Calcolo Esempi

$(x^{2} + 1) d x + x^{2} y^{2} d y = 0$

Passaggio 1

Sottrai $(x^{2} + 1) d x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} y^{2} d y = - (x^{2} + 1) d x$

Passaggio 2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2}} (- (x^{2} + 1)) d x$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} (x^{2} (y^{2})) d y = \frac{1}{x^{2}} (- (x^{2} + 1)) d x$

Passaggio 3.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{x^{2}} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2}} (- (x^{2} + 1)) d x$

Passaggio 3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} d y = \frac{1}{x^{2}} (- (x^{2} + 1)) d x$

Passaggio 3.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y^{2} d y = - \frac{1}{x^{2}} (x^{2} + 1) d x$

Passaggio 3.3

Applica la proprietà distributiva.

$y^{2} d y = (- \frac{1}{x^{2}} x^{2} - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1) d x$

Passaggio 3.4

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{x^{2}}$ nel numeratore.

$y^{2} d y = (\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1) d x$

Passaggio 3.4.2

Elimina il fattore comune.

$y^{2} d y = (\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1) d x$

Passaggio 3.4.3

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} d y = (- 1 - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1) d x$

Passaggio 3.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$y^{2} d y = (- 1 - \frac{1}{x^{2}}) d x$

Passaggio 4

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int y^{2} d y = \int - 1 - \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 4.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int - 1 - \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 4.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int - 1 d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 4.3.2

Applica la regola costante.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x + C_{2} + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 4.3.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x + C_{2} - \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 4.3.4

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1

Sposta $x^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x + C_{2} - \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Passaggio 4.3.4.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x + C_{2} - \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Passaggio 4.3.4.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x + C_{2} - \int x^{- 2} d x$

Passaggio 4.3.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- 2}$ rispetto a $x$ è $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x + C_{2} - (- x^{- 1} + C_{3})$

Passaggio 4.3.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.6.1

Semplifica.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x - - \frac{1}{x} + C_{4}$

Passaggio 4.3.6.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.6.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x + 1 \frac{1}{x} + C_{4}$

Passaggio 4.3.6.2.2

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x + \frac{1}{x} + C_{4}$

Passaggio 4.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = - x + \frac{1}{x} + K$

Passaggio 5

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (- x + \frac{1}{x} + K)$

Passaggio 5.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Semplifica $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.1

$\frac{1}{3}$ e $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- x + \frac{1}{x} + K)$

Passaggio 5.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- x + \frac{1}{x} + K)$

Passaggio 5.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{3} = 3 (- x + \frac{1}{x} + K)$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Semplifica $3 (- x + \frac{1}{x} + K)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y^{3} = 3 (- x) + 3 \frac{1}{x} + 3 K$

Passaggio 5.2.2.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$y^{3} = - 3 x + 3 \frac{1}{x} + 3 K$

Passaggio 5.2.2.1.2.2

$3$ e $\frac{1}{x}$ .

$y^{3} = - 3 x + \frac{3}{x} + 3 K$

Passaggio 5.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \sqrt[3]{- 3 x + \frac{3}{x} + 3 K}$

Passaggio 5.4

Semplifica $\sqrt[3]{- 3 x + \frac{3}{x} + 3 K}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Scomponi $3$ da $- 3 x + \frac{3}{x} + 3 K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.1

Scomponi $3$ da $- 3 x$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- x) + \frac{3}{x} + 3 K}$

Passaggio 5.4.1.2

Scomponi $3$ da $\frac{3}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- x) + 3 \frac{1}{x} + 3 K}$

Passaggio 5.4.1.3

Scomponi $3$ da $3 (- x) + 3 \frac{1}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- x + \frac{1}{x}) + 3 K}$

Passaggio 5.4.1.4

Scomponi $3$ da $3 (- x + \frac{1}{x}) + 3 K$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- x + \frac{1}{x} + K)}$

Passaggio 5.4.2

Per scrivere $- x$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- x \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x} + K)}$

Passaggio 5.4.3

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1

$- x$ e $\frac{x}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{- x \cdot x}{x} + \frac{1}{x} + K)}$

Passaggio 5.4.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{- x \cdot x + 1}{x} + K)}$

Passaggio 5.4.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.4.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{- x \cdot x + 1^{2}}{x} + K)}$

Passaggio 5.4.4.2

Riscrivi $x \cdot x$ come $x^{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{- x^{2} + 1^{2}}{x} + K)}$

Passaggio 5.4.4.3

Riordina $- x^{2}$ e $1^{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{1^{2} - x^{2}}{x} + K)}$

Passaggio 5.4.4.4

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = x$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{(1 + x) (1 - x)}{x} + K)}$

Passaggio 5.4.5

Per scrivere $K$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{(1 + x) (1 - x)}{x} + \frac{K x}{x})}$

Passaggio 5.4.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{(1 + x) (1 - x) + K x}{x}}$

Passaggio 5.4.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.7.1

Espandi $(1 + x) (1 - x)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.7.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 (1 - x) + x (1 - x) + K x}{x}}$

Passaggio 5.4.7.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x) + K x}{x}}$

Passaggio 5.4.7.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) + K x}{x}}$

Passaggio 5.4.7.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.7.2.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) + K x}{x}}$

Passaggio 5.4.7.2.1.2

Moltiplica $- x$ per $1$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 - x + x \cdot 1 + x (- x) + K x}{x}}$

Passaggio 5.4.7.2.1.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 - x + x + x (- x) + K x}{x}}$

Passaggio 5.4.7.2.1.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 - x + x - x \cdot x + K x}{x}}$

Passaggio 5.4.7.2.1.5

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.7.2.1.5.1

Sposta $x$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 - x + x - (x \cdot x) + K x}{x}}$

Passaggio 5.4.7.2.1.5.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 - x + x - x^{2} + K x}{x}}$

Passaggio 5.4.7.2.2

Somma $- x$ e $x$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 + 0 - x^{2} + K x}{x}}$

Passaggio 5.4.7.2.3

Somma $1$ e $0$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 - x^{2} + K x}{x}}$

Passaggio 5.4.8

$3$ e $\frac{1 - x^{2} + K x}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 (1 - x^{2} + K x)}{x}}$

Passaggio 5.4.9

Riscrivi $\sqrt[3]{\frac{3 (1 - x^{2} + K x)}{x}}$ come $\frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)}}{\sqrt[3]{x}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)}}{\sqrt[3]{x}}$

Passaggio 5.4.10

Moltiplica $\frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)}}{\sqrt[3]{x}}$ per $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)}}{\sqrt[3]{x}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Passaggio 5.4.11

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.11.1

Moltiplica $\frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)}}{\sqrt[3]{x}}$ per $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Passaggio 5.4.11.2

Eleva $\sqrt[3]{x}$ alla potenza di $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{1} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Passaggio 5.4.11.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{1 + 2}}$

Passaggio 5.4.11.4

Somma $1$ e $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{3}}$

Passaggio 5.4.11.5

Riscrivi ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ come $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.11.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x}$ come $x^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Passaggio 5.4.11.5.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Passaggio 5.4.11.5.3

$\frac{1}{3}$ e $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{3}{3}}}$

Passaggio 5.4.11.5.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.11.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{3}{3}}}$

Passaggio 5.4.11.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{1}}$

Passaggio 5.4.11.5.5

Semplifica.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x}$

Passaggio 5.4.12

Riscrivi ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ come $\sqrt[3]{x^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} \sqrt[3]{x^{2}}}{x}$

Passaggio 5.4.13

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x) x^{2}}}{x}$

Passaggio 5.4.14

Riordina i fattori in $\frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x) x^{2}}}{x}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} (1 - x^{2} + K x)}}{x}$