Calcolo Esempi

$4 y \frac{d y}{d x} = 5 x^{2}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$4 y d y = 5 x^{2} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int 4 y d y = \int 5 x^{2} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $y$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$4 \int y d y = \int 5 x^{2} d x$

Passaggio 2.2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int 5 x^{2} d x$

Passaggio 2.2.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Riscrivi $4 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ come $4 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ .

$4 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int 5 x^{2} d x$

Passaggio 2.2.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.2.1

$4$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{4}{2} y^{2} + C_{1} = \int 5 x^{2} d x$

Passaggio 2.2.3.2.2

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.2.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} y^{2} + C_{1} = \int 5 x^{2} d x$

Passaggio 2.2.3.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.2.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} y^{2} + C_{1} = \int 5 x^{2} d x$

Passaggio 2.2.3.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} y^{2} + C_{1} = \int 5 x^{2} d x$

Passaggio 2.2.3.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{1} y^{2} + C_{1} = \int 5 x^{2} d x$

Passaggio 2.2.3.2.2.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$2 y^{2} + C_{1} = \int 5 x^{2} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , sposta $5$ fuori dall'integrale.

$2 y^{2} + C_{1} = 5 \int x^{2} d x$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 y^{2} + C_{1} = 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

Passaggio 2.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Riscrivi $5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ come $5 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$ .

$2 y^{2} + C_{1} = 5 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2

$5$ e $\frac{1}{3}$ .

$2 y^{2} + C_{1} = \frac{5}{3} x^{3} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$2 y^{2} = \frac{5}{3} x^{3} + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 y^{2} = \frac{5}{3} x^{3} + K$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 y^{2} = \frac{5}{3} x^{3} + K$ .

$\frac{2 y^{2}}{2} = \frac{\frac{5}{3} x^{3}}{2} + \frac{K}{2}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y^{2}}{2} = \frac{\frac{5}{3} x^{3}}{2} + \frac{K}{2}$

Passaggio 3.1.2.1.2

Dividi $y^{2}$ per $1$ .

$y^{2} = \frac{\frac{5}{3} x^{3}}{2} + \frac{K}{2}$

Passaggio 3.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1.1

$\frac{5}{3}$ e $x^{3}$ .

$y^{2} = \frac{\frac{5 x^{3}}{3}}{2} + \frac{K}{2}$

Passaggio 3.1.3.1.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$y^{2} = \frac{5 x^{3}}{3} \cdot \frac{1}{2} + \frac{K}{2}$

Passaggio 3.1.3.1.3

Combina.

$y^{2} = \frac{5 x^{3} \cdot 1}{3 \cdot 2} + \frac{K}{2}$

Passaggio 3.1.3.1.4

Moltiplica $5$ per $1$ .

$y^{2} = \frac{5 x^{3}}{3 \cdot 2} + \frac{K}{2}$

Passaggio 3.1.3.1.5

Moltiplica $3$ per $2$ .

$y^{2} = \frac{5 x^{3}}{6} + \frac{K}{2}$

Passaggio 3.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{\frac{5 x^{3}}{6} + \frac{K}{2}}$

Passaggio 3.3

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{5 x^{3}}{6} + \frac{K}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Per scrivere $\frac{K}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 x^{3}}{6} + \frac{K}{2} \cdot \frac{3}{3}}$

Passaggio 3.3.2

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $6$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Moltiplica $\frac{K}{2}$ per $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 x^{3}}{6} + \frac{K \cdot 3}{2 \cdot 3}}$

Passaggio 3.3.2.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 x^{3}}{6} + \frac{K \cdot 3}{6}}$

Passaggio 3.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \pm \sqrt{\frac{5 x^{3} + K \cdot 3}{6}}$

Passaggio 3.3.4

Sposta $3$ alla sinistra di $K$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 x^{3} + 3 K}{6}}$

Passaggio 3.3.5

Riscrivi $\sqrt{\frac{5 x^{3} + 3 K}{6}}$ come $\frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K}}{\sqrt{6}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K}}{\sqrt{6}}$

Passaggio 3.3.6

Moltiplica $\frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K}}{\sqrt{6}}$ per $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$

Passaggio 3.3.7

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.7.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K}}{\sqrt{6}}$ per $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K} \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

Passaggio 3.3.7.2

Eleva $\sqrt{6}$ alla potenza di $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}}$

Passaggio 3.3.7.3

Eleva $\sqrt{6}$ alla potenza di $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}}$

Passaggio 3.3.7.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = \pm \frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

Passaggio 3.3.7.5

Somma $1$ e $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{2}}$

Passaggio 3.3.7.6

Riscrivi ${\sqrt{6}}^{2}$ come $6$ .

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Passaggio 3.3.7.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{6}$ come $6^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K} \sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 3.3.7.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K} \sqrt{6}}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 3.3.7.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.3.7.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.7.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$y = \pm \frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.3.7.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \pm \frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K} \sqrt{6}}{6^{1}}$

Passaggio 3.3.7.6.5

Calcola l'esponente.

$y = \pm \frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K} \sqrt{6}}{6}$

Passaggio 3.3.8

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$y = \pm \frac{\sqrt{(5 x^{3} + 3 K) \cdot 6}}{6}$

Passaggio 3.3.9

Riordina i fattori in $\pm \frac{\sqrt{(5 x^{3} + 3 K) \cdot 6}}{6}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{6 (5 x^{3} + 3 K)}}{6}$

Passaggio 3.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 3.4.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \frac{\sqrt{6 (5 x^{3} + 3 K)}}{6}$

Passaggio 3.4.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \frac{\sqrt{6 (5 x^{3} + 3 K)}}{6}$

Passaggio 3.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \frac{\sqrt{6 (5 x^{3} + 3 K)}}{6}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (5 x^{3} + 3 K)}}{6}$

$y = \frac{\sqrt{6 (5 x^{3} + 3 K)}}{6}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (5 x^{3} + 3 K)}}{6}$

$y = \frac{\sqrt{6 (5 x^{3} + 3 K)}}{6}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (5 x^{3} + 3 K)}}{6}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \frac{\sqrt{6 (5 x^{3} + K)}}{6}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (5 x^{3} + K)}}{6}$