggio 3.3.4.3.1.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.3.1.3.1

Scomponi $- 1$ da $- 1 - 2 \tan (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.3.1.3.1.1

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$y = \frac{- 1 (1) - 2 \tan (x)}{\tan (x) + K} - \frac{2 K}{\tan (x) + K}$

Passaggio 3.3.4.3.1.3.1.2

Scomponi $- 1$ da $- 2 \tan (x)$ .

$y = \frac{- 1 (1) - (2 \tan (x))}{\tan (x) + K} - \frac{2 K}{\tan (x) + K}$

Passaggio 3.3.4.3.1.3.1.3

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1) - (2 \tan (x))$ .

$y = \frac{- 1 (1 + 2 \tan (x))}{\tan (x) + K} - \frac{2 K}{\tan (x) + K}$

Passaggio 3.3.4.3.1.3.1.4

Riscrivi $- 1 (1 + 2 \tan (x))$ come $- (1 + 2 \tan (x))$ .

$y = \frac{- (1 + 2 \tan (x))}{\tan (x) + K} - \frac{2 K}{\tan (x) + K}$

Passaggio 3.3.4.3.1.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{1 + 2 \tan (x)}{\tan (x) + K} - \frac{2 K}{\tan (x) + K}$

Passaggio 3.3.4.3.1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{- (1 + 2 \tan (x)) - 2 K}{\tan (x) + K}$

Passaggio 3.3.4.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{- 1 \cdot 1 - (2 \tan (x)) - 2 K}{\tan (x) + K}$

Passaggio 3.3.4.3.2.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$y = \frac{- 1 - (2 \tan (x)) - 2 K}{\tan (x) + K}$

Passaggio 3.3.4.3.2.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$y = \frac{- 1 - 2 \tan (x) - 2 K}{\tan (x) + K}$

Passaggio 3.3.4.3.3

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.3.3.1

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$y = \frac{- 1 (1) - 2 \tan (x) - 2 K}{\tan (x) + K}$

Passaggio 3.3.4.3.3.2

Scomponi $- 1$ da $- 2 \tan (x)$ .

$y = \frac{- 1 (1) - (2 \tan (x)) - 2 K}{\tan (x) + K}$

Passaggio 3.3.4.3.3.3

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1) - (2 \tan (x))$ .

$y = \frac{- 1 (1 + 2 \tan (x)) - 2 K}{\tan (x) + K}$

Passaggio 3.3.4.3.3.4

Scomponi $- 1$ da $- 2 K$ .

$y = \frac{- 1 (1 + 2 \tan (x)) - (2 K)}{\tan (x) + K}$

Passaggio 3.3.4.3.3.5

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1 + 2 \tan (x)) - (2 K)$ .

$y = \frac{- 1 (1 + 2 \tan (x) + 2 K)}{\tan (x) + K}$

Passaggio 3.3.4.3.3.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{1 + 2 \tan (x) + 2 K}{\tan (x) + K}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = - \frac{1 + 2 \tan (x) + K}{\tan (x) + K}$

Passaggio 5

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $K$ sostituendo $x$ con $π$ e $y$ con $- 5$ in $y = - \frac{1 + 2 \tan (x) + K}{\tan (x) + K}$ .

$- 5 = - \frac{1 + 2 \tan (π) + K}{\tan (π) + K}$

Passaggio 6

Risolvi per $K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Riscrivi l'equazione come $- \frac{1 + 2 \tan (π) + K}{\tan (π) + K} = - 5$ .

$- \frac{1 + 2 \tan (π) + K}{\tan (π) + K} = - 5$

Passaggio 6.2

Scomponi ogni termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché la tangente è negativa nel secondo quadrante.

$- \frac{1 + 2 (- \tan (0)) + K}{\tan (π) + K} = - 5$

Passaggio 6.2.2

Il valore esatto di $\tan (0)$ è $0$ .

$- \frac{1 + 2 (- 0) + K}{\tan (π) + K} = - 5$

Passaggio 6.2.3

Moltiplica $2 (- 0)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$- \frac{1 + 2 \cdot 0 + K}{\tan (π) + K} = - 5$

Passaggio 6.2.3.2

Moltiplica $2$ per $0$ .

$- \frac{1 + 0 + K}{\tan (π) + K} = - 5$

Passaggio 6.2.4

Somma $1$ e $0$ .

$- \frac{1 + K}{\tan (π) + K} = - 5$

Passaggio 6.2.5

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché la tangente è negativa nel secondo quadrante.

$- \frac{1 + K}{- \tan (0) + K} = - 5$

Passaggio 6.2.6

Il valore esatto di $\tan (0)$ è $0$ .

$- \frac{1 + K}{- 0 + K} = - 5$

Passaggio 6.2.7

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$- \frac{1 + K}{0 + K} = - 5$

Passaggio 6.2.8

Somma $0$ e $K$ .

$- \frac{1 + K}{K} = - 5$

Passaggio 6.3

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$K, 1$

Passaggio 6.3.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$K$

Passaggio 6.4

Moltiplica per $K$ ciascun termine in $- \frac{1 + K}{K} = - 5$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Moltiplica ogni termine in $- \frac{1 + K}{K} = - 5$ per $K$ .

$- \frac{1 + K}{K} K = - 5 K$

Passaggio 6.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Elimina il fattore comune di $K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1 + K}{K}$ nel numeratore.

$\frac{- (1 + K)}{K} K = - 5 K$

Passaggio 6.4.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- (1 + K)}{K} K = - 5 K$

Passaggio 6.4.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$- (1 + K) = - 5 K$

Passaggio 6.4.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$- 1 \cdot 1 - K = - 5 K$

Passaggio 6.4.2.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1 - K = - 5 K$

Passaggio 6.5

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Sposta tutti i termini contenenti $K$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1.1

Somma $5 K$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- 1 - K + 5 K = 0$

Passaggio 6.5.1.2

Somma $- K$ e $5 K$ .

$- 1 + 4 K = 0$

Passaggio 6.5.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$4 K = 1$

Passaggio 6.5.3

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 K = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.3.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 K = 1$ .

$\frac{4 K}{4} = \frac{1}{4}$

Passaggio 6.5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 K}{4} = \frac{1}{4}$

Passaggio 6.5.3.2.1.2

Dividi $K$ per $1$ .

$K = \frac{1}{4}$

Passaggio 7

Sostituisci $\frac{1}{4}$ a $K$ in $y = - \frac{1 + 2 \tan (x) + K}{\tan (x) + K}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci $\frac{1}{4}$ a $K$ .

$y = - \frac{1 + 2 \tan (x) + \frac{1}{4}}{\tan (x) + K}$

Passaggio 7.2

Moltiplica il numeratore e il denominatore della frazione per $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Moltiplica $\frac{1 + 2 \tan (x) + \frac{1}{4}}{\tan (x) + K}$ per $\frac{4}{4}$ .

$y = - (\frac{4}{4} \cdot \frac{1 + 2 \tan (x) + \frac{1}{4}}{\tan (x) + K})$

Passaggio 7.2.2

Combina.

$y = - \frac{4 (1 + 2 \tan (x) + \frac{1}{4})}{4 (\tan (x) + K)}$

Passaggio 7.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = - \frac{4 \cdot 1 + 4 (2 \tan (x)) + 4 (\frac{1}{4})}{4 \tan (x) + 4 K}$

Passaggio 7.4

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1

Elimina il fattore comune.

$y = - \frac{4 \cdot 1 + 4 (2 \tan (x)) + 4 (\frac{1}{4})}{4 \tan (x) + 4 K}$

Passaggio 7.4.2

Riscrivi l'espressione.

$y = - \frac{4 \cdot 1 + 4 (2 \tan (x)) + 1}{4 \tan (x) + 4 K}$

Passaggio 7.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1

Moltiplica $4$ per $1$ .

$y = - \frac{4 + 4 \cdot 2 \tan (x) + 1}{4 \tan (x) + 4 K}$

Passaggio 7.5.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$y = - \frac{4 + 8 \tan (x) + 1}{4 \tan (x) + 4 K}$

Passaggio 7.5.3

Somma $4$ e $1$ .

$y = - \frac{5 + 8 \tan (x)}{4 \tan (x) + 4 K}$

Passaggio 7.6

Scomponi $4$ da $4 \tan (x) + 4 K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.6.1

Scomponi $4$ da $4 \tan (x)$ .

$y = - \frac{5 + 8 \tan (x)}{4 (\tan (x)) + 4 K}$

Passaggio 7.6.2

Scomponi $4$ da $4 K$ .

$y = - \frac{5 + 8 \tan (x)}{4 (\tan (x)) + 4 (K)}$

Passaggio 7.6.3

Scomponi $4$ da $4 (\tan (x)) + 4 (K)$ .

$y = - \frac{5 + 8 \tan (x)}{4 (\tan (x) + K)}$