Calcolo Esempi

$\frac{d Q}{d t} + \frac{2}{10 + 2 t} Q = 4$

Passaggio 1

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (t) d t}$ , dove $P (t) = \frac{2}{10 + 2 t}$ .

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Passaggio 1.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int \frac{2}{10 + 2 t} d t}$

Passaggio 1.2

Integra $\frac{2}{10 + 2 t}$ .

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Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ e $10 + 2 t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$e^{\int \frac{2 \cdot 1}{10 + 2 t} d t}$

Passaggio 1.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $10$ .

$e^{\int \frac{2 \cdot 1}{2 (5) + 2 t} d t}$

Passaggio 1.2.1.2.2

Scomponi $2$ da $2 t$ .

$e^{\int \frac{2 \cdot 1}{2 (5) + 2 (t)} d t}$

Passaggio 1.2.1.2.3

Scomponi $2$ da $2 (5) + 2 (t)$ .

$e^{\int \frac{2 \cdot 1}{2 (5 + t)} d t}$

Passaggio 1.2.1.2.4

Elimina il fattore comune.

$e^{\int \frac{2 \cdot 1}{2 (5 + t)} d t}$

Passaggio 1.2.1.2.5

Riscrivi l'espressione.

$e^{\int \frac{1}{5 + t} d t}$

Passaggio 1.2.2

Sia $u = 5 + t$ . Allora $d u = d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Sia $u = 5 + t$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

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Passaggio 1.2.2.1.1

Differenzia $5 + t$ .

$\frac{d}{d t} [5 + t]$

Passaggio 1.2.2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 + t$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [5] + \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{d}{d t} [5] + \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 1.2.2.1.3

Poiché $5$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $5$ rispetto a $t$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 1.2.2.1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 + 1$

Passaggio 1.2.2.1.5

Somma $0$ e $1$ .

$1$

Passaggio 1.2.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{\int \frac{1}{u} d u}$

Passaggio 1.2.3

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$e^{\ln (| u |) + C}$

Passaggio 1.2.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $5 + t$ .

$e^{\ln (| 5 + t |) + C}$

Passaggio 1.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{\ln (5 + t)}$

Passaggio 1.4

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$5 + t$

Passaggio 2

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $5 + t$ .

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Passaggio 2.1

Moltiplica ogni termine per $5 + t$ .

$(5 + t) \frac{d Q}{d t} + (5 + t) (\frac{2}{10 + 2 t} Q) = (5 + t) \cdot 4$

Passaggio 2.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$5 \frac{d Q}{d t} + t \frac{d Q}{d t} + (5 + t) (\frac{2}{10 + 2 t} Q) = (5 + t) \cdot 4$

Passaggio 2.2.2

Scomponi $2$ da $10 + 2 t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Scomponi $2$ da $10$ .

$5 \frac{d Q}{d t} + t \frac{d Q}{d t} + (5 + t) (\frac{2}{2 \cdot 5 + 2 t} Q) = (5 + t) \cdot 4$

Passaggio 2.2.2.2

Scomponi $2$ da $2 \cdot 5 + 2 t$ .

$5 \frac{d Q}{d t} + t \frac{d Q}{d t} + (5 + t) (\frac{2}{2 (5 + t)} Q) = (5 + t) \cdot 4$

Passaggio 2.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 2.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$5 \frac{d Q}{d t} + t \frac{d Q}{d t} + (5 + t) (\frac{2}{2 (5 + t)} Q) = (5 + t) \cdot 4$

Passaggio 2.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$5 \frac{d Q}{d t} + t \frac{d Q}{d t} + (5 + t) (\frac{1}{5 + t} Q) = (5 + t) \cdot 4$

Passaggio 2.2.4

$\frac{1}{5 + t}$ e $Q$ .

$5 \frac{d Q}{d t} + t \frac{d Q}{d t} + (5 + t) \frac{Q}{5 + t} = (5 + t) \cdot 4$

Passaggio 2.2.5

Elimina il fattore comune di $5 + t$ .

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Passaggio 2.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$5 \frac{d Q}{d t} + t \frac{d Q}{d t} + (5 + t) \frac{Q}{5 + t} = (5 + t) \cdot 4$

Passaggio 2.2.5.2

Riscrivi l'espressione.

$5 \frac{d Q}{d t} + t \frac{d Q}{d t} + Q = (5 + t) \cdot 4$

Passaggio 2.3

Applica la proprietà distributiva.

$5 \frac{d Q}{d t} + t \frac{d Q}{d t} + Q = 5 \cdot 4 + t \cdot 4$

Passaggio 2.4

Moltiplica $5$ per $4$ .

$5 \frac{d Q}{d t} + t \frac{d Q}{d t} + Q = 20 + t \cdot 4$

Passaggio 2.5

Sposta $4$ alla sinistra di $t$ .

$5 \frac{d Q}{d t} + t \frac{d Q}{d t} + Q = 20 + 4 t$

Passaggio 3

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d t} [(5 + t) Q] = 20 + 4 t$

Passaggio 4

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d t} [(5 + t) Q] d t = \int 20 + 4 t d t$

Passaggio 5

Integra il lato sinistro.

$(5 + t) Q = \int 20 + 4 t d t$

Passaggio 6

Integra il lato destro.

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Passaggio 6.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$(5 + t) Q = \int 20 d t + \int 4 t d t$

Passaggio 6.2

Applica la regola costante.

$(5 + t) Q = 20 t + C + \int 4 t d t$

Passaggio 6.3

Poiché $4$ è costante rispetto a $t$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$(5 + t) Q = 20 t + C + 4 \int t d t$

Passaggio 6.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $t$ rispetto a $t$ è $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$(5 + t) Q = 20 t + C + 4 (\frac{1}{2} t^{2} + C)$

Passaggio 6.5

Semplifica.

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Passaggio 6.5.1

Semplifica.

$(5 + t) Q = 20 t + 4 (\frac{1}{2}) t^{2} + C$

Passaggio 6.5.2

Semplifica.

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Passaggio 6.5.2.1

$4$ e $\frac{1}{2}$ .

$(5 + t) Q = 20 t + \frac{4}{2} t^{2} + C$

Passaggio 6.5.2.2

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

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Passaggio 6.5.2.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$(5 + t) Q = 20 t + \frac{2 \cdot 2}{2} t^{2} + C$

Passaggio 6.5.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$(5 + t) Q = 20 t + \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} t^{2} + C$

Passaggio 6.5.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$(5 + t) Q = 20 t + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} t^{2} + C$

Passaggio 6.5.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$(5 + t) Q = 20 t + \frac{2}{1} t^{2} + C$

Passaggio 6.5.2.2.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$(5 + t) Q = 20 t + 2 t^{2} + C$

Passaggio 7

Dividi per $5 + t$ ciascun termine in $(5 + t) Q = 20 t + 2 t^{2} + C$ e semplifica.

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Passaggio 7.1

Dividi per $5 + t$ ciascun termine in $(5 + t) Q = 20 t + 2 t^{2} + C$ .

$\frac{(5 + t) Q}{5 + t} = \frac{20 t}{5 + t} + \frac{2 t^{2}}{5 + t} + \frac{C}{5 + t}$

Passaggio 7.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 7.2.1

Elimina il fattore comune di $5 + t$ .

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Passaggio 7.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(5 + t) Q}{5 + t} = \frac{20 t}{5 + t} + \frac{2 t^{2}}{5 + t} + \frac{C}{5 + t}$

Passaggio 7.2.1.2

Dividi $Q$ per $1$ .

$Q = \frac{20 t}{5 + t} + \frac{2 t^{2}}{5 + t} + \frac{C}{5 + t}$

Passaggio 7.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 7.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$Q = \frac{20 t + 2 t^{2}}{5 + t} + \frac{C}{5 + t}$

Passaggio 7.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$Q = \frac{20 t + 2 t^{2} + C}{5 + t}$