Calcolo Esempi

$\frac{1}{x} d y = \frac{e^{x^{2}}}{y^{2}} d x$

Passaggio 1

Moltiplica ogni lato per $x y^{2}$ .

$x y^{2} \frac{1}{x} d y = x y^{2} \frac{e^{x^{2}}}{y^{2}} d x$

Passaggio 2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Scomponi $x$ da $x y^{2}$ .

$x (y^{2}) \frac{1}{x} d y = x y^{2} \frac{e^{x^{2}}}{y^{2}} d x$

Passaggio 2.1.2

Elimina il fattore comune.

$x y^{2} \frac{1}{x} d y = x y^{2} \frac{e^{x^{2}}}{y^{2}} d x$

Passaggio 2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} d y = x y^{2} \frac{e^{x^{2}}}{y^{2}} d x$

Passaggio 2.2

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $y^{2}$ da $x y^{2}$ .

$y^{2} d y = y^{2} x \frac{e^{x^{2}}}{y^{2}} d x$

Passaggio 2.2.2

Elimina il fattore comune.

$y^{2} d y = y^{2} x \frac{e^{x^{2}}}{y^{2}} d x$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} d y = x e^{x^{2}} d x$

Passaggio 3

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int y^{2} d y = \int x e^{x^{2}} d x$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int x e^{x^{2}} d x$

Passaggio 3.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sia $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Allora $d u_{2} = 2 x e^{x^{2}} d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{2} = x e^{x^{2}} d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Sia $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1.1

Differenzia $e^{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

Passaggio 3.3.1.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.3.1.1.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.3.1.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x^{2}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.3.1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$e^{x^{2}} (2 x)$

Passaggio 3.3.1.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1.4.1

Riordina i fattori di $e^{x^{2}} (2 x)$ .

$2 e^{x^{2}} x$

Passaggio 3.3.1.1.4.2

Riordina i fattori in $2 e^{x^{2}} x$ .

$2 x e^{x^{2}}$

Passaggio 3.3.1.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{1}{2} d u_{2}$

Passaggio 3.3.2

Applica la regola costante.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} u_{2} + C_{2}$

Passaggio 3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $e^{x^{2}}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C_{2}$

Passaggio 3.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + K$

Passaggio 4

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\frac{1}{2} e^{x^{2}} + K)$

Passaggio 4.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Semplifica $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1.1

$\frac{1}{3}$ e $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{2} e^{x^{2}} + K)$

Passaggio 4.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{2} e^{x^{2}} + K)$

Passaggio 4.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{3} = 3 (\frac{1}{2} e^{x^{2}} + K)$

Passaggio 4.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica $3 (\frac{1}{2} e^{x^{2}} + K)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

$\frac{1}{2}$ e $e^{x^{2}}$ .

$y^{3} = 3 (\frac{e^{x^{2}}}{2} + K)$

Passaggio 4.2.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y^{3} = 3 \frac{e^{x^{2}}}{2} + 3 K$

Passaggio 4.2.2.1.3

$3$ e $\frac{e^{x^{2}}}{2}$ .

$y^{3} = \frac{3 e^{x^{2}}}{2} + 3 K$

Passaggio 4.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \sqrt[3]{\frac{3 e^{x^{2}}}{2} + 3 K}$

Passaggio 4.4

Semplifica $\sqrt[3]{\frac{3 e^{x^{2}}}{2} + 3 K}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Scomponi $3$ da $\frac{3 e^{x^{2}}}{2} + 3 K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1.1

Scomponi $3$ da $\frac{3 e^{x^{2}}}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{e^{x^{2}}}{2} + 3 K}$

Passaggio 4.4.1.2

Scomponi $3$ da $3 K$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{e^{x^{2}}}{2} + 3 K}$

Passaggio 4.4.1.3

Scomponi $3$ da $3 \frac{e^{x^{2}}}{2} + 3 K$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{e^{x^{2}}}{2} + K)}$

Passaggio 4.4.2

Per scrivere $K$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{e^{x^{2}}}{2} + K \cdot \frac{2}{2})}$

Passaggio 4.4.3

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.3.1

$K$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{e^{x^{2}}}{2} + \frac{K \cdot 2}{2})}$

Passaggio 4.4.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{e^{x^{2}} + K \cdot 2}{2}}$

Passaggio 4.4.4

Sposta $2$ alla sinistra di $K$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{e^{x^{2}} + 2 K}{2}}$

Passaggio 4.4.5

$3$ e $\frac{e^{x^{2}} + 2 K}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 (e^{x^{2}} + 2 K)}{2}}$

Passaggio 4.4.6

Riscrivi $\sqrt[3]{\frac{3 (e^{x^{2}} + 2 K)}{2}}$ come $\frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K)}}{\sqrt[3]{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K)}}{\sqrt[3]{2}}$

Passaggio 4.4.7

Moltiplica $\frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K)}}{\sqrt[3]{2}}$ per $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K)}}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Passaggio 4.4.8

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.8.1

Moltiplica $\frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K)}}{\sqrt[3]{2}}$ per $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Passaggio 4.4.8.2

Eleva $\sqrt[3]{2}$ alla potenza di $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Passaggio 4.4.8.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

Passaggio 4.4.8.4

Somma $1$ e $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}}$

Passaggio 4.4.8.5

Riscrivi ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.8.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{2}$ come $2^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Passaggio 4.4.8.5.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Passaggio 4.4.8.5.3

$\frac{1}{3}$ e $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Passaggio 4.4.8.5.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.8.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Passaggio 4.4.8.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{1}}$

Passaggio 4.4.8.5.5

Calcola l'esponente.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2}$

Passaggio 4.4.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.9.1

Riscrivi ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ come $\sqrt[3]{2^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K)} \sqrt[3]{2^{2}}}{2}$

Passaggio 4.4.9.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K)} \sqrt[3]{4}}{2}$

Passaggio 4.4.10

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.10.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K) \cdot 4}}{2}$

Passaggio 4.4.10.2

Moltiplica $4$ per $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{12 (e^{x^{2}} + 2 K)}}{2}$

Passaggio 5

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \frac{\sqrt[3]{12 (e^{x^{2}} + K)}}{2}$